Apostila Semana 4 (1)

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Semana 4 - Volume por Fatiamento 
 
Quando tentamos calcular o volume de um sólido nos deparamos com o mesmo 
tipo de problema que é calcular a área entre duas curvas. 
Sob condições apropriadas, a mesma estratégia usada para determinar áreas, 
pode ser usada para encontrar o volume de um sólido. 
 
 
Seja S um sólido compreendido entre os 
planos x=a e x=b. 
A seção transversal em cada ponto x ∈ 
[a,b] é uma região R(x) de área A (x). 
 
 
Se A(x) for uma função contínua de x, 
podemos usá-la para calcular o volume de S como uma integral. 
A ideia é dividir o volume em finas lâminas que têm seções transversais que não 
variam muito em tamanho nem em forma. 
O volume de cada uma dessas fatias será dado por 
 
Vi=A(xi)∆x (aproximadamente) 
 
Somando essas aproximações, conseguimos uma aproximação para o volume de 
S obtemos uma Soma de Riemann e como quanto mais fina for a lâmina melhor 
é a aproximaçãopara o volume de S, ao calcular o limite da Soma de Riemann 
quando ∆x −>0 conseguimos calcular o volume de S como uma integral. 
 
V= lim
∆𝑥→0
∑ 𝐴(xi)∆𝑥 
 
Definição: Seja S um sólido compreendido entre os planos x=a e x=b. Supondo 
que sua seção transversal tenha área A(x) conhecida em cada ponto x ∈ [a,b], 
então o volume V do sólido S é dado por: 
 
V= ∫ 𝐴(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
Exemplo 1- Obtenha a fórmula para o volume de uma pirâmide reta com altura R 
cuja base é um quadrado com lados de comprimento a. 
 
 
 
 
Considere um sistema de corrdenadas no 
qual o vértice da pirâmide está na origem 
e o centro sobre o eixo x. 
 
 
 
As seções transversais em x são quadrados com lado l. 
 
Usando semelhana de triângulos, temos: 
 
𝑥
ℎ
=
𝑙
𝑎
=> 𝑙
𝑎
ℎ
. 𝑥 => 𝐴(𝑥) =𝑙2 =
𝑎2
ℎ2
. 𝑥2 
 
 
Logo, 
 
𝑉 = ∫
𝑎2
ℎ2
. 𝑥2𝑑𝑥 =
𝑎2
ℎ2
 .
1
3
ℎ
𝑎
𝑥3 |
ℎ
0
=
𝑎2
ℎ2
 .
1
3
(ℎ3 − 0) =>𝑉 =
𝑎3ℎ
3
 𝑢. 𝑣 
 
OBS.: Não precisamos colocar o vértice no eixo y positivo, obtemos o volume pela 
integral 
V=∫
𝑎2
ℎ2
ℎ
0
(ℎ − 𝑦)2𝑑𝑦 
 
Exemplo 2- Uma cunha foi obtida por meio do corte de um cilindro de raio 3 por 
dois planos. Um deles é perpendicular ao eixo do cilindro. O segundo cruza o 
primeiro formando um ângulo de 45º no centro do cilindro. Determine o volume da 
cunha. 
 
 
A área da seçãotransversal é dada 
por: 
 
A(x) = 2x √9 − 𝑥2 
 
Daí 
V=∫ 2𝑥√9 − 𝑥2
3
0
𝑑𝑥 
Fazendo u= 9-x2 temos: {
𝑑𝑦 
𝑑𝑥
= −2𝑥 => 2𝑥 𝑑𝑥 = −𝑑𝑢
𝑥 = 3 => 𝑢 = 0
𝑥 = 0 => 𝑢 = 9
 
=> 𝑉 = ∫ −𝑢
1
2⁄
0
9
 𝑑𝑢 =
2
3
𝑢
3
2⁄ |9
0
=
2
3
. 9
3
2⁄ = 18 ∴ V= 18 u.v 
 
Sólidos de Revolução (método do disco) 
 
Um sólido de revolução é um sólido gerado pela rotação de uma região plana em 
torno de uma reta (eixo de revolução). 
 
 
Cilindro 
Podemos de terminar o volume de um sólido de revolução por fatiamento. Neste 
caso, as seções transversais são circulares e daí: 
 
A(x) = 𝜋.(raio)2 
 
Se, por exemplo, a curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) gira em torno de eixo x, o volume do sólido de 
revolução resultante é: 
 
𝑉 = ∫ 𝜋(𝑓(𝑥))2
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 
 
Exemplo 1- O círculo 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 é guiado em torno do eixo x para gerar uma 
esfera. Determine seu volume. 
 
R=√𝑟2 − 𝑥2 daí 
𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑟2 − 𝑥2)
𝑟
−𝑟
𝑑𝑥 = 𝜋 (𝑟2𝑥 −
1
3
𝑥3) |
𝑟
−𝑟
= 𝜋(𝑟3 −
1
3
𝑟3 + 𝑟3 −
1
3
𝑟3) 
𝑉 = 𝜋 (2𝑟3 −
2
3
𝑟3) =>𝑉 =
4
3
𝜋𝑟3 u. v 
 
 
Exemplo 2- A região delimitada pelo 
eixo x, pela curva y = x2+1 e pelas retas 
x= -1 e x=1 gira em torno de eixo x. 
Determine o volume do sólido 
resultante. 
𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑥2 + 1)2𝑑𝑥 = 𝜋
1
−1
∫ (𝑥4
1
−1
+
2𝑥2 + 1)𝑑𝑥 
= 2𝜋 ∫ (𝑥4
1
−1
+ 2𝑥2 + 1)𝑑𝑥 
= 2𝜋 [
1
5
𝑥5 +
1
3
𝑥3 + 𝑥] |
1
0
 
= 2𝜋 [
1
5
+
2
3
+ 1] =
56
15
𝜋 𝑢. 𝑣 
 
 
 
Exemplo 2- Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno do eixo 
y, da região compreendida entre o eixo y e a curva 𝑥 = 
2
𝑦
 com 1 ≤ 𝑦 ≤ 4. 
 
𝑉 = ∫ 𝜋 (
2
𝑦
)2
4
1
𝑑𝑦 = 𝜋 ∫
4
𝑦2
4
1
𝑑𝑦 = 4𝜋 (−
1
𝑦
) |
4
1
= 4𝜋 (−
1
4
+ 1) = 4𝜋. 3 = 3𝜋 𝑢. 𝑣 
 
Exemplo 3- Determine o volume do sólido obtido com a rotação em torno da reta 
𝑦 = 1 da região definida por 𝑦 = √𝑥 e 𝑦 = 1 e 𝑥 = 4. 
 
 
 
 
 
V= 𝜋 ∫ [𝑅(𝑥)]2
4
1
𝑑𝑥 
Onde R(x) = √𝑥 − 1 
 
 
 
 
 
∴ V= 𝜋 ∫ (√𝑥 − 1)2
4
1
𝑑𝑥 = 𝜋 ∫ (𝑥 − 2√𝑥 + 1)𝑑𝑥 =
4
1
𝜋 [
𝑥2
2
−
4
3
𝑥
3
2⁄ + 𝑥] |4
1
= 𝜋 [8 −
32
3
+ 4 −
1
2
+
4
3
− 1] =
7𝜋
6
𝑢. 𝑣 
Se a região que giramos para girar um sólido não atingir ou não cruzar o eixo de 
revolução, o sólido resultante terá um orifício no meio. 
 
 
Neste caso, as seções 
transversais são arruelas 
(anéis) e não discos. 
Se chamamos: 
{
𝑅𝑎𝑖𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜: 𝑅(𝑥)
𝑅𝑎𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜: 𝑟(𝑥)
 
Temos a área da arruela dada 
por: 𝐴(𝑥) =
 𝜋[𝑅(𝑥)]2 – 𝜋[𝑟(𝑥)]2 
 
 
Daí: 
V= 𝜋 ∫ 𝜋[R(x)]2 – 𝜋[r(x)]2
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 
 
Exemplo 4- A região limitada pela curva 𝑦 = 𝑥2 + 1 e pela reta 𝑦 = −𝑥 + 3 gira em 
torno do eixo x para gerar um sólido. Determine seu volume. 
 
 
 
 Limites de Integração 
𝑥2 + 1 = 𝑥 + 3 
𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0 => {
𝑥 = −2
𝑥 = 1
 
 
 
 
∴ 𝑉 = 𝜋 ∫ [(−𝑥 + 3)2 − (𝑥2 + 1)2
1
−2
]𝑑𝑥 
= 𝜋 ∫ (−6𝑥 + 9) − (𝑥4 + 2
1
−2
𝑥2 + 1)𝑑𝑥 = 𝜋 ∫ (8 − 6𝑥 −
1
−2
𝑥2 − 𝑥4)𝑑𝑥 
= 𝜋 (8𝑥 − 3𝑥2 −
𝑥3
3
−
𝑥5
5
) |
1
−2
 
= 𝜋(8 − 3 −
1
3
−
1
5
+ 16 + 12 −
8
3
−
32
5
=
117𝜋
5
𝑢. 𝑣 
 
Exemplo 5- A região compreendida entre a parábola 𝑦 = 𝑥2 e a reta 𝑦 = 2𝑥 no 
primeiro quadrante gira em torno do eixo y para gerar um sólido. Determine seu 
volume. 
 
 
 Limites de integração: 
𝑥2=2x=> 𝑥2 − 2𝑥 = 0 => 𝑥(𝑥 − 2) = 0 
=>{
𝑥 = 0
𝑥 = 4
 ou 
 
{
𝑦 = 𝑥2 => 𝑥 = √𝑦
𝑦 = 2𝑥 => 𝑥 =
1
2
𝑦
 
 
 
 
 
Daí; {
𝑦 = 0
𝑦 = 4
 ou 
 
∴ 𝑉 = 𝜋 ∫ (√𝑦 )
2
− (
1
2
𝑦)
2
𝑑𝑦 = 𝜋 ∫ (𝑦 −
𝑦
4
2
) 𝑑𝑦 = 𝜋(
𝑦
2
24
0
4
0
+
𝑦
12
3
) |4
0
= 𝜋(
16
2
-
64
12
) 
=
8
3
𝜋 𝑢. 𝑣 
 
Exemplo 6- Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada 
por 𝑥2 = 𝑦 − 2, 2𝑦 − 𝑥 − 2 = 0 e as retas verticais 𝑥 = 0 e 𝑥 = 1 em torno da reta 
𝑦 = 3. 
{
𝑦 = 𝑥2 + 2
𝑦 =
1
2
(𝑥 + 2)
 
 
𝑟(𝑥) = 3 − (𝑥2 + 2) = 1 − 𝑥2 
𝑅(𝑥) = 3 − (
1
2
𝑥 + 1) = −
1
2
𝑥 + 2 
 
 
∴ 𝑉 = 𝜋 ∫ (
1
−2
𝑥 + 2)2 − (1 − 𝑥2)2𝑑𝑥
1
0
 
= 𝜋 ∫ (
1
4
𝑥2 − 2𝑥 + 4 − 1 + 2𝑥2 − 𝑥4) 𝑑𝑥
1
0
 
= 𝜋 ∫ (3 − 2𝑥 +
9
4
𝑥2 − 𝑥4) 𝑑𝑥 = 𝜋[3𝑥 − 𝑥2 +
3
4
𝑥3 −
1
5
𝑥5] |
1
0
1
0
 
= 𝜋 (3 − 1 +
3
4
−
1
5
) =
51
20
𝜋 𝑢. 𝑣