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Lista 5 - INTEGRAIS DUPLAS Integrais duplas e aplicações ao cálculo de áreas e volumes, centro de massa e momento de inércia. Mudança de variáveis na integral dupla. Integral dupla em coordenadas polares. Referências: PINTO, D. e MORGADO, M. C. F.; Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, GUIDORIZZI, H.L.; Um Curso de Cálculo. Vol. 3. STEWART, J.; Cálculo. Vol. 2, São Paulo, Pioneira Thomson Learning THOMAS, G. B.; Cálculo. Vol. 2. Esboce a região de integração e calcule a integral iterada. a) Resp.: 10 b) Resp.: c) Resp.: 1 d) Resp.: 2 e) Resp.: 2 f) Resp.: g) = h) Resp.: i) Resp.: 6 j) Seja A o retângulo . Calcule , sendo igual a a) Resp.: b) Resp.: c) Resp.: d) Resp.: e) 1 Resp.: 1 f) Resp.: g) Resp.: h) Resp.: Sejam e duas funções contínuas, respectivamente, nos intervalos e . Prove que onde A é o retângulo , . Utilizando o Exercício 3, calcule onde A é o retângulo Resp.: onde A é o retângulo Resp.: onde A é o retângulo Resp.: 0 Esboce a região de integração e calcule as integrais iteradas. a) Resp.: b) Resp.: c) Resp.: d) Resp.: e) Resp.: f) Resp.: g) Resp.: h) Resp.: Inverter a ordem de integração a) Resp.: b) Resp.: c) Resp.: d) Resp.: e) Resp.: .: f) Resp.: g) Resp.: h) Resp.: As integrais abaixo não podem ser calculadas exatamente, em termos de funções elementares, na ordem apresentada. Inverta a ordem de integração e faça os cálculos: a) Resp.: b) Resp.: Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral a) Resp.: b) Resp.: c) Resp.: d) Resp.: 2 e) Resp.: f) Resp.: Calcule as integrais para as regiões D indicadas , Resp.: , Resp.: Resp.: , D é limitada por e Resp.: D é limitada por e . Resp.: D é limitada por e Resp.: , D é a região triangular de vértices e Resp.: Esboce a região limitada pelas retas e curvas dadas. Depois expresse a área da região como uma integral dupla iterada e calcule a integral. Os eixos coordenados e a reta . Resp.: 2. A parábola e a reta . Resp.: . A curva e as retas e . Resp.: 1 e Resp.: As parábolas e . Resp.: , e Resp.: Calcule o volume do sólido dado em cada caso: Resp.: . Resp.: Limitado pelas superfícies: e Resp.: Abaixo do plano e acima da região limitada por e . Resp.: Abaixo da superfície e acima do triângulo de vértices . Resp.: Limitado pelos cilindros e . Resp.: Usando uma mudança de variáveis conveniente, calcule: onde D é a região do plano xy limitada por e Resp.: onde D é o trapézio e Resp.: 1 Usando mudança polar, calcule as seguintes integrais: Resp.: 0 Resp.: , onde D é o anel delimitado por e . Resp.: onde R é a região que está à esquerda do eixo y e entre as circunferências e . Resp.: . onde R é a região que está acima do eixo x e dentro da circunferência . Resp.: . Calcular a área da região descrita em cada caso. Um laço da rosácea . Resp.: . A região interior a ambos os círculos e . Resp.: Suponha que uma lâmina com densidade f ocupe a região D do plano xy. Calcule a massa total m e as coordenadas do centro de massa de D. ; . Resp.: . ; . Resp.: . D é a região triangular com vértices ; . Resp.: . ; Resp.: e a densidade f num ponto é igual ao produto das coordenadas do ponto P. Resp.: D ocupa a parte do disco do primeiro quadrante. Determine o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for proporcional à distância do ponto ao eixo x. Encontre o centróide da região semicircular limitada pelo eixo x e pela curva . Resp.: . Encontre o centróide da região triangular cortada do primeiro quadrante pela reta . Calcule os momentos de inércia Ix, Iy e de uma lâmina D no plano xy limitada por uma ou mais curvas descritas pelas equações dadas. Em cada caso, denota a densidade num ponto de D. a) D é limitada por e . Resp.: . b) Resp.: , c) Resp.: , 3