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1
Capítulo 4
Dinâmica dos fluidos
CAT118 - DECAT/EM/UFOP
Equações básicas na forma integral
4.1 Princípio da conservação da massa
a) sistema
b) volume de controle
4.2 Princípio da conservação da quantidade
de movimento (Q.M. linear)
a) sistema
b) volume de controle
4.3 Momento da quantidade de movimento
a) sistema
b) volume de controle
4.4 Princípio da conservação da energia
1a Lei da Termodinâmica
a) sistema
b) volume de controle
2a Lei da Termodinâmica
4.4 Equação de Bernoulli
CAT118 - DECAT/EM/UFOP
∫ =∀+∫
.
0
cvcs
d
t
AdV
...
. ρ∂
∂ρ rr
Casos particulares
a) escoamento permanente 
b) escoamento 
incompressível
c) propriedades uniforme
fluxo de massa
que
atravessa a S.C.
taxa de variação
de massa 
dentro do V.C.
++++ = 0= 0= 0= 0
método integral
∫ =∀
cv
d
t
.
0ρ∂
∂
.cte=ρ
AemcteV .=
r
Capítulo 4 - Dinâmica dos fluidos
4.1 Princípio da conservação da massa
• para volume de controle. 
• para sistema.
V.C.
V
r
n
dA
y
z
x
0=
Dt
Dmsist
TEF301 - DETEF/UFOP
Capítulo 4 - Dinâmica dos fluidos
∫ ∑∑∫ +=∀+
cv
cs
cs
FFdV
t
AdVV
...
.
rrrrrr
ρ∂
∂ρ
4.2 Princípio da conservação da quantidade
de movimento (Q.M.)
a) sistema
b) para volume de controle
Casos particulares
1) escoamento incompressível
2) escoamento permanente
3) propriedades uniformes
fluxo da Q. M.
que
atravessa a S.C.
+
taxa de variação
da Q. M.
dentro do V.C.
= ∑
r
F
VmMQ r=..
( ) ( ) ∑=== F
td
Vd
mVm
td
d
td
MQd rrr..
se m= cte 
amF v
r
.=∑⇒
r
V
m
método integral
Capítulo 4 - Dinâmica dos fluidos
4.3 Momento da quantidade de movimento
r
F∑y
x
z
r ( )
∑×=× Fr
td
MQd
r
r
..
r r
M r F=∑ × ∑o momento resultante é
a taxa do momento da mudança do momentum linear
( ) )(.. Vmr
td
d
td
MQd
rH
dt
d rr
×=×= assim
r r
M d
dt
H=∑
b) para volume de controle
soma dos 
momentos
atuando 
no V. C.
fluxo do 
momento
Q. M. que
atravessa
a S.C.
taxa de variação
do momento
da Q. M.
dentro do V.C.
( ) ( )∫ ∑∫ =∀×+×
cvcs
MdVr
t
AdVVr
...
.
rrrrr
ρ∂
∂ρ
TEF301 - DETEF/UFOP método integral
+ =
mV
r
a) sistema
2
Capítulo 4 - Dinâmica dos fluidos
4.4 Princípio da conservação da energia
4.4.1 - 1a Lei da Termodinâmica
a) sistema
EWQ =−
∂ ∂ ∂Q
d t
W
d t
E
d t
− =
onde totalenergiae
m
E
==
∂ Q positivo quando o calor entra no sistema
∂ W positivo quando o trabalho é realizado 
pelo sistema
∂ Q
∂ W
a taxa é
gzVue ++=
2
2
e 
Energia
interna
Energia
cinética
Energia
potencial
Calor Trabalho Energia
TEF301 - DETEF/UFOP método integral
Capítulo 4 - Dinâmica dos fluidos
CAT118 - DETEF/UFOP
∫∫ ∀+





++=−−−
cvcs
oce
de
t
AdVgzVhWWWQ
...
2
.
2
ρ∂
∂ρ rr&&&&
( ) AdVvpAdVvAdV
td
W
cscs
nn
cs
nn
n
rrrrrr
...
......
∫ −=∫=∫= ρρσσ
∂
( )
AdVgzVh
AdVpvgzVuAdVpve
cs
cscs
rr
rrrr
.
2
.
2
.
..
2
..
2
..
ρ
ρρ
∫
∫∫






++=






+++=+
onde We - trabalho de eixo
Wn - trabalho devido a tensão normal
Wc - trabalho devido a tensão tangencial
Wo - outros tipos de trabalho (ex. elétrico, etc...) e
WoWcWnWeW +++=
b) volume de controle
∫∫ ∀+=−
....
.
cvcs
de
t
AdVe
td
W
td
Q ρ∂
∂ρ∂∂
rr
taxa de 
calor
trocada 
com o V.C.
taxa de 
trabalho
trocada 
com o V.C.
fluxo de 
energia 
que
atravessa
a S.C.
taxa de 
variação 
de energia
dentro
do V.C.
++++ ==== ++++
substituindo a eq. 5 em 3 temos:
(1)
(2)
(5)
∫ ∀+∫=−−−−
....
.
cvcs
de
t
AdVe
td
Wo
td
Wc
td
Wn
td
We
td
Q ρ∂
∂ρ∂∂∂∂∂
rr
mas:
(3)
(4)
método integral
Capítulo 4 - Dinâmica dos fluidos
4.4.2 - 2a Lei da Termodinâmica
a) sistema
∑≥∫ ∀ T
Qds
td
d
sist
&δρ
.
Taxa de 
aumento 
temporal da 
entropia do 
sistema
CAT118 - DETEF/UFOP método integral
b) para volume de controle
Soma da taxa de 
transferência de 
calor entrando
no V. C. dividida 
pela temperatura 
absoluta
Fluxo de 
entropia que
atravessa
a S.C.
Taxa de 
aumento
de entropia
dentro do V.C.
∑ 





∫ ≥∀+∫ T
Qds
t
AdVs
cvcs
&rr δρ∂
∂ρ
...
.
+
Soma da taxa de transferência de
calor para o sistema dividida pela
temperatura absoluta de cada
partícula fluida do sistema que
recebe calor do meio
≥
≥
Onde a igualdade é valida para qualquer processo reversível 
e a desigualdade é válida para os processos irreversíveis
Capítulo 4 - Dinâmica dos fluidos
4.5 EQUAÇÃO DE BERNOULLI
AdVgzVh
cs
rr
.
2
0
..
2
ρ∫ 





++=
Hipótese
1) Escoamento permanente
2) Escoamento incompressível
3) Escoamento sem atrito
4) Escoamento ao longo de Uma linha de 
corrente ( sem equipamentos, bombas, 
turbinas ventiladores,etc.)
5) propriedades uniformes
Da eq. Da conservação da energia:
0.
2
2.
2
22
2
2
2
2
11
1
1
1
2
1 =





+++





++ ∫∫ AdVgz
VhAdVgzVh
AA
rrrr
ρρ
Da eq. Da continuidade: 2211 .. AVAV ρρ =
Substituindo temos:
1
1
2
12
2
2
2
22
gzVhgzVh ++=++
Como T1=T2: u1=u2: h=u+p/ρρρρ
).(
2 2
22
s
m
ctegzVp =++
ρ
ou
Logo:
CAT118 - DETEF/UFOP método integral
).(
22 2
2
2
1
2
1
2
1
1
1 mctez
g
Vp
z
g
Vp
=++=++
γγ
3
Capítulo 4 - Medida de pressão
TEF301 - DETEF/UFOP
V
hha
02 =VVV =1
Pressão Estática, Dinâmica, de Estagnação e Total
H
hb
Cgz
Vp
=++
2
2
ρ
Pressão
dinâmica
Pressão
hidrostática
Pressão
total
Pressão
estática
De Bernoulli
4
1
3
2
31 php a += γ γbhp =3 γhp =1
0
2 21
2
1
2 =+= Vpoisp
Vp e z1=z2
Ponto de 
estagnação
TEF301 - DETEF/UFOP
Capítulo 4 - Medida de pressão
Medida de pressão
Pressão estática
0=VV
p h h
est e f e man+ =γ γ∆
p h h se
est e man e f man f= − >>∆ γ γ γ γ
p h
est e man= ∆ γ
Pressão total
V
g
Vpp
g
Vp
g
Vp
222
2
112
2
22
2
11 +=∴+=+
γγγγ
temos do manômetro: p h hd man d2 = −∆ γ γ (h1~hd)
Pressão dinâmica
g
Vpppois
g
pp
g
V t
22
2
12
2
1 +=
−
=
γγ
como p é a pressão estática.
estp
he ∆he
hd ∆hd
2V1V
( )
γ
γγγγ emanedmand hhhh
g
V +∆−−∆
=
2
2
1 ) (( )
γ
γγ edmaned hhhh −−∆−∆
=
( ) ( )
ed
F
man
ed hhhhgV −−∆−∆= ρ
ρ21 se ρman>>>> ρF
( )
F
man
ed hhgV ρ
ρ∆−∆= 21
Tubo de Pitot
V
∆h
estptp
TEF301 - DETEF/UFOP
Capítulo 4 - Medida de pressão
manestt hpp γ∆=−
da eq. de Bernoulli : γγ
estt p
g
Vp
+=
2
2
man
h
g
V γ∆=
2
2
 
F
manhgV ρ
ρ∆= 2
medida de vazão : AVQ .=
mas da definição de velocidade média tem-se
∫=
A
dAV
A
V .1
escoamento em tubos : rdr
R
rV
R
V
R
pi
pi
211
0
2
max2 ∫ 













−=
2
maxVV =
 
&m
R V
max
=
ρpi 2
2

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