Lista de Exercícios 3 - Gex102-Geometria Analítica e Algebra Linear

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Lista de Exerc´ıcios 3 - Gex102 - Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear
UFLA - Departamento de Cieˆncias Exatas
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Vetores
0. Responda:
(a) Qual a diferenc¸a entre um segmento orientado e um vetor?
(b) Quando que dois vetores sa˜o iguais?
(c) Quando que dois vetores sa˜o paralelos ou colineares?
1. Escreva as combinac¸o˜es de vetores como um u´nico vetor.
(a)
−→
AB +
−−→
BC
(b)
−−→
BD −−−→AD
(c)
−→
CA+
−−→
AD
(d)
−−→
CD +
−−→
DA+
−→
AB
(e)
−→
AA+
−−→
CD +
−−→
EE
2. Considere os vetores desenhados abaixo. Agora desenhe os seguinte vetores:
(a) ~u+ ~v
(b) ~v + ~w
(c) ~v + ~u+ ~w
(d) ~u+ ~w
(e) ~u− ~v
(f) ~u− ~w − ~v
(g) 1
2
~u
(h) ~u+ 2~w
(i) ~u+ 2~w− 1
2
~v+ 2(−1
2
~u− ~w)
3. (a) Mostre que dado um triaˆngulo qualquer ABC, o segmento MN formado pelos pontos
me´dio M e N de AB e BC, respectivamente, e´ paralelo a AC e tem comprimento igual a
metade de AC.
1
(b) Seja ABCD um quadrila´tero. Mostre que o quadrila´tero MNPQ formado pelos pontos
me´dios dos lados de ABCD determinam um paralelogramo.
4. Considere os vetores no espac¸o −→u = (−1, 4,−2) e −→v = (3, 1,−5). Calcule:
(a) 2−→u − 2−→v (b) −→u −√3−→v (c) −−→v + 2−→u .
5. (a) Defina um versor no espac¸o.
(b) Apresente dois exemplos de versores no espac¸o.
6. Considere um cubo gerado pelos vetores
−→
i = (1, 0, 0),
−→
j = (0, 1, 0) e
−→
k = (0, 0, 1).
(a) Determine o aˆngulo θ formado pela aresta ~i e a diagonal ~d = (1, 0, 1). Os vetores ~i e ~d sa˜o
ortogonais? Justifique a sua resposta.
(b) Determine o aˆngulo θ1 formado pela aresta ~j e a aresta ~k. Os vetores ~j e ~k sa˜o ortogonais?
Justifique a sua resposta.
7. Sejam ~v um vetor na˜o-nulo no espac¸o e α, β e γ a medida dos aˆngulos que ~v forma com os
vetores ~i, ~j e ~k, respectivamente. Demonstre que
cos2(α) + cos2(β) + cos2(γ) = 1.
Observac¸a˜o: cos2(x) = cos(x).cos(x).
8. Esboce graficamente os seguintes vetores:
(a) ~a = (4, 6)
(b) ~b = (−3, 5)
(c) ~c = (2, 2, 0)
(d) ~d = (0,−5, 3)
(e) ~e = (2, 1, 3)
(f) ~f = (−2,−5)
9. Encontre as componentes do vetor de ponto inicial P1 e ponto final P2 .
(a) P1 = (5, 6) e P2 = (3, 2)
(b) P1 = (4,−6) e P2 = (−3,−3)
(c) P1 = (−4, 0, 3) e P2 = (−5, 5, 0)
2
10. Sejam ~u = (4, 2, 1), ~v = (0, 5, 2) e ~w = (−4, 2, 4). Encontre os seguintes vetores:
(a) ~u− ~v
(b) 4~w − 2~v
(c) 3(~u− 2~v)
(d) −3(~v − 8~w)
(e) ~x tal que 2~u− ~v + ~x = 7~x− ~w
11. Sejam ~u = (2,−2, 3), ~v = (0,−3, 4) e ~w = (−4, 4, 4). Calcule as seguintes normas:
(a) ||~u||
(b) ||~v||
(c) ||~w||
(d) ||~u+ ~v||
(e) ||~u||+ ||~v||
(f) ||3~u+−4~v + ~w||
12. A figura a seguir e´ constitu´ıda de nove quadrados congruentes.
Verifique cada afirmac¸a˜o quanto a ser verdadeira ou falsa.
(a)
−→
AB =
−→
OF (b)
−−→
AM =
−−→
PH (c)
−−→
BC =
−→
OP (d)
−→
BL = −−−→MC (e)−−→DE = −−−→ED
(f)
−→
AO =
−−→
MG (g)
−−→
KN =
−→
FI (h)
−→
AC//
−→
HI (i)
−→
JO//
−→
LD (j)
−→
AJ =
−→
FG
(k)
−→
AB ⊥ −−→EG (l)−−→AM ⊥ −→BL (m)−→PE ⊥ −−→EC (n)−−→PN ⊥ −−→NB (o)−−→PN ⊥ −−→AM
(p)||−→AC|| = ||−→FP || (q)||−→IF || = ||−−→MF || (r)||−→AJ|| = ||−→AC|| (s)||−→AO|| = 2||−−→NP || (t)||−−→AM|| = ||−→BL||
13. Escreva o vetor −→u = (7,−1), como a soma de dois vetores, um paralelo ao vetor −→v = (1,−1)
e outro paralelo ao vetor −→w = (1, 1).
14. Sendo os pontos A = (1,−1, 3) e B = (3, 1, 5), ate´ que ponto se deve prolongar o segmento
AB, no sentido de A para B, para que seu comprimento quadruplique de valor?
15. Mostre que os pontos A = (3,−2), B = (5, 2) e C = (9, 10) esta˜o em linha reta.
Produtos
0. Dados vetores ~u,~v e ~w:
(a) Qual a definic¸a˜o de ~u · ~v sem coordenadas?
(b) Qual a definic¸a˜o de ~u× ~v sem coordenadas?
(c) Se ~u = (x1, y1, z1) e ~v = (x2, y2, z2), qual o valor de ~u · ~v? E qual o resultado de ~u× ~v?
(d) Como calcular (~u× ~v) · ~w?
(e) O que sa˜o vetores ortogonais? Como verificar se ~u e ~v sa˜o ortogonais usando produto
escalar?
3
(f) Qual o significado geome´trico de ||~u× ~v||? E de ||(~u× ~v) · ~w||?
(g) O que e´ combinac¸a˜o linear entre os vetores ~u, ~v e ~w?
(h) Como verificar se treˆs vetores com mesma origem esta˜o num mesmo plano usando produto
misto?
(i) Qual a projec¸a˜o ortogonal de ~u sobre ~v, sendo ~v um vetor na˜o-nulo?
(j) O que e´ um vetor unita´rio? Como construir o versor de um vetor na˜o-nulo ~u?
1. Calcule os produtos abaixo se fizer sentido.
(a) ~u · ~s, com ~u = (−2, 3) e ~s = (0, 7);
(b) ~a ·~b, com ~a = 2i+ 3j − 2k e ~b = i− 2j + k;
(c) ~w · ~s, com ~w = (1, 2,−1) e ~s = (0, 6);
(d) ~u · ~v, com ||~u|| = 6, ||~v|| = 2 e aˆngulo entre ~u e ~v e´ 2pi/3.
(e) ~i ·~i, ~i · ~k, ~j · ~k, ~j ·~j, onde ~i,~j e ~k sa˜o os vetores canoˆnicos do espac¸o.
(f) ~u · ~u, onde ||~u|| = 2;
(g) ~u · −→0 ;
(h) (~u · ~v)× ~w, onde ~u = (1, 1, 1), ~v = (1, 2, 3) e ~w = (0,−1, 2).
(i) ~u× ~v e ~v × 2~u, onde ~u = (2,−, 3) e ~v = (4, 2, 1).
(j) ||~u× ~v||, quando ||~u|| = 2, ||~v|| = 3 e o aˆngulo entre ~u e ~v e´ 30 graus.
(k) ~u× ~v, quando ~u = 2~v.
2. Considere o paralelep´ıpedo abaixo. Sabendo que
−→
AB = (1, 0, 1) ,
−−→
BE = (1, 1, 1) e
−−→
AD =
(0, 3, 3). Calcule o volume do paralelep´ıpedo e o volume do tetraedro EABD.
3. Calcule o produto escalar entre os seguintes vetores. Quais sa˜o ortogonais? Justifique.
(a) −→u = (0, 0, 0) e −→v = (−√7, 3√−4, 7)
(b) −→u = (1, 1, 1) e −→v = (0,−7,−8)
(c) −→u = (1, 2, 3) e −→v = (−7,−1,−3)
4. Decomponha o vetor ~w = −−→i + 10−→j − 2−→k como soma de −→w1 e −→w2, sendo −→ω1 paralelo ao vetor−→v = ~j −−→k e −→w2 ortogonal a −→v .
4
5. Determine a a´rea do triaˆngulo em R3 dado pelos ve´rtices A = (0, 0,−1), B = (4,−1, 5) e
C = (−2, 7, 3). Esse triaˆngulo e´ equila´tero? Justifique.
6. Calcule ||2−→u × 4−→v ||2, sabendo que −→u e´ unita´rio, ||−→v || = 17 e a medida do aˆngulo entre −→u e
−→v e´ 2pi
3
.
7. Sabendo que ~x e´ ortogonal a (1, 1, 0) e a (−1, 0, 1), tem norma √3 e, sendo θ a medida do
aˆngulo entre ~x e (0, 1, 0), tem-se cos θ > 0. Ache ~x.
8. Dados os vetores −→u = (0, 1, 2), −→v = (4,−1, 3) e −→ω = −→i + 3−→j −−→k , calcule
(a) (−→u ×−→v ).−→ω
(b) (2−→u × 3−→v ).(−−→ω ).
9. Encontre o volume do cubo determinado pelos vetores canoˆnicos
−→
i ,
−→
j e
−→
k .
10. Sejam ~u = (3, 2,−1), ~v = (0, 3, 2) e ~w = (2, 2, 3). Calcule:
(a) ~v.~u
(b) ~u.(~v.~w)
(c) (~u.~v).(~v.~w)
(d) Calcule o aˆngulo aproximado entre os ve-
tores ~v e ~u,~v e ~w, ~u e ~w
11. Encontre um vetor ortogonal a ~a e ~b, sendo :
(a) ~a = (−2,−5, 3) e ~b = (3, 2, 2)
(b) ~a = (−1, 1, 2) e ~b = (1,−1, 4)
12. Sejam ~u = (3, 2,−1), ~v = (0, 3, 2) e ~w = (2, 2, 3). Calcule:
(a) ~v × ~u
(b) ~u× (~v × ~w)
(c) (~u× ~v)× (~v × ~w)
13. Encontre a a´rea do paralelogramo determinado por ~a e ~b :
(a) ~a = (1,−1, 2) e ~b = (0, 3, 1)
(b) ~a = (2, 4, 0) e ~b = (−1, 2,−3)
14. Encontre o produto misto ~u.(~v × ~w) para:
(a) ~u = (−1, 2, 4), ~v = (3, 5, 2) e ~w = (−1, 2, 5)
(b) ~u = (3,−1, 6), ~v = (2, 2, 4) e ~w = (5,−1, 2)
15. Suponha ~u.(~v × ~w) = 6. Encontre (~v × ~w).~u e ~v.(~w × ~w).
5
16. Considere o paralelep´ıpedo formado pelos vetores ~u = (3, 2, 1), ~v = (1, 1, 2) e ~w = (1, 3, 3):
(a) Encontre a a´rea da face determinada por ~u e ~v ;
(b) Obtenha o volume deste paralelep´ıpedo.
17. Use o produto vetorial para encontrar o seno do aˆngulo entre os vetores:
~u = (2, 3,−6), ~v = (2, 3, 6)
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