Conjuntos

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Conjuntos 
Definição: 
 
Na matemática, um conjunto é uma coleção de elementos. A relação básica entre um 
objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos 
que compõem o conjunto A, dizemos que x pertence a A. 
 
Nos conjuntos, a ordem e a quantidade de vezes que os elementos estão listados na 
coleção não é relevante. 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
Dizemos que dois conjuntos são iguais se e somente se cada elemento de um é também 
elemento do outro. 
JOANA
AUGUSTA
MARIA
RAIMUNDA
Conceitos essenciais: 
 
• Conjunto: representa uma coleção de objetos, geralmente representado por 
letras maiúsculas; 
• Elemento: qualquer um dos componentes de um conjunto, geralmente representado 
por letras minúsculas; 
• Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um 
conjunto. Se a é um elemento de A, podemos dizer que o elemento a pertence ao 
conjunto A e podemos escrever . Se a não é um elemento de A, nós podemos dizer 
que o elemento a não pertence ao conjunto A e podemos escrever . 
 
Conjuntos 
Conjuntos 
Notação matemática: 
 
 É possível descrever o mesmo conjunto de três maneiras diferentes, por meio de 
uma: 
 
• lista os seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos); 
• definição de uma propriedade de seus elementos (o que, se for feito de forma 
descuidada, pode gerar problemas; 
• representação gráfica. 
 
 
 
Exemplos: 
JOANA
AUGUSTA
MARIA
RAIMUNDA
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Operações com conjuntos 
De maneira semelhante ao que ocorre com os números, também existem operações 
matemáticas com conjuntos. Nos exemplos são utilizados diagramas de Venn para ilustrar. 
União (ou reunião) de dois conjuntos é o 
conjunto composto dos elementos que pertencem ao 
menos a um dos conjuntos ou . A união de N conjuntos é o 
conjunto formado pelos os elementos que pertencem ao 
menos a um dos conjuntos . A união entre dois conjuntos 
pode ser definida formalmente por 
Conjuntos 
5.1 - União ( U ) 
 
Exemplo: {0,1,3} e { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto união 
contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B. 
Propriedades imediatas: 
 
 

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A interseção de dois conjuntos e é o 
conjunto composto dos elementos que 
pertencem simultaneamente aos dois 
conjuntos e 
A diferença ( ou − ) entre dois conjuntos e é 
o conjunto dos elementos que pertencem a e 
que não pertencem a . 
Exemplo: {0,2,4,5} Ç { 4,6,7} = {4}. . 
Exemplos: 
{ 0,5,7} - {0,7,3} = {5}. 
{1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}. 
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Complementar de um conjunto 
Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é , que dados 
dois conjuntos A e B, com a condição de que B está contido em A , a diferença A - B 
chama-se, neste caso, complementar de B em relação a A . 
Simbologia: CAB = A – B. 
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Partição de um conjunto 
Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e representa-se por part(A), 
qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente 
por P(A)), que satisfaz simultaneamente, às seguintes condições: 
 1 - nenhuma dos elementos de part(A) é o conjunto vazio. 
 2 - a interseção de quaisquer dois elementos de part(A) é o conjunto vazio. 
 3 - a união de todos os elementos de part(A) é igual ao conjunto A. 
Exemplo: Seja A = {2, 3, 5} 
Os subconjuntos de A serão: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, e o conjunto vazio - Ø. 
Assim, o conjunto das partes de A será: 
P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, Ø } 
Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P(A): 
X = { {2}, {3,5} } 
Observe que X é uma partição de A - cuja simbologia é part(A) - pois: 
a) nenhum dos elementos de X é Ø . 
b) {2} Ç {3, 5} = Ø 
c) {2} U {3, 5} = {2, 3, 5} = A 
Sendo observadas as condições 1, 2 e 3 acima, o conjunto X é uma partição do conjunto A. 
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Número de elementos da união de dois conjuntos 
Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número de 
elementos de B seja n(B). 
 
O número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto. 
 
Representando o número de elementos da interseção A B por n(A B) e o número de 
elementos da união A È B por n(A È B) , podemos escrever a seguinte fórmula: 
 
 
 
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2 - Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 
pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 
comeram as duas. Quantas não comeram nenhuma ? 
 
a) 1 
 
b) 2 
 
c) 3 
 
d) 4 
 
e) 0 
Exemplos: 
X 
Y 
7 5 
3 2 
4 
X U Y = 10 
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Sendo A = { 3, 4, 5, 6, 7} e B = {5, 6, 7, 8, 9 ...}, determine: 
a) A∪B 
b) A∩B 
Dados os conjuntos A = {0;1}, B = {0;2;3} e C = {0;1;2;3}, classifique em verdadeiro (V) 
ou falso (F) cada afirmação abaixo: 
a) ( ) A ⊂ B 
b) ( ) {1} ⊂ A 
c) ( ) A ⊂ C 
d) ( ) B ⊃ C 
e) ( ) B ⊂ C 
f) ( ) {0;2} ∈ B 
---------- = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,.........} 
---------- = {5, 6, 7} 
Exemplos: 
V 
F 
V 
F 
V 
V 
Se A e B são dois conjuntos não vazios tais que: A ∪ B = {1;2;3;4;5;6;7;8}, A – B = 
{1;3;6;7} e B – A = {4;8} então A ∩ B é o conjunto: 
a) ∅ 
b) {1;4} 
c) {2;5} 
d) {6;7;8} 
e) {1;3;4;6;7;8} 
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Exemplos: 
Se A = {2, 3, 5, 6, 7, 8}, B = {1, 2, 3, 6, 8} C = {1, 4, 6, 8}, então: 
a) (A – B) ∩ C = {1, 2} 
b) (B – A) ∩ C = {1} 
c) (A – B) ∩ C = {1} 
d) (B – A) ∩ C = {2} 
e) n.d.a 
Dados os conjuntos A = {x ∈ N | - 1< x ≤ 4} e B = {x ∈ N | 0 ≤ x < 2}, o conjunto A ∩ B é 
igual a: 
a) {-1;0;1} 
b) {-1;0;1;2} 
c) {0;1} 
d) {1;1, 2} 
e) {-1;0;1;2;3;4} 
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Em uma escola, 100 alunos praticam vôlei, 150 futebol, 20 os dois esportes e 110 alunos 
nenhum. O número total de alunos é 
a) 230 
b) 300 
c) 340 
d) 380 
Exemplos: 
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Um teste de literatura com cinco alternativas em que uma única é verdadeira, referindo-se 
à data de nascimento de um famoso escritor, apresenta as seguintes alternativas: 
 
A) século XIX 
B) século XX 
C) antes de 1860 
D) depois de 1830 
E) nenhuma das anteriores 
Exemplos: 
As alternativas (A) e (B): não há elementos para se concluir por uma delas, inicialmente. 
A alternativa (E) não pode ser verdadeira, pois implicaria - pelo enunciado - que o escritor 
nem teria nascido! 
Para visualizar isto, veja a figura abaixo. 
A alternativa (D) não pode ser verdadeira, pois implicaria concluir-se pelos séculos XIX ou 
XX e, pelo enunciado, só existe uma alternativa verdadeira. 
POR EXCLUSÃO, a alternativa verdadeira só pode ser a C. 
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No concurso para o CPCAR foram entrevistados 979 candidatos, dos quais 527 falam a 
língua inglesa, 251 a língua francesa e 321 não falam nenhum desses idiomas. O número 
de candidatos que falam as línguas inglesa e francesa é: 
a) 778 
b) 120 
c) 658 
d) 131 
Exemplos: 
Total de entrevistados = 979. 
Total de entrevistados que não falam os idiomas = 321. 
 
Então: 
 
979 – 321 = 658 
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Exemplos: 
Dados os conjuntos 
U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, 
A = { 1, 2, 3, 4 } e B = { 2, 4, 6, 8 } , calcular (A U)⋂ B. 
 
(1) { 2, 4, 6, 8 } 
(2) (2) { 1, 2, 4, 6, 8 } 
(3) { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } 
(4) { 1, 2, 3, 4 } 
(5) { 1, 2, 3, 4, 6, 8 } 
A intersecção do conjunto de todos os inteiros múltiplos de 6 com o conjunto de todos os 
inteiros múltiplos de 15 é o conjunto de todos os inteiros múltiplos de: 
(1) 3 
(2) 18 
(3) 30(4) 45 
(5) 90 
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Exemplos: 
Se X = { a, b, c } e Y é um conjunto tal que X Y = { a, b, c, e, f } e X Y = { a, b }, então 
podemos concluir que: 
 
(1) há mais de um Y nas condições acima; 
(2) Y = { a, b, f }; 
(3) Y = { a, b, e }; 
(4) Y = { a, b, c, e, f }; 
(5) Y = { a, b, e, f }. 
Em uma universidade são lidos os jornais A e B. Exatamente 80% dos alunos lêem o jornal 
A e 60% , o jornal B. Sabendo que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, o 
percentual dos alunos que lêem ambos é: 
(1) 48 % 
(2) 140 % 
(3) 60 % 
(4) 80 % 
(5) 40 % 
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Exemplos: 
Em uma pesquisa realizada entre 500 pessoas foram obtidos os seguintes dados: 
- 200 pessoas gostam de música clássica; 
- 400 pessoas gostam de música popular; 
- 75 pessoas gostam de música clássica e de música popular. 
Verifique a consistência ou inconsistência dos dados desta pesquisa. 
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Exemplos: 
Se A, B e C são conjuntos tais que A = {x ∈ R/ -3≤ x ≤ 5}, B = { x ∈ R / x < 8}, C ⊂ A e C ⋂ B 
= , então o número máximo de elementos de C é: 
 
a) 0 
b) 1 
c) 3 
d) 6 
e) 9 
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Exemplos: 
Dos conjuntos X, Y e Z sabe-se que: 
I) X ⋂ Y ⋂ Z = {a, b}. 
II) X U Y = {a, b, c, e, f} 
III) Y U Z = {a, b, e, g} 
IV) X U Z = {a, b, c, f, g} 
Então, o conjunto X é dado por: 
a) {a, b, e, f}. 
b) {a, c, f, g}. 
c) {a, b, e, g}. 
d) {a, b, c, f}. 
a 
b 
X 
Z 
Y 
e c 
f 
g 
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Exemplos: 
Considerando-se que: 
A ⋃ B ⋃ C = {n ∈ R | 1 ≤ n ≤ 10} 
A ⋂ B = {1, 3, 8} 
A ⋂ C = {2, 7} 
B ⋂ C = {2, 5, 6} 
A ⋃ B = {n ∈ R | 1 ≤ n ≤ 8} 
 
Pode-se afirmar que o conjunto C é: 
a) {9, 10} 
b) {5, 6, 9, 10} 
c) {2, 5, 6, 7, 9, 10} 
d) {2, 5, 6, 7} 
e) NDA.