Exercicios: Continuidade e Limites

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUI´
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
DISCIPLINA: CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - M
PROF: AURINEIDE FONSECA
LISTA 2 DE EXERCI´CIOS
(1) Prove, pela definic¸a˜o, que a func¸a˜o dada e´ cont´ınua no ponto dado.
(a)f(x) = 4x− 3 em p = 2. (b)f(x) = x2 em p = 1.
(2) Prove que f(x) =
1
x
e´ cont´ınua em todo x 6= 0.
(3) f(x) =
{
2x + 1, x ≤ 1;
1, x > 1.
e´ cont´ınua em 1? Justifique.
(4) Suponha que |f(x)| ≤ x2 para todo x. Prove que f e´ cont´ınua em 0.
(5) Explique por que a func¸a˜o f e´ descont´ınua em p = 0. Esboce o gra´fico da func¸a˜o.
(a) f(x) =
{
ex, se x < 0;
x2, se x ≥ 0. (b) f(x) =

cosx, se x < 0;
0, se x = 0;
1− x2, x > 0.
(6) Resolva os seguintes limites:
(a) lim
x→−2
x2 (b) lim
x→−3
(x2 + 2) (c)lim
x→0
(x5 − 4x) (d)lim
x→pi
cosx (e) lim
x→pi
2
sen(3x)
(f)lim
x→3
x2 − 9
x− 3 (g)limx→2
3
√
x− 3√2
x− 2 (h) limx→−1
2x5 + 2
1− x2 (i)limx→4
√
x− 2√
x + 3−√7
(7) Utilizando o limite fundamental lim
x→0
senx
x
= 1, calcule os seguintes limites:
(a)lim
x→0
sen8x
8x
(b)lim
x→0
sen3x
2x
(c)lim
x→0
4x
sen5x
(d)lim
x→0
x
tgx
(8) O que se pode dizer sobre lim
x→3
sen(x2 − 9)
x− 3 ?
(9) Esboce o gra´fico da func¸a˜o a seguir e use-o para determinar os valores de a para os
quais lim
x→a
f(x) existe:
f(x) =

2− x, x < −1;
x, −1 ≤ x < 1;
(x− 1)2, x ≥ 1.
(10) Determine L para que a func¸a˜o dada seja cont´ınua no ponto dado. Justifique.
(a) f(x) =
{
x3−8
x−2 , se x 6= 2;
L, se x = 2.
em p = 2.
2
(b) f(x) =
{ √
x−√3
x−3 , se x 6= 3;
L, se x = 3.
em p = 3.
(c) f(x) =
{ √
x−√5√
x+5−√10 , se x 6= 5;
L, se x = 5.
em p = 5.
(d) f(x) =
{
x2+x
x+1
, se x 6= −1;
L, se x = −1. em p = −1.
(11) Calcule os seguintes limites laterais:
(a) lim
x→−1+
|x|
x
(b) lim
x→0−
x
|x| (c) limx→3+
|x− 3|
x− 3
(d) lim
x→2−
f(x), onde f(x) =
{
x2 − 2x, se x < 2;
3x−4, se x ≥ 2. (e) limx→pi+ cosx
(12) Seja r > 0 tal que
cosx− 1 < sen x
x
− 1 < 0
para 0 < |x| < r. Prove que lim
x→0
x− sen x
x2
= 0.
(13) (a) Calcule lim
x→+∞
x3 + 3x− 1
2x3 − 6x + 1 .
(b) Mostre que existe r > 0 tal que
x > r ⇒ 1
4
<
x3 + 3x− 1
2x3 − 6x + 1 <
3
4
.
(14) (a) Calcule lim
x→+∞
x + 3
x3 + 2x− 1 .
(b) Mostre que existe r > 0 tal que
x > r ⇒ 0 < x + 3
x3 + 2x− 1 <
1
2
.
(15) Calcule os seguintes limites no infinito:
(a) lim
x→+∞
(x−
√
x2 + 1) (b) lim
x→+∞
(
√
x− 1−√x− 2)
(c) lim
x→+∞
(
√
x2 + x + 1−
√
x2 + x− 1) (d) lim
x→+∞
x√
x2 − 2x
(e) lim
x→−∞
3
√
x
x2 + 3
(f) lim
x→−∞
2x3 + 5x + 1
x4 + 5x3 + 3
(g) lim
x→−∞
x9 + 1
x9 + x6 + x4 + 1
(h) lim
x→−∞
√
x2 + 1
3x + 2
(16) Calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→0+
2x + 1
x
(b) lim
x→3+
5
3− x
(c) lim
x→−∞
5x3 − 6x + 1
6x2 + x + 1
(d) lim
x→+∞
(5− 4x + x2 − x5)
(17) Calcule lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a , se:
3
(a)f(x) = x2, a = 2. (b)f(x) = 3x2 − x, a = 0.
(c)f(x) = x2 + 1, a = 2. (d)f(x) = x(1− x), a = 1.
(18) Calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→0+
2x + 1
x
(b) lim
x→3+
5
3− x (c) limx→−∞
5x3 − 6x + 1
6x2 + x + 1
(d) lim
x→+∞
(5−4x+x2−x5) (e) lim
x→+∞
x +
√
x + 3
2x− 1 (f) limx→+∞(
√
x +
√
x−√x− 1)
(g) lim
x→0+
sen x
x3 − x2 (h) limx→1+
3x− 5
x2 + 3x− 4
(19) Prove que lim
x→+∞
n
√
x = +∞, onde n > 0 um natural.
(20) Seja 0 < a < 1 e sabendo que
n∑
k=0
ak =
1− an+1
1− a (a 6= 0, a 6= 1), mostre que
lim
n→+∞
n∑
k=1
ak =
a
1− a
.
(21) Sabendo que 1 + 22 + 32 + . . . + n2 = 1
6
n(n + 1)(2n + 1), calcule lim
x→+∞
1
n3
n∑
k=1
k2.
(22) Considere a sequeˆncia de termo geral
an = 1 +
1
22
+
1
32
+ . . . +
1
n2
.
(a)Prove que an e´ crescente.
(b) Prove que para todo natural n ≥ 1
1 +
1
22
+
1
32
+ . . . +
1
n2
< 2.
(c) Prove que lim
x→+∞
an existe e e´ menor que 2.
(23) Sabe-se que a sequeˆncia a1 =
√
2, a2 =
√
2
√
2, a3 =
√
2
√
2
√
2, . . . e´ convergente.
Calcule lim
x→+∞
an.
(24) Sabe-se que lim
x→+∞
(1 +
1
x
)x = e. Calcule:
(a) lim
x→+∞
(1 +
2
x
)x (b) lim
x→+∞
(1 +
1
2x
)x (c) lim
x→+∞
(1 +
1
x
)x+2
(d) lim
x→0
(1 + 2x)x (e) lim
x→+∞
(1 +
1
x
)2x (f) lim
x→0
(1 + 2x)
1
x
(25) Calcule.
(a)lim
x→0
e2x − 1
x
(b)lim
x→0
5x − 1
x
(c)lim
x→0
ex
2 − 1
x