Porc Conj Regra 3 Juros

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Sumário
Porcentagerm ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 3
Números Proporcionais --------------------------------------------------------------------------------------- 7
Regra de Três ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 9
Divisão Proporcional ----------------------------------------------------------------------------------------- 13
Conjuntos ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 17
Juros Simples -------------------------------------------------------------------------------------------------- 25
Juros Compostos --------------------------------------------------------------------------------------------- 30
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Calcule as porcentagens abaixo:
1) 10% de 385 é ..........
2) 10% de 75 é ..........
3) 10% de 8 é ..........
4) 1% de 950 é ..........
5) 1% de 23 é ..........
6) 20% de 750 é ..........
7) 20% de 81 é ..........
8) 30% de 420 é ..........
9) 40% de 2500 é ..........
10) 50% de 38,4 é ..........
11) 25% de 48 é ..........
12) 5% de 90 é ..........
13) 5% de 210 é ..........
14) 15% de 42 é ..........
15) 11% de 120 é ..........
16) 16% de 600 é ..........
17) 21 % de 250 é ..........
18) 60% de 920 é ..........
19) 61% de 1100 é ..........
20) 75% de 1200 é ..........
rascunho
PORCENTAGEM
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01. (FCC – 2010 – DNOCS – Agente Administrativo –
Caderno de Prova E05 tipo 001) Das 96 pessoas que
participaram de uma festa de confraternização dos
funcionários do Departamento Nacional de Obras Contra
as Secas, sabe-se que 75% eram do sexo masculino.
Se, num dado momento antes do término da festa, foi
constatado que a porcentagem dos homens havia se
reduzido a 60% do total das pessoas presentes,
enquanto que o número de mulheres permaneceu
inalterado, até o final da festa, então a quantidade de
homens que haviam se retirado era
(A) 36.
(B) 38.
(C) 40.
(D) 42.
(E) 44.
02. (FCC – 2010 – MPE/RS – Agente Administrativo
– Caderno de Prova A01 tipo 001) A empresa X possui
60 funcionários, dos quais 15% são mulheres. De
acordo com uma lei aprovada recentemente, toda empresa
do ramo onde atua a empresa X deverá ter, no mínimo,
40% de mulheres entre seus funcionários. Para que a
empresa X se adapte à nova lei sem demitir nenhum de
seus atuais funcionários e não contratando novos
funcionários homens, ela deverá admitir um número de
mulheres, no mínimo, igual a
(A) 25.
(B) 22.
(C) 20.
(D) 18.
(E) 15.
03. (FCC – 2010 – MPE/RS – Agente Administrativo
– Caderno de Prova A01 tipo 001) Devido a uma
promoção, um televisor está sendo vendido com 12%
de desconto sobre o preço normal. Cláudio, funcionário
da loja, está interessado em comprar o televisor. Sabendo
que, como funcionário da loja, ele tem direito a 25% de
desconto sobre o preço promocional, o desconto que
Cláudio terá sobre o preço normal do televisor, caso
decida adquirilo, será de
(A) 37%.
(B) 36%.
(C) 35%.
(D) 34%.
(E) 33%.
04. (FCC – 2010 – Metrô/SP – Agente de Estação –
Caderno de Prova 22 tipo 001) Especialistas dizem que,
em um carro bicombustível (álcool e gasolina), o uso de
TESTES
álcool só é vantajoso se o quociente do preço por litro
de álcool pelo do de gasolina for, no máximo, igual a
70%. Se o preço do litro da gasolina é R$ 2,60, então
NÃO é vantajoso usar álcool quando o preço por litro
de álcool
(A) é no máximo de R$ 1,70.
(B) é superior a R$ 1,82.
(C) está compreendido entre R$ 1,79 e R$ 1,86.
(D) é igual a R$ 1,78.
(E) é menor que R$ 1,80.
05. (FCC – 2010 – Sergipe Gás – Assistente
Administrativo – Caderno de Prova A01 tipo 001) Do
total de novos clientes de uma companhia de gás em
2009, sabe-se que: 25% eram residenciais, 55% eram
industriais e os 180 restantes eram comerciais. Nessas
condições, com relação aos novos clientes dessa
companhia em 2009, é correto afirmar que os
(A) industriais eram 1 200.
(B) residenciais eram 210.
(C) industriais eram 455.
(D) residenciais eram 245.
(E) industriais eram 495.
06. (FCC – 2010 – Banco do Brasil – Escriturário –
Caderno de Prova 01, 02 e 03, tipo 001) As estatísticas
da Campanha Nacional de Prevenção ao Câncer de Pele,
organizada há 11 anos pela Sociedade Brasileira de
Dermatologia, revelam que o brasileiro não se protege
adequadamente do sol: 70% dos entrevistados afirmaram
não usar qualquer tipo de proteção solar, nem mesmo
quando vão à praia (adaptado de www.sbd.org.br). Se
foram entrevistadas 34.430 pessoas, o número delas
que usam protetor solar é
(A) 24.101
(B) 15.307
(C) 13.725
(D) 12.483
(E) 10.329
07. (FCC – 2010 –Bahiagás –Técnico de Processos
Organizacionais Administrativo – Caderno de Prova G07
tipo 001) A conta de gás de uma empresa é calculada
por meio de uma taxa fixa de R$ 35,00 acrescida de R$
2,00 por m3 consumido. Num mês um cliente consumiu
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40 m3 e no mês seguinte consumiu um volume de gás
15% maior. O percentual aproximado de aumento na
conta desse cliente, do primeiro mês para o seguinte, é
(A) 8.
(B) 10.
(C) 12.
(D) 14.
(E) 15.
08. (FCC – 2010 –Bahiagás –Técnico de Processos
Organizacionais Administrativo – Caderno de Prova G07
tipo 001) Em um certo dia um atleta percorre 12 voltas
de uma pista em 30 minutos, sempre com a mesma
velocidade em cada volta. Num outro dia ele aumenta
sua velocidade em 25%. Em 50 minutos, com esta nova
velocidade, o atleta percorrerá exatamente:
(A) 21 voltas.
(B) 23 voltas.
(C) 25 voltas.
(D) 27 voltas.
(E) 30 voltas.
09. (FCC – 2010 –TRE/AC – Técnico Judiciário – Área
Administrativa – Caderno de Prova B02 tipo 001)
Relativamente ao total de registros de candidaturas
protocolados certo mês por três Técnicos Judiciários,
sabe-se que: 8/15 foi protocolado por Alciléia, 5/12
por Berenice e os demais por Otacílio. Assim sendo, a
quantidade protocolada por Otacílio corresponde a que
parte do total de registros protocolados nesse mês?
(A) 5%.
(B) 12,5%.
(C) 15%.
(D) 17,5%.
(E) 20%.
10. (FCC – 2010 –TRE/AC – Técnico Judiciário – Área
Administrativa – Caderno de Prova B02 tipo 001) Na
última eleição, ao elaborar o relatório sobre o
comparecimento dos eleitores inscritos numa Seção
Eleitoral, o presidente da mesa de trabalhos observou
que 40% do total de inscritos haviam votado pela manhã
e 75% do número restante no período da tarde.
Considerando que foi constatada a ausência de 27
eleitores, o total de inscritos nessa Seção era
(A) 108.
(B) 125.
(C) 150.
(D) 172.
(E) 180.
11. (FCC – 2010 –TRT/12ª – Técnico Judiciário –
Área Administrativa – Caderno de Prova B02 tipo 001)
Um comerciante comprou de um agricultor um lote de
15 sacas de arroz, cada qual com 60 kg, e, por pagar à
vista, obteve um desconto de 20% sobre o preço de
oferta. Se, com a venda de todo o arroz desse lote ao
preço de R$ 8,50 o quilograma, ele obteve um lucro de
20% sobre a quantia paga ao agricultor, então o preço
de oferta era
(A) R$ 6.375,00.
(B) R$ 7.650,25.
(C) R$ 7.968,75.
(D) R$ 8.450,50.
(E) R$ 8.675,00.
12. (FCC – 2010 –TRF/4ª – Técnico Judiciário – Área
Administrativa – Caderno de Prova O tipo 001) Dos
funcionários concursados lotados em certa repartição
pública, sabe-se que a razão entre o número de homens
e o de mulheres, nesta ordem, é 1,20. Se 88% dos
funcionários dessa repartição são concursados, então,
relativamente ao total de funcionários, a porcentagem
de funcionários concursados do sexo
(A)feminino é maior que 42%.
(B) masculino está compreendida entre 45% e
52%.
(C) feminino é menor que 35%.
(D) masculino é maior que 50%.
(E) masculino excede a dos funcionários do sexo
feminino em 6%.
13. (FCC – 2010 –TRF/4ª – Técnico Judiciário – Área
Administrativa – Caderno de Prova O tipo 001)
Considere que, do custo de produção de determinado
produto, uma empresa gasta 25% com mão de obra e
75% com matériaprima.
Se o gasto com a mão de obra subir 10% e o de
matéria-prima baixar 6%, o custo do produto
(A) baixará de 2%.
(B) aumentará de 3,2%.
(C) baixará de 1,8%.
(D) aumentará de 1,2%.
(E) permanecerá inalterado.
14. (FCC – 2010 –TRF/4ª – Técnico Judiciário –Apoio
Especializado/Contabilidade – Caderno de Prova R tipo
001)Comparando os registros de entrada e saída de
pessoas de certa Unidade do Tribunal Regional
Federal,relativos aos meses de janeiro de 2010 e
dezembro de 2009, observou-se que o número de
visitantes emjaneiro ultrapassava o de dezembro em
40%. Sabendo que, se essa Unidade tivesse recebido
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350 visitantes amenos em janeiro, ainda assim, o total
de pessoas que lá estiveram nesse mês excederia em
12% o total de visitantes de dezembro. Nessas condições,
o total de visitantes de janeiro foi
(A) 1.625.
(B) 1.650.
(C) 1.700.
(D) 1.725.
(E) 1.750.
PORCENTAGEM:
01. A
02. A
03. D
04. B
05. E
06. E
rascunho
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a
b
c
d
a
b
c
d
a + c
b + d
Introdução
Esta aula tem uma importância fundamental não
apenas em Matemática, como também em Matemática
Financeira, Física e Química. Toda vez que trabalhamos
com comparação de grandezas, estamos utilizando os
conceitos básicos de proporções.
Razão
A razão entre dois números é o quociente do
primeiro pelo segundo. Desta forma, a razão entre os
números a e b, nesta ordem, é o quociente.
→ antecedente
→ consequente (b ≠ 0)
A razão é lida da seguinte forma:
“a está para b”
Proporção
Denomina-se proporção a igualdade entre duas
ou mais razões.
A igualdade =
é uma proporção. Os termos a e c são chamados de
antecedentes da proporção e os termos b e d são
consequentes. Outra denominação usual e termos
extremos e meios, ou seja
 → meios
 → extremos
Propriedades da Proporção
As propriedades a seguir são verificadas em
qualquer proporção.
1ª Propriedade
Em uma proporção, o produto dos meios é igual
ao produto dos extremos, ou seja
 = → = a . d = bc
2ª Propriedade
A proporção se verifica ao se somar os dois
antecedentes e os correspondentes consequentes ou seja
 = =
3ª Propriedade
A proporção se verifica ao se subtrair os dois
antecedentes e os correspondentes consequentes ou seja
 = =
Observação:
Existem outras propriedades que são
consequências imediatas.
• Exemplo 1:
Calcule x nas seguintes proporções:
a) =
b) =
a
b
a
b
a
b
c
d
=
a
b
c
d
a
b
c
d
a – c
b – d
8
12
x
3
5 + x
8 + x
3
4
NÚMEROS PROPORCIONAIS
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• Exemplo 2:
Calcule x e y na proporção = , sabendo
que x - y = 30.
• Exemplo 3:
A diferença de dois números é 15 e a razão entre
eles é . Calcule esses números.
01. Calcule o valor de x nas proporções:.
a) =
b) =
c) =
d) =
e) =
02. A soma de dois números é 21 e a razão entre eles é
 . Calcule esses números.
03. Dois irmãos têm juntos 80 anos. Se a razão entre
essas idades é , calcule a idade do irmão mais
velho.
04. Calcular x e y na proporção = sabendo-se
que x - y = 15.
05. Calcular x e y na proporção = sabendo-se
que x + y = 36
Grandezas Diretamente Proporcionais
Duas ou mais grandezas são classificadas como
diretamente proporcionais quando, aumentando
(diminuindo) uma delas, a outra (outras) aumenta
(diminui) na mesma proporção.
Grandezas Inversamente Proporcionais
Duas ou mais grandezas são classificadas como
inversamente proporcionais quando, aumentando
(diminuindo) uma delas, a outra (outras) diminui
(aumentam) na proporção inversa.
x
y
4
3
7
2
EXERCÍCIOS
x
4
32
48
x + 2
3 - x
4
1
x - 1
6
9
12
5 - x
x + 1
6
2
x - 1
5
x - 5
3
5
2
4
3
x
y
9
4
x
4
y
5
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REGRA DE TRÊS SIMPLES
A regra de três simples é um processo prático
para resolver problemas que envolvem grandezas direta
ou inversamente proporcionais. Esse processo consiste
nos seguintes passos:
— Reunir em uma coluna as grandezas de igual espécie
e com a mesma unidade de medida.
— Analisar as grandezas e classificá-Ias como direta
ou inversamente proporcionais.
— Obter a proporção correspondente e solucioná-Ia.
• Exemplo 1: Uma roda da 80 voltas em 20 minutos.
Quantas voltas dará em 28 minutos?
• Exemplo 2: Com 8 eletricistas podemos fazer a
instalação de uma casa em 3 dias. Quantos dias
levarão 6 eletricistas para fazer o mesmo trabalho?
• Exemplo 3: Com 6 pedreiros podemos construir uma
parede em 8 dias. Quantos dias gastarão 3 pedreiros
para fazer a mesma parede?
• ExempIo 4: Uma fábrica engarrafa 3000 refrigerantes
em 6 horas. Quantas horas levará para engarrafar
4000 refrigerantes?
• Exemplo 5: Quatro marceneiros fazem um armário
em 18 dias. Em quantos dias 9 marceneiros fariam
o mesmo armário?
1) Uma fotografia tem 10 cm de largura e 15 cm de
comprimento. Queremos ampliá-Ia de modo que seu
comprimento tenha 18 cm. Então, na foto maior:
calcule a largura.
2) Uma máquina, trabalhando durante 40 minutos,
produz 200 peças iguais. Quantas peças serão
produzidas (peças iguais) pela mesma máquina em
2h 30min?
3) Uma roda com 25 dentes está ligada através de
engrenagem com outra roda de 20 dentes. Enquanto
a segunda roda da 600 voltas, quantas voltas dará
a primeira?
4) Um livro de 240 páginas possui 30 linhas em cada
página. Se o mesmo livro fosse reimpresso com os
mesmos caracteres, utilizando 40 linhas em cada
página, quantas páginas teria o novo livro?
REGRA DE TRÊS
EXERCÍCIOS
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REGRADE TRÊS COMPOSTA
A regra de três composta é um processo prático
utilizado na resolução de problemas que envolvem mais
de duas grandezas; inversa ou diretamente proporcionais.
Esse processo consiste nos seguintes passos:
— Reunir em colunas as grandezas de igual espécie e
com a mesma unidade.
— Analisar as grandezas duas a duas, (em relação à
que possui a incógnita), afim de verificar se são
diretamente ou inversamente proporcionais.
— Obter a proporção correspondente e solucioná-la.
• Exemplo 1: Uma olaria produz 1470 tijolos em 7
dias, trabalhando 3 horas por dia. Quantos tijolos
produzirá em 10 dias, trabalhando 8 horas por dia?
• Exemplo 2: Numa fábrica. 12 operários trabalhando
8 horas por dia conseguem fazer 864 caixas de
papelão. Quantas caixas serão feitas por 5 operários
que trabalhem 10 horas por dia?
• Exemplo 3: Uma máquina fabricou 3200 parafusos,
trabalhando 12 horas por dia, durante 8 dias.
Quantas horas devera trabalhar por dia para fabricar
5000 parafusos em 15 dias?
• Exemplo 4: Oitenta pedreiros constroem 32 m de
muro em 16 dias. Quantos pedreiros serão
necessários para construir 16 m de muro em 64
dias?
• Exemplo 5: Numa indústria, 18 operários,
trabalhando 7 horas por dia, fazem determinado
serviço em 24 dias. Em quantos dias, 12 operários,
trabalhando 9 horas por dia farão o mesmo serviço?
01. Um ciclista percorre 150 km em 4 dias, pedalando
3 horas pordia. Em quantos dias faria uma viagem
de 400 km, pedalando 4 horas por dia?
02. Numa indústria têxtil, 8 alfaiates fazem 360
camisetas em 3 dias. Quantos alfaiates são
necessários para que sejam feitas 1080 camisetas
em 12 dias?
03. Vinte máquinas, trabalhando 16 horas por dia, levam
6 dias para fazer um trabalho. Quantas máquinas
serão necessárias para executar o mesmo serviço,
se trabalharem 20 horas por dia, durante 12 dias?
04. Uma casa é construída em 12 dias por 40 operários,
que trabalham 9 horas por dia. Em quantos dias 24
operários, trabalhando 5 horas por dia, poderiam
construir a mesma casa?
EXERCÍCIOS
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01. Uma gravura de forma retangular, medindo 20 cm,
de largura por 35 cm de comprimento, deve ser
ampliada para 1,2 m de largura. O comprimento
correspondente será:
a) 0,686 m
b) 6,85 m
e) 2,1 m
d) 1,35 m
e) n.d.a.
02. A razão entre dois números é 3/8 . Se a soma do
maior com o dobro do menor é 42, o maior deles é:
a) 9
b) 15
c) 24
d) 30
e) n.d.a
03. A escala da planta de um terreno, na qual o
comprimento de 100 m foi representado por um
segmento de 5 cm é:
a) 1/200
b) 1/1000
c) 1/2000
d) 1/10000
e) n.d.a
04. Para que se verifique a igualdade 9/y = x/8 = 5/20, os
valores de x e y devem ser, respectivamente:
a) 2 e 5
b) 1/4 e 1/5
c) 5 e 35
d) 2 e 36
e) n.d.a.
05. Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer
600 km . Supondo condições equivalentes, esse
mesmo carro, para percorrer 840 km, consumirá?
a) 68 l
b) 75 l
c) 70 I
d) 80 I
e) n.d.a.
06. Uma máquina varredeira limpa uma área de
5100 m² em 3 horas de trabalho. Nestas mesmas
condições, em quanto tempo limpará uma área de
11900 m² ?
a) 7 haras
b) 9 horas
e) 5 horas
d) 4 horas
e) n.d.a.
07. O pêndulo de um relógio cuco faz uma oscilação
completa em cada segundo, e a cada oscilação do
pêndulo o peso desce 0,02 mm. Em 24 horas o
peso desce aproximadamente:
a) 1,20 m
b) 1,44 m
c) 1,60 m
d) 1,73m
e) n.d.a.
08. Sabe-se que das 520 galinhas de um aviário, 60
não foram vacinadas, e 92, vacinadas, morreram.
Entre as galinhas vacinadas, a razão do número de
mortas para o número de vivas é?
a) 1/4
b) 1/5
c) 4/1
d) 4/5
e) n.d.a.
09. Dois amigos jogaram na loteria esportiva sendo que
o primeiro entrou com R$140,00 e o segundo com
R$ 220,00 . Ganharam um prêmio de
R$ 162.000,00. Como deve ser rateado o prêmio?
a) R$ 63 000,00 e R$ 99 000,00
b) R$ 70 000,00 e R$ 92 000,00
c) R$ 50 000,00 e RS 112 000,00
d) R$ 54 000,00 e R$108 000,00
e) n.d.a.
10. Uma família de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg
de pão. Quantos quilos serão necessária para
alimentá-Ia durante 5 dias estando ausentes 2
pessoas?
a) 3
b) 5
c) 4
d) 6
e) n.d.a.
TESTES DE REFORÇO
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11. Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por dia,
durante 4 dias, produzem toneladas de certo
produto. Quantas toneladas do mesmo produto
seriam produzidas por 6 máquinas daquele tipo,
operando 6 horas por dia, durante 6 dias?
a) 8
b) 15
c) 10,5
d) 13,5
e) n.d.a.
12. Para asfaltar 1 km de estrada, 30 homens gastaram
12 dias trabalhando 8 horas por dia. Vinte homens,
para asfaltar 2 km da mesma estrada, trabalhando
12 horas por dia gastarão?
a) 6 dias
b) 12 dias
c) 24 dias
d) 28 dias
e) n.d.a.
13. Admitindo-se que a razão ideal do número de
habitantes de uma cidade para cada metro quadrado
de área verde fosse de 2 para 5, então, a população
máxima que deveria ter uma cidade com 400.000 m²
de área verde seria de:
a) 16.000 hab
b) 80.000 hab
c) 160.000 hab
d) 200.000 hab
e) n.d.a.
14. Um mapa está desenhado na escala 1:10000000.
Cada 2 cm medidos nesse mapa estão representando,
na realidade:
a) 2000 km
b) 20 km
c) 200 km
d) 2 km
e) 0,2 km
15. Uma ponte é feita em 120 dias por 16 trabalhadores.
Se o número de trabalhadores for elevado para 24,
o número de dias necessários para a construção da
mesma ponte será:
a) 180
b) 128
c) 100
d) 80
e) 60
rascunho
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DIVISÃO EM PARTES
DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Dividir um número em partes diretamente a dois
ou mais parcelas que sejam diretamente proporcionais
aos números dados.
Vejamos alguns exemplos:
1. Dividir 100 em partes proporcionais a 2 e 3.
2. Dividir 120 em partes proporcionais a 3 e 5.
3. Divida o número 153 em três partes que sejam
proporcionais a 3,5 e 9.
DIVISÃO PROPORCIONAL
4. Dividir 121 em partes diretamente proporcionais a
1, 1/2 e 1/3.
5. Determinar números A e B diretamente proporcionais
a 8 e 3, sabendo-se que a diferença entre eles é 60.
01. (PETROBRAS) UM milionário viúvo decidiu repartir
sua fortuna entre seus 3 filhos e 2 sobrinhos de
modo que a parte de cada filho e a de cada sobrinho
fosse diretamente proporcional aos números 5 e 2,
respectivamente. A fração de fortuna que coube a
cada sobrinho foi de:
a) 2/7
b) 2/9
c) 2/13
d) 2/15
e) 2/19
02. (CONVEST / 2007 / POLÍCIA MILITAR / PB)
SOLDADO) Quais das sucessões abaixo são formadas
por números diretamente proporcionais aos da
sucessão 3, 4, 5, 6, 7?
a) 7, 6, 5, 4, 3
b) 9, 12, 15, 18, 21
c) 2, 4, 6, 8, 10
d) 1, 3, 5, 7, 9
e) 5, 10, 15, 20, 25
QUESTÕES DE CONCURSOS
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03. (PUC-SP) Dois amigos jogaram na loteria esportiva,
sendo que o primeiro entrou com R$ 140,00 e o
segundo com R$ 220,00 Ganharam um prêmio de
R$ 162.000,00, Como deve ser rateado o prêmio?
a) R$ 63.000,00 e R$ 99.000,00
b) R$ 50.000,00 e R$ 112.000,00
c) R$ 70.000,00 e R$ 92.000,00
d) R$ 54.000,00 e R$ 108.000 ,00
e) R$ 53.000,00 e R$ 109.000,00
04) (U. Mogi/ SP) Numa sociedade, houve um lucro de
R$ 800,00. Os capitais dos sócios A e B são,
respectivamente, R$ 1.500,00 e R$ 900,00. Os
sócios A e B receberão em reais lucros,
respectivamente, de:
a) R$ 550,00 e R$ 250,00
b) R$ 600,00 e R$ 200,00
c) R$ 500,00 e R$ 300,00
d) R$ 520,00 e R$ 260,00
e) R$ 530,00 e R$ 270,00
05) (B.B) Numa loja de automóveis, os vendedores
recebem comissões proporcionais ao número de
carros que vendem. Se, em uma semana, o gerente
pagou um total de $ 8.280,00 a quatro funcionários
que venderam 3, 6, 7 e 9 carros, respectivamente
quanto ganhou o que menos carros vendeu?
a) $ 993,60
b) $ 808,00
c) $ 679,00
d) $ 587,10
e) $ 507,60
06) (B.B) Certa herança foi dividida de forma diretamente
proporcional as idades dos herdeiros, que tinham
35, 32 e 23 anos. Se o mais velho recebeu $
525.000,00 quanta coube ao mais novo?
a) $ 230,000,00
b) $ 245,000,00
c) $ 325,000,00
d) $ 345,000,00
e) $ 350,000,00
07) (PGR) Uma peça de tecido foi dividida em 4 partes
proporcionais aos números 10, 12, 16 e 20.
Sabendo-se que a peça tinha 232 metros, o
comprimento do menor corte foi de:
a) 20 m
b) 40 m
c) 30 m
d) 48 m
e) 64 m
08) (B.B) 165 balas foram distribuídas entre 3 irmãos,
cujas idades somadas totalizavam 33 anos.
Sabendo-se que a distribuição foi diretamente
proporcional a idade de cada um, que o mais moço
recebeu 40 balas e 0 do meio, 50, calcular suas
idades.
a) 6, 13 e 14
b) 7, 9 e 17
c) 3, 12 e 18
d) 6, 11 e 16
e) 8, 10 e 15
09) (PETROBRAS) Dividindo-se $ 3.800,00 em partes
inversamente proporcionais a 1, 3 e 4, a menor
parte correspondera a:
a) $ 475,00
b) $ 520,00
c) $ 600,00
d) $ 620,00
e) $ 644,00
10) (CVM) Uma partida de 15 dúzias de canetas deve
ser repartida por 3 seções, proporcionalmente ao
número de seus funcionários. Na primeira seção há
20 funcionários, na segunda há 3/4 do número de
funcionários da primeira e na terceira 2/3 do número
de funcionários da segunda. A serão de maior
número de funcionários recebe um total de:
a) 80 canetas
b) 100 canetas
c) 20 canetas
d) 60 canetas
e) 40 canetas
Matemática
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DIVISÃO EM PARTES
INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Dividir um número em partes inversamente a dois
ou mais números é reparti-lo em parcelas que sejam
inversamente proporcionais aos números dados.
Vejamos alguns exemplos:
01. Dividir 52 em partes inversamente proporcionais a
4 e 9.
02. Dividir 84 em partes inversamente proporcionais a
3,5 e 6.
03. Dividir 650 em partes inversamente proporcionais
a 2, 3 e 4
04. Encontre o número que ao ser dividido em partes
inversamente proporcionais a 2, 3 e 10 gera 42
como a menor das partes.
05. Determinar números A e B inversamente
proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença
entre eles é 10.
01. (TELERJ) Dividindo $ 66.000,00 em partes
inversamente proporcionais a 1, 2 e 3, a maior parte
corresponderá a:
a) $ 24.000,00
b) $ 33.000,00
c) $ 36.000,00
d) $ 44.000,00
e) $ 60.000,00
02. (TRT) Certa quantia foi dividida entre duas pessoas,
em partes inversamente proporcionais a 7 e a 15.
Sabendo que a diferença entre as partes e de $
160,00, o valor, em reais, da menor parte e de:
a) 160,00
b) 120,00
c) 265,00
d) 240,00
e) 140,00
03. (CFC) Se os ângulos de um triângulo são
inversamente proporcionais aos números 1, 3 e 6,
então a soma das medidas dos dois menores ângulos
desse triângulo em graus, e:
a) 120
b) 80
c) 60
d) 40
e) 20
04. (CFC) Os números 25, 15 e “a” são inversamente
proporcionais aos números 6, “b” e 20. Logo,
a) a = b
b) a < b
c) a > b
d) a = b + 2,5
e) nda
QUESTÕES DE CONCURSOS
Matemática
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Defensoria Pública
DIVISÃO EM PARTES
DIRETAMENTE E INVERSAMENTE
PROPORCIONAIS COMPOSTA
Temos os problemas que solicitam a divisão de
um número em partes diretamente proporcionais a outro
grupo de números, assim) como aqueles que pedem a
divisão em partes inversamente proporcionais, Temos
também os casas onde em uma mesma situação um
número de ser dividido em partes diretamente
proporcionais a um grupo de números e em partes
inversamente proporcionais a um outro grupo de
números.
Vejamos alguns exemplos:
1) Decompor o número 58 em duas partes A e B
diretamente proporcionais a 2 e 3, e, inversamente
proporcionais a 5 e 7.
2) Divida o número 981 em partes diretamente
proporcionais a 2, 6 e 3 e inversamente
proporcionais a 5, 9 e 4, respectivamente.
3) Divida o número 600 em partes diretamente
proporcionais a 12, 4, 2 e 6 e inversamente
proporcionais a 6, 2, 3 e 18, respectivamente .
4) Divida o número 579 em partes diretamente
proporcionais a 7, 4 e 8 e inversamente
proporcionais a 2, 3 e 5, respectivamente.
5) Um pai distribuiu R$ 546,00 aos seus 2 filhos em
partes diretamente proporcionais a média final na
disciplina de matemática e em partes inversamente
proporcionais ao número de faltas em todo o ano
letivo. O primeiro filho teve media final 9 e faltou 8
vezes, enquanto que o segundo filho teve média
final 8 e faltou 3 vezes. Quantos reais eles ganharam
respectivamente?
6) Obter números A e B diretamente proporcionais a 4
e 3 e inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-
se que a diferença entre eles é 21.
Matemática
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CONJUNTOS NUMÉRICOS
Ao agrupamento de elementos com
características semelhantes damos o nome de conjunto.
Quando estes elementos são números, tais
conjuntos são denominados conjuntos numéricos.
Neste tópico estudaremos os cinco conjuntos
numéricos fundamentais, que são os conjuntos
numéricos mais amplamente utilizados.
1. Conjuntos dos Números Naturais (N)
É formado por números utilizados na contagem e
ordenação de elementos.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
N* = {1; 2, 3, 4, 5, ... } é o conjunto dos
números naturais não-nulos.
2. Conjunto dos Números Inteiros (Z)
É uma expansão do conjunto dos números
naturais.
Z = { ... , - 5, - 4, - 3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
 N
Para excluir os números positivos de um conjunto
utilizamos o símbolo - (menos) e para excluir os
negativos, utilizamos o + (mais).
 Deste modo:
 Z* = { ... , - 5, - 4, - 3, - 2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
é o conjunto dos números inteiros não-nulos.
 Z+ = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } é o conjunto dos
números inteiros não-negativos.
 Z- = { ... , - 5, - 4, - 3, - 2, -1 , 0} é o conjunto
dos números inteiros não-positivos.
 Z*+ = { 1, 2, 3, 4, 5, ... } é o conjunto dos números
inteiros positivos.
 Z*– = { ... , - 5, - 4, - 3, - 2, -1 } é o conjunto dos
números inteiros negativos.
3. Conjunto dos Números Racionais (Q’)
É formado pelos números que possuem
representação fracionaria com numerador e denominador
inteiros (denominador não-nulo).
Q = { x = | a ∈∈∈∈∈ Q e b ∈∈∈∈∈ Q* }
De modo análogo ao proposto para o conjunto
dos números inteiros, temos Q*, Q+, Q-, Q
*
+ e Q
*
-.
Os números que apresentam representação
fracionária e, portanto são números racionais são:
A) Números Inteiros
Todo número inteiro, possui representação
fracionaria, veja os exemplos:
Observe os exemplos:
a) -5 = - = - = , portanto -5 ∈ Q.
b) 0 = = = , portanto 0 ∈ Q.
c) 7 = = = , portanto 7 ∈ Q.
B) Frações próprias, impróprias e números mistos
Observe os exemplos: , , 3 ∈ Q
C) Números Decimais Exatos
Número decimal exato é aquele que apresenta
um número finito de casas (ordens) decimais. Observe
os exemplos:
a) 0,2 = = , portanto 0,2 ∈ Q.
b) 1,35 = = , portanto 1,35 ∈ Q .
D) Dízimas periódicas simples e compostas.
Dízimas são números decimais que apresentam
infinitas casas (ordens) decimais. São chamadas periódicas
quando, após a vírgula, apresentam repetição de um
número infinitas vezes. Este número é chamado período.
Observe alguns exemplos:
a) 0,222 ... = , portanto. 0,222 ... ∈ Q.
Esta dizima é chamada periódica simples, pois
imediatamente após a vírgula percebemos a presença
do período 2.
a
b
5
1
10
2
15
3
0
1
0
2
0
3
7
1
14
2
21
3
2
10
1
5
135
100
27
20
2
9
3
5
4
2
1
2
CONJUNTOS
Matemática
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b) 0,3222 ... = , portanto 0,3222 ... ∈ Q.
Esta dízima é chamada periódica composta, pois após
a vírgula percebemos a presença do número 3 (pré-
período) antes do período 2.
4) Conjunto dos números irracionais
 (R – Q) ou II
Números irracionais são as dizimas não-
periódicas, isto é, são números decimais que apresentam
infinitas casas decimais, porém não possuem período.
São números que não resultam da divisão entre dois
números inteiros.
Os números irracionais mais famosos são:
a) O PI.
π = 3,1415926535897932384626433832795 ...
b) O número de Euler.
e = 2,718281828459045235360287471352 ...
Podemos obter números irracionais extraindo raízes
não-exatas como segue:
c) 2 = 1,4142135623730950488016887242097 ...
d)
3
5 = 1,7099759466766969893531088725439 ...
5) Conjunto dos números reais (R)
Chama-se número real a qualquer número racional
ou irracional. Deste modo podemos dizer que o conjunto
dos números reais e a união entre o conjunto dos
números racionais e o conjunto dos números irracionais.
R = Q ∪∪∪∪∪ II
De modo análogo ao proposto para os conjuntos
dos números racionais, temos R*, R+, R-, R
*
+ e R
*
–.
6) Conjuntos numéricos fundamentais em
diagrama
Abaixo temos a representação dos conjuntos
numéricos fundamentais em um diagrama.
1) Os números que conhecemos foram criados devido
às necessidades dos seres humanos. Inicialmente a
necessidade de contar e em seguida o surgimento
das operações forçaram o aparecimento de novos
números em diferentes lugares e momentos
históricos.
Diversas pessoas foram responsáveis por esta
evolução no pensamento humanoconstruindo os
conjuntos numéricos estudados atualmente. Em
relação aos números que pertencem a estes
conjuntos podemos afirmar que:
a) Todo número racional é uma dízima periódica.
b) Todo número irracional é inteiro.
c) Toda dízima não-periódica não é real.
d) Todo número real tem infinitas casas (ordens)
decimais.
e) Todo número natural é racional.
2) (Fundação Zoobotânica - FAURGS) Considere os
seguintes números:
I. 0,010101...
II. 0,010010001...
III. 0,123412341234
Quais são números racionais?
a) apenas I
b) apenas I e II
c) apenas I e III
d) apenas II e III
e) I, II e III
29
90
EXERCÍCIOS 1
Matemática
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{ }
{ }
{ }
3) (UFRGS) Identifique, entre os conjuntos abaixo o
subconjunto do conjunto dos números irracionais:
a) π, , 
3
3 , 2½
b) -2, π, 2 , 3
c) , 3 , , 7
d) 2 , 3 , 4 , 5
e) -11/4, 21/2, π, 21/3
4) (UFRGS) Entre os números seguintes,
A) 0,171717 ...
B) 0,313113111311113 ...
C) 0,424224222422224 ...
D) 0,897638976389763 ...
E) 3
a) nenhuma é racional.
b) todas são racionais. ‘
c) apenas E é racional.
d) apenas A, D e E são racionais.
e) apenas B e C são racionais.
5) (UFSM) Assinale verdadeiro (V) ou falso (F) em cada
uma das afirmações a seguir:
( ) A letra grega π representa o número racional
que vale 3,14159265. .
( ) O conjunto dos números racionais e o conjunto
dos números irracionais são subconjuntos dos
números reais e possuem apenas um ponto
em comum.
( ) Toda dizima periódica é um número racional.
A seqüência correta é:
a) F - V - V
b) V - V - F
c) V - F - V
d) F - F - V
e) F - V - F
1
3
3
1
8
3
1
5{ }
{ }
06) (UFRGS) A lista completa dos adjetivos natural,
inteiro, positivo, negativo, racional, irracional, real
e complexo, que se aplica ao número é
a) complexo, real, irracional, negativo
b) complexo, racional, inteiro, positivo
c) real, racional, inteiro, negativo
d) complexo, racional, inteiro, negativo, natural
e) complexo, real, racional, inteiro, negativo
07) (UFRGS) Entre os números apresentados nas
alternativas, qual é o único que é racional?
a) 2,333...
b) 0,01001000100001...
c)
d) π
e) razão do comprimento de um círculo e seu raio
08) (UPF) O valor da expressão
a) é um número inteiro
b) é um número natural
c) é um número racional
d) é um número irracional maior que 1
e) não é um número real
(1 - 25)
2
2
 2
3
5
1
4
+ 0,4
6 +
Matemática
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TEORIA DOS CONJUNTOS
Conjuntos
É um agrupamento de objetos bem definidos e
distintos de nossa percepção ou de nosso pensamento,
os quais se denominam elementos do conjunto (Georg
Cantor).
Representação de um conjunto
Os conjuntos são representados por elementos.
Os elementos são colocados entre { } ou diagramas.
Ex.: A = { }
Caracterização de um Conjunto
Por compreensão
Quando enunciamos as propriedades do conjunto.
A = [x | x é vogal}
Por extensão
Quando mencionamos todos os seus elementos.
A = {a, e, i, o, u}
TIPOS DE CONJUNTOS
Conjunto Vazio
Um conjunto, embora seja associado a uma
coleção de objetos, as vezes não possui elementos.
Como representar um conjunto vazio, ou seja,
um conjunto que não possui elementos?
∅∅∅∅∅ ou { } Cuidado: {∅∅∅∅∅} ≠≠≠≠≠ ∅∅∅∅∅
B
Conjunto Universo
O conjunto Universo de um estudo é aquele ao
qual pertencem todos os elementos desse estudo.
Graficamente, o Universo será representado por um
retângulo envolvendo os outros conjuntos.
Conjunto Finito
Considere o conjunto A = {a, b, c, d, e, f, g, h}.
Contando seus elementos, um a um, conseguimos chegar
ao “fim” da contagem. Por isso dizemos que A é um
conjunto finito.
Exemplos:
Conjunto Infinito
Contando seus elementos, um a um, jamais
chegaremos ao “fim” da contagem.
Exemplos:
Conjunto unitário
Conjunto unitário é todo conjunto formado por
um único elemento.
Exemplos:
Matemática
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Igualdade de Conjuntos
Dois conjuntos são iguais quando possuem os
mesmos elementos. Por exemplo, se A = {números naturais
pares} e B= {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 ... }, então A = B.
Se A não é igual a B, então A é diferente de B e
escrevemos A ≠ B
Relação de Pertinência
A relação de pertinência é utilizada para determinar
se um elemento pertence ou não a um determinado
conjunto. Para isso utilizamos os símbolos:
∈ → pertence a ∉ → não pertence a
Exemplo:
Dado o conjunto A = (1, 2, 3, 4, 5} complete o
espaço com ∈∈∈∈∈ e ∉∉∉∉∉:
0 ____ A 1 ____ A 3 ____ A 6 ____ A
A relação de pertinência é utilizada somente para
comparação de elemento com conjunto.
Relação de Inclusão
A relação de inclusão é utilizada para verificar se um
conjunto está ou não contido em outro, ou seja, se um é
subconjunto do outro, utilizando para isso os símbolos:
⊂ → está contido em
⊄ → não está contido em
⊃ → contém
⊃ → não contém
Dizemos que um conjunto A está contido num
conjunto B quando todos os elementos de A pertencem
também a B.
Exemplo:
Dados os conjuntos
A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7} e
C = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} podemos dizer que:
a) A ⊄ B → lê-se: A não está contido em B
b) A ⊂ C → lê-se: A está contido em C
c) B ⊃ A → lê-se: B não contém A
d) B ⊂ C → lê-se: B está contido em C
e) C ⊃ B → lê-se: C contém B
f) C ⊃ A → lê-se: C contém A
Quando ocorrer de A ⊂ B. dizemos que A é um
subconjunto de B.
SUBCONJUNTOS
Sendo A = {a, b, c} os conjuntos de A são:
Se colocarmos todos estes subconjuntos entre
chaves temos o conjunto das partes do conjunto A, ou
seja P(A).
O número de subconjuntos é dado por
2n
onde “n” é _______________________
Exemplo:
Se um conjunto A tem x elementos, então o
conjunto formado por todos os subconjuntos contidos
em A tem:
a) 2x elementos
b) x² elementos
c) x² + 1 elementos
d) 2x elementos
e) nenhuma das respostas anteriores é correta
Seja A um conjunto de 8 elementos. O número
total de subconjuntos de A é:
a) 6
b) 8
c) 100
d) 128
e) 256
rascunho
Matemática
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OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
União (∪)∪)∪)∪)∪)
A ∪∪∪∪∪ B = {x | x ∈∈∈∈∈ A ∨∨∨∨∨ x ∈∈∈∈∈ B}
Exemplo:
Dados A = {1, 2, 3} e B = {0, 2, 4}.
Determine: A ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ B =
Hachura a união entre os conjuntos A e B
a) b)
c)
Intersecção: (∩∩∩∩∩)
A ∩∩∩∩∩ B = {x | x ∈∈∈∈∈ A ∧∧∧∧∧ x ∈∈∈∈∈ B}
Exemplos:
Dados A = {2, 3, 4} e B = {1, 3, 5}
Determine: A ∩ B=
Conhecendo A = {0, 2, 4} e B = {1, 3, 5}
Determine: A ∩ B=
A B A B
A
B
Hachure a intersecção entre os conjuntos A e B
a) b)
c)
Diferença (–)
A – B ={x | x ∈∈∈∈∈ A ∧∧∧∧∧ x ∉∉∉∉∉ B}
Exemplos:
Dados A = {1, 2, 3, 4} e B = {0, 2, 3, 5}
Determine: A – B = B – A =
Dados A = {a, b, c, d} e B = {a, c}
Determine: A – B = B – A =
Hachure a diferença entre os conjuntos A e B
a) b)
c)
A B A B
A
B
A B A B
A
B
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Hachure a diferença entre os conjuntos B e A
a) b)
c)
PROBLEMAS QUE ENVOLVEM CONJUNTOS
Em diversas situações-problema, a resolução será
facilitada se representamos os seus dados na forma de
diagramas.
1) Uma editora estuda a possibilidade de relançar as
publicações Helena, Iracema e A Moreninha. Para
isso, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu
que, em cada 1000 pessoas consultadas,
• 600 leram A Moreninha;
• 400 leram Helena;
• 300 1eram Iracema;
• 200 leram A Moreninha e Helena;
• 150 leram A Moreninha e Iracema;
• 100 leram Iracema, e Helena;
• 20 leram as três obras.
Calcule:
a) O número de pessoas que leu apenasuma das
três obras.
b) O número de pessoas que não leu nenhuma
das três obras.
c) O número de pessoas que leu duas ou mais
obras.
A B A B
A
B
2) (UFPE) Objetivando conhecer a preferência musical
dos seus, ouvintes, certa emissora de radio realizou
uma pesquisa, dando como opção três compositores:
M, B e S. Os resultados são:
Votos Opções
27 Gostam de B
34 Gostam de M
40 Gostam de S
16 Gostam de B e M
12 Gostam de B e S
14 Gostam de M e S
6 Gostam de B, M e S
4 Não gostam de B, M e S
Considerando esses dados, podemos classificar
verdadeiras(V) ou falsas(F) as seguintes afirmações:
a) ( ) 42 não gostam de B.
b) ( ) 18 gostam de M e não gostam de B.
c) ( ) 20gostam exclusivamente de S.
d) ( ) 24gostam de exatamente dois dos
compositores.
e) ( ) 25 não gostam de M.
3) (UFPA/PRISE) Na tentativa de elevar os índices de
audiência de seus programas, uma emissora de rádio
decidiu realizar uma pesquisa para conhecer a
preferência musical dos moradores de diferentes
bairros de Belém. “PAGODE”, “AXÉ” e BREGA”
foram as opções musicais mais citadas pelos 1000
entrevistados, conforme indicam os dados tabelados
a seguir:
Quantidade de
Opção MusicalEntrevistados
290 Preferem Pagode
375 Preferem Axé
425 Preferem Brega
160 Preferem Pagode e Axé
120 Preferem Pagode e Brega
145 Preferem Axé e Brega
65 Preferem Pagode, Axé e Brega
Sem esquecer a existência daqueles que
manifestaram outras opções musicais, quantos são
os que não preferem nem “Brega” nem “Axé”.
a) 75
b) 130
c) 260
d) 265
e) 345
EXERCÍCIOS 2
Matemática
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4) (UFSM) Numa prova de vestibular, ao qual
concorreram 20000 candidatos, uma questão
apresentava as afirmativas A, B e C, e cada candidato
devia classificá-las em verdadeira (V) ou falsa (F).
Ao analisar os resultados da prova, observou-se que
10200 candidatos assinalaram V na afirmativa A;
6100, na afirmativa B; 7720, na afirmativa C.
Observou-se ainda que 3600 candidatos
assinalaram V nas afirmativas A e B; 1200, nas
afirmativas B e C; 500, nas afirmativas A e C; 200,
nas afirmativas A, B e C. Quantos candidatos
consideraram falsas as três afirmativas?
a) 360
b) 490
c) 720
d) 810
e) 1080
(ANPAD 2009)
Instruções: As questões 5 e 6 se referem aos
conjuntos diagramados a seguir. As regiões sombreadas
representam regiões vazias e os conjuntos W, X, Y e Z
são todos não vazios.
5) Pode-se afirmar que:
a) todo X é Y
b) todo X é Z
c) todo X é W
d) nenhum X é Y
e) nenhum X é W
6) Pode-se afirmar que:
a) algum X é Z
b) algum X não é Y
c) algum X é Y e nenhum Y é Z
d) algum X é W e nenhum Z é W
e) algum X não é W e nenhum Y é W
7) (TCU / ESAF) Numa escola de apenas 800 alunos,
é sabido que 200 deles gostam de pagode; 300 de
rock e 130 de pagode e de rock. Quantos alunos
não gostam nem de pagode nem de rock?
a) 430
b) 560
c) 670
d) 730
e) 800
rascunho
Matemática
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Defensoria Pública
O juro é calculado sempre sobre o capital inicial
e seu valor é igual em todos os períodos considerados.
Assim supondo um capital de R$ 100,0, aplicado a
juro simples de 5% a.m., durante 4 meses, ao juros
podem ser calculados como segue.
• no final do 1° mês: cada R$ 100,00 de capital
renderá R$ 5,00 de juros, ou 5% de R$ 100,00.
• no final do 2° mês: cada R$ 100,00 de capital
renderá R$ 5,00 de juros, ou 5% de R$ 100,00.
• no final do 3° mês: cada R$ 100,00 de capital
renderá R$ 5,00 de juros, ou 5% de R$ 100,00.
• no final do 4° mês: cada R$ 100,00 de capital
renderá R$ 5,00 de juros, ou 5% de R$ 100,00.
Nota-se que os juros são todos iguais, pois são
sempre calculados sobre o mesmo capital inicial. Os juros
podem ser retirados no fim de cada mês ou no final de 4
meses que o total será sempre o mesmo, ou seja, R$
20,00.
FÓRMULA PARA JUROS SIMPLES
J = C . i . n
NOTAÇÃO ELEMENTOS
J Juros simples
C Capital, principal ou valor presente
i Taxa unitária
n Numero de períodos (tempo) que o capital
ficou aplicado.
Observações importantes:
a) A taxa i e o período n devem referir-se á mesma
unidade de tempo, isto é, se a taxa for anual, o
tempo deverá ser expresso em anos; se for mensal,
o tempo deverá ser expresso em meses, e assim
sucessivamente. Ao iniciar um exercício, recomenda-
se verificar se i e n estão expressos na mesma
unidade de tempo. Caso não estejam, devem ser
homogeneizados.
b) Em todas as formulas matemáticas utiliza-se a taxa
de juros na forma unitária (taxa percentual) ou
centesimal, dividida por 100).
JUROS SIMPLES
TAXAS
Taxa nominal
É a taxa usada na linguagem normal, expressa
nos contatos ou informada nos exercícios.
A taxa nominal é uma taxa de juros simples e se
refere a um determinado período de capitalização.
Taxa proporcional
Duas taxas são chamadas proporcionais quando
existe entre elas a mesma relação verificada para os
períodos de tempo a que se referem.
No regime de juros simples, existe
proporcionalidade entre as taxas. Quando uma taxa é
fornecida em uma unidade de tempo diferente daquelas
a que se refere o prazo da operação, basta modificarmos
a sua unidade de tempo utilizando uma proporção.
Assim duas taxas i1 e i2, referentes
respectivamente aos períodos n1 e n2, são proporcionais
se, tornando-se os períodos a que se referem na mesma
unidade de tempo, for observada a seguinte relação.
Obs: na relação i1 e i2, podem estar tanto unitária
como sob a forma percentual; porém é necessário que
ambas estejam sob a mesma forma.
Exemplos:
1) A taxa de 10% a.m é proporcional a taxa de
_____ a.a.
2) A taxa de 4% a.m é proporcional a taxa de
_____ a.a.
3) A taxa de 2% a.m é proporcional a taxa de
_____ a.b.
4) A taxa de 3% a.m é proporcional a taxa de
_____ a.s.
5) A taxa de 24% a.a é proporcional a taxa de
_____ a.m.
6) A taxa de 18% a.s. é proporcional a taxa de
_____ a.m.
7) A taxa de 6% a.m é proporcional a taxa de
_____ a.d.
=
i1
i2
n1
n2
Matemática
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Defensoria Pública
Exemplo de cálculos de juros
1) Quais os juros produzidos pelo capital de
R$ 5.000,00 aplicados a uma taxa de juros simples
de 10% a.a. durante 6 anos.
2) Quais os juros produzidos por R$ 2.000,00
aplicados a juros simples, durante 5 meses a taxa
1/2% ao a.m.
3) Quais os juros produzidos pelo capital R$ 1.200,00
aplicados a uma taxa de juros simples de 10% ao
bimestre durante 5 anos?
4) Calcular os juros simples produzidos por
R$40.000,00, aplicados á taxa de 36% a.a.,
durante 125 dias.
5) Um capital de R$ 20.000,00 à taxa de 5% a.a.
rendem R$ 800,00 de juros. Qual o tempo de
aplicação?
6) A que taxa esteve colocado o capital de
R$ 12.000,00 para, em 1 ano e 4 meses, render
R$800,00 de juros?
7) Qual o capital que aplicado a juros simples de
2% a.m rende R$ 200,00 de juros em 75 dias.
8) Um certo capital é aplicado em regime de juros
simples, à uma taxa mensal de 5%. Depois de quanto
tempo este capital estará duplicado?
Matemática
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Defensoria Pública
9) Um certo capital é aplicado em regime de juros
simples, à uma taxa anual de 10%.Depois de quanto
tempo este capital estará triplicado?
10) A que taxa se deve aplicar certo capital, para no fim
de 5 anos, produzir juros iguais a 5/10 de si
mesmo?
11) Durante quanto tempo uma quantia deve ser
colocada a juros simples a 5% a.a. para que os
juros produzidos sejam iguais a 3/5 do capital?
12) A que taxa, determinado capital rende, no fim de 5
anos, o dobro de seu valor.
MONTANTE
É o capital adicionado aos juros do período.
M = C + J ou M = C (1 + in)
Exemplos:
1) A quantia de R$ 3000,00 é aplicada a juros simples
de 5% ao mês, durante 5 anos. Calcule o montante
ao final de 5 anos.
2) Calcule o montante ao final de dez anos de um capital
R$ 10.000,00aplicados à taxa de juros simples
de 18% ao semestre (18% a.s)
3) Calcular o capital que, à taxa de 4% a.a., em 3
anos, elevou-se a R$ 2.240,00.
4) Que capital inicial, aplicado à taxa de juros simples
de 72% a.a., eleva-se a R$ 131.600,00 em 1 ano,
2 meses e 20 dias
Matemática
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Defensoria Pública
01) (Cesgranrio – 2011 – Petrobrás –Técnico Ambiental
Júnior) Maria quer comprar uma bolsa que custa
R$ 85,00 à vista. Como não tinha essa quantia no
momento e não queria perder a oportunidade, aceitou
a oferta da loja de pagar duas prestações de R$
45,00, uma no ato da compra e outra um mês
depois. A taxa de juros mensal que a loja estava
cobrando nessa operação era de
(A) 5,0%
(B) 5,9%
(C) 7,5%
(D) 10,0%
(E) 12,5%
02) (FCC – 2011 – TRT – 4ª Região – Técnico Judiciário
– Administrativo – caderno de prova TA tipo 1) Na
compra de um par de sapatos, Lucimara pode optar
por duas formas de pagamento:
- à vista, por R$ 225,00;
- R$ 125,00 no ato da compra mais uma parcela
de R$ 125,00, um mês após a compra.
Se Lucimara optar por fazer o pagamento parcelado,
a taxa mensal de juros simples cobrada nesse
financiamento é de
(A) 10%
(B) 20%
(C) 25%
(D) 27%
(E) 30%
03) (FCC – 2011 – BB – escriturário – prova tipo 1)
Um capital foi aplicado a juros simples, à taxa anual
de 36%. Para que seja possível resgatar-se o
quádruplo da quantia aplicada, esse capital deverá
ficar aplicado por um período mínimo de:
(A) 7 anos, 6 meses e 8 dias.
(B) 8 anos e 4 meses.
(C) 8 anos, 10 meses e 3 dias.
(D) 11 anos e 8 meses.
(E) 11 anos, 1 mês e 10 dias.
04) (Cespe – 2011 – Correios – Agente dos Correios –
Atendente Comercial – Caderno 11 branco) Se, no
período de 4 meses e no regime de juros simples, a
quantia de R$ 2.000,00 aplicada em uma instituição
financeira produz o montante de R$ 2.720,00,
então a taxa mensal de juros praticada por essa
instituição é
(A) superior a 8%.
(B) inferior a 2%.
(C) superior a 2% e inferior a 4%.
(D) superior a 4% e inferior a 6%.
(E) superior a 6% e inferior a 8%.
05) (FMP-RS 2011 – TCE-MT – Auditor Público
Externo – Prova Matutina) O rendimento de uma
aplicação de R$ 1.200,00, a taxa de juros simples
de 3% ao mês, durante 6 meses, é
(A) R$ 1.432,92.
(B) R$ 1.416,00.
(C) R$ 232,92.
(D) R$ 221,52.
(E) R$ 216,00.
06) (CESGRANRIO 2011 – TRANSPETRO – Contador
Junior – Auditoria Interna) Um aplicador realizou
um investimento cujo valor de resgate é de R$
80.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros simples
é de 3,5% ao mês e que faltam 5 meses para o
resgate, o valor da aplicação, em reais, foi de:
(A) 68.085,10
(B) 66.000,00
(C) 65.000,00
(D) 64.555,12
(E) 63.656,98
07) (FCC – 2011 – BB – escriturário – prova tipo 1)
Faustino dispõe de R$ 22.500,00 e pretende aplicar
esta quantia a juros simples, do seguinte modo: 3/
5 do total à taxa mensal de 2,5% e, na mesma
ocasião, o restante à taxa de 1,8% ao mês. Supondo
que durante 8 meses sucessivos Faustino não faça
qualquer retirada, ao término desse período o
montante que ele obterá das duas aplicações será
igual, em R$, a
(A) 25 548,00.
(B) 26 496,00.
(C) 26 864,00.
(D) 27 586,00.
(E) 26 648,00.
08) (FCC – 2011 – BB – escriturário – prova tipo 1)
Um capital de R$ 10 500,00 foi aplicado a juros
simples. Sabendo que a taxa de juros contratada foi
de 42% ao ano, então, não tendo sido feito qualquer
depósito ou retirada, o montante de R$ 11 725,00
estará disponível a partir de quanto tempo da data
de aplicação?
(A) 4 meses.
(B) 3 meses e 20 dias.
(C) 3 meses e 10 dias.
(D) 3 meses.
(E) 2 meses e 20 dias.
QUESTÕES DE CONCURSOS
Matemática
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Defensoria Pública
09) (FCC – 2010 – Sergipe Gás – Assistente
Administrativo – Caderno de prova A01 tipo 001)
Um trabalhador aplicou seu 13o salário a juro
simples e à taxa mensal de 3%; e ao fim do prazo
de aplicação o montante era de R$ 1.204,60. Se o
valor do 13o salário era R$ 760,00, o prazo dessa
aplicação foi de:
(A) 12 meses.
(B) 15 meses e meio.
(C) 17 meses.
(D) 19 meses e meio.
(E) 22 meses.
10) (VUNESP - 2010 - FUNDAÇÃO CASA - Agente
Administrativo) Um capital foi aplicado no sistema
de juros simples durante 20 meses, e o montante
recebido ao final da aplicação foi igual a 5/4 do
capital inicial. A taxa anual de juros simples dessa
aplicação foi:
(A) 15%
(B) 18%
(C) 20%
(D) 22%
(E) 25%
11) (Cesgranrio – 2011 –Transpetro – Técnico
Ambiental Júnior) Certo investidor, que dispunha
de R$ 63.000,00, dividiu seu capital em duas partes
e aplicou-as em dois fundos de investimento. O
primeiro fundo rendeu 0,6% em um mês, e o
segundo, 1,5% no mesmo período. Considerando-
se que o valor do rendimento (em reais) nesse mês
foi o mesmo em ambos os fundos, a parte do capital
aplicada no fundo com rendimentos de 0,6% foi:
(A) R$ 18.000,00
(B) R$ 27.000,00
(C) R$ 36.000,00
(D) R$ 45.000,00
(E) R$ 54.000,00
rascunho
Matemática
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Defensoria Pública
JUROS COMPOSTOS
No regime de juros compostos os juros calculados num período serão acrescidos ao capital principal para o
cálculo dos juros no próximo período. Por esta razão diz-se, no caso de regime de capitalização composta, “juros
sobre juros”.
Recordando:
Nos Juros Simples a taxa é sempre aplicada sobre o capital inicial e o rendimento (juros) é sempre o mesmo
a cada período.
Já os Juros Compostos a taxa é aplicada sempre sobre o último valor: capital + juros que já renderam no
período que passou.
O que diferencia os dois regimes de capitalização é justamente o período: quanto maior for o período, maior
será a diferença entre juros simples e compostos. E esta diferença se dá no valor final, chamado de Montante (capital
+ juros).
Vamos comparar:
Perceba que no Juros Simples, o montante cresce
no largo do tempo, de maneira linear conforme uma
progressão aritmética (PA).
NoJuros Compostos, o montante cresce, ao largo
do tempo, de maneira exponencial conforme uma
progressão geométrica (PG).
Fórmula
M = C (1 + i)n
Onde:
M é o montante i é a taxa
C é o capital n é o período
 Cuidado
Antes de qualquer aplicação de
fórmula é necessário primeiro identificar
se a taxa e o período estão na mesma
unidade de medida (tempo). Se não
estiverem, uma delas deve ser transformada. E a taxa i
será aplicada na sua forma unitária (dividida por 100,
exemplo 30% = 30 / 100 = 0,3)
Nomenclatura:
Os símbolos usados para os parâmetros de cálculo
são os conhecidos universalmente e utilizados nas
calculadoras financeiras e planilhas eletrônicas. Os
principais símbolos são:
Período
1
2
3
4
5
6
Juros
10,00
10,00
10,00
10,00
10,00
10,00
Montante
110,00
120,00
130,00
140,00
150,00
160,00
Capital
100,00
100,00
100,00
100,00
100,00
100,00
Capital
100,00
100,00
100,00
100,00
100,00
100,00
Juros
10,00
11,00
12,10
13,31
14,64
16,10
Montante
110,00
121,00
133,10
146,41
161,05
177,16
Juros simples Juros Compostos
Símbolo
Alternativo Definição
C
M
INT
T
NPV
IRR
[Present Value]
Valor presente, Capital Inicial
[Future Value]
Valor Futuro, montante
[Interest]
Juros
Taxa de Juros
Tempo, Período, Número de
Prestações
[Payment]
Pagamento, Prestação
Símbolo
PV
FV
J
i
n
PMT
VPL
TIR
[Net Present Value]
Valor Presente Líquido
[Internal Rate of Return]
Taxa Interna de Retorno
Matemática
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Defensoria Pública
Exemplos resolvidos:
1) Calcule o montante produzido por R$ 10.000,00
aplicado em regime de juros compostos de 1% a.m,
durante 3 meses.
C = 100.000
n = 3 meses
i = 1% a.m. ou 0,01
M = C (1 + i)n
M = 100.000 (1 + 0,01)³
M = 100.000 (1,01)³
M = 100.000 . 1,030301
M = 103.030,10
2) Calcule o capital inicial que no prazo de 4 meses, a
2% a juros compostos, produziuo montante R$
216.485,44.
M = 216.486,44
n = 4 meses
i = 2% a.m. ou 0,02
M = C(1 + i)n
216.486,44 = C(1 + 0,02)4
216.486,44 = C . (1,02)4
216.486,44 = C . 1,0824322
C =
C = 200.000,00
3) Determine o valor dos juros compostos pagos por
um empréstimo de R$ 2.000,00 contratado a taxa
efetiva de 10% a.m. pelo prazo de 5 meses.
C = 2000
n = 5 meses
i = 10% a.m. ou 0,1 a.m.
M = C(1 + i)n
M = 2000 (1 + 0,1)5
M = 2000 (1,1)5
M =2000 . 1,61051
M = 3.221,02
Para encontrar os juros:
J = M - C
J = 3.221,02 - 2.000,00
J = 221,02
216.486,44
1,0824322
QUESTÕES DE CONCURSOS
1) (Cesgranrio – 2010 – Petrobrás – Inspetor de
Segurança Interna Júnior) Seja c uma quantia
aplicada a juros compostos de 2,5% ao mês. O
montante M obtido após t meses é expresso por
(A) M = c . (0,025)t
(B) M = c . (0,25)t
(C) M = c . (1,025)t
(D) M = c . (1,25)t
(E) M = c . (2,5)t
2) (Cesgranrio – 2010 – Petrobrás – Técnico de
Administração e Controle Júnior) O governo federal
vai usar recursos do FGTS para financiar projetos
na área de transporte urbano, visando à Copa do
Mundo em 2014. Empresas que pegarem
empréstimos para projetos de transporte sobre trilhos
pagarão 5,5% de juros ao ano. Uma empresa
receberá um empréstimo de x reais, a serem pagos
em t anos. O valor total M pago por esse empréstimo
é calculado pela fórmula
(A) M = x . (0,055)t
(B) M = x . (0,55)t
(C) M = x . (1,055)t
(D) M = x . (1,55)t
(E) M = x . (5,5)t
3) (Agente Fiscal de Renda/SP-2009) O capital que
quadruplica em 2 meses, ao se utilizar de
capitalização composta, deve estar vinculado a uma
taxa mensal de:
(A) 50%
(B) 100%
(C) 150%
(D) 200%
(E) 400%
04) Aplicando-se R$ 50.000,00 a taxa de juros
compostos de 2% a.m., quanto receberei de volta
após um ano de aplicação? Qual o juro obtido neste
período?
C = 50.000
i = 2% a.m. = 0,02 a.m.
n = 1 ano = 12 meses
Iremos trabalhar com o período em meses, já que a
taxa está em meses
M = C (1 + i)n
M = 50000 (1 + 0,02)12
M = 50000 (1,02)12
M = 50000 . 1,2682418
M = 63412,09
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(Cespe – 2011 – Correios – Agente dos Correios
– Atendente Comercial)
Texto para as questões 4 e 5
Um investidor aplicou R$ 10.000,00, por 2
anos, à taxa de juros compostos anuais de 10%.
4) Com base no texto, é correto afirmar que, ao final
do período de 2 anos, o juro obtido nesse
investimento foi
(A) superior a R$ 1.300,00 e inferior a
R$ 1.600,00.
(B) superior a R$ 1.600,00 e inferior a
R$ 1.900,00.
(C) superior a R$ 1.900,00 e inferior a
R$ 2.200,00.
(D) superior a R$ 2.200,00.
(E) inferior a R$ 1.300,00.
5) O investidor obteria o mesmo montante se aplicasse
o mesmo capital, por 3 anos, a juros simples anuais
de
(A) 7%.
(B) 8%.
(C) 9%.
(D) 5%.
(E) 6%.
6) (FCC – 2010 – Sefaz/SP – Técnico da Fazenda
Estadual) Elenita dispunha de R$ 3 000,00 e, em
uma mesma data, aplicou a metade dessa quantia a
juros simples e o restante a juros compostos, ambas
à taxa mensal de 8%. Dessa forma, decorridos dois
meses da data das aplicações, os montantes de
ambas totalizavam
(A) R$ 2 031,60.
(B) R$ 2 753,40.
(C) R$ 3 267,50.
(D) R$ 3 489,60.
(E) R$ 3 743,40.
7) (FCC – 2010 – Banco do Brasil – Escriturário ) Um
capital é aplicado, durante 8 meses, a uma taxa de
juros simples de 15% ao ano, apresentando um
montante igual a R$ 13.200,00 no final do prazo.
Se este mesmo capital tivesse sido aplicado, durante
2 anos, a uma taxa de juros compostos de 15% ao
ano, então o montante no final deste prazo seria
igual a
(A) R$ 17.853,75.
(B) R$ 17.192,50.
(C) R$ 16.531,25.
(D) R$ 15.870,00.
(E) R$ 15.606,50.
8) (FCC – 2010 – MPE/RS – Agente Administrativo) O
extrato de uma aplicação financeira capitalizada
anualmente no sistema de juros compostos é dado
na tabela abaixo.
Data Saldo (R$)
01/01/2008 20.000,00
01/01/2009 ?????
01/01/2010 28.800,00
No período considerado, não houve depósitos nem
retiradas. Se as taxas de juros referentes aos
períodos de 01/01/2008 a 01/01/2009 e de 01/
01/2009 a 01/01/2010 foram iguais, então o saldo
da aplicação, em reais, em 01/01/2009 era de
(A) 25.000,00.
(B) 24.800,00.
(C) 24.400,00.
(D) 24.200,00.
(E) 24.000,00.
9) (FCC – 2012 –TRT – 6 ª Região (PE) – Analista
Judiciário – Contabilidade) Não tendo recursos para
saldar um empréstimo de R$ 110.000,00 (na data
do vencimento), determinada empresa fez um acordo
a instituição financeira para pagá-lo 90 dias após o
vencimento. Sabendo que a taxa de juros compostos
cobrada pelo banco foi de 5% ao mês, o valor pago
pela empresa foi, em reais.
(A) 115.500,00
(B) 115.762,50
(C) 121.275,00
(D) 126.500,00
(E) 127.338,75
10) ( Cesgranrio - CEF 2012 ) O montante gerado por
uma instituição financeira, em uma aplicação no
regime de juros compostos, é R$ 5.000,00, em
10 meses, ou R$ 5.202,00, em 1 ano. Se a taxa
de juros é constante, o valor aplicado é, em reais,
de, aproximadamente,
(A) 4.100
(B) 3.950
(C) 1.950
(D) 3.400
(E) 3.100
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Defensoria Pública
GABARITO
NÚMEROS
PROPORCIONAIS
Exemplos:
1. a) x = 2
 b) x = 4
2. x = 120 / y = 90
3. x = 21 / y = 6
Exercícios:
1. a)
 b) x = 2
 c) x = 11/2
 d) x = 1/2
 e) x = 11
2. x = 14 / y = 6
3. x = 48 / y = 32
4. x = 27 / y = 12
5. x = 16 / y = 20
PORCENTAGEM
01. A
02. A
03. D
04. B
05. E
06. E
07. B
08. C
09. A
10. E
11. C
12. B
13. A
14. E
REGRA DE TRÊS
Simples
Exemplos:
1. 112 voltas
2. 4 dias
3. 16 dias
4. 8 horas
5. 8 dias
Exercícios:
1. 12 cm
2. 750 peças
3. 480
4. 180 páginas
Composta
Exemplos:
1. 5.600 tijolos
2. 450 caixas
3. 10 h/d
4. 10 pedreiros
5. 28 dias
Exercícios:
1. 8 dias
2. 6 alfaiates
3. 8 máquinas
4. 36 operários
Testes de Reforço
01. C
02. C
03. C
04. D
05. C
06. A
07. D
08. A
09. A
10. B
11. D
12. C
13. C
14. C
15. D
DIVISÃO
PROPORCIONAL
Partes Diretamente
Proporcionais
Exemplos:
1. 40 e 60
2. 45 e 75
3. 27, 45 e 81
4. 63, 33, 22
5. 96 e 36
Questões de
Conursos
01. E
02. B
03. A
04. C
05. A
06. D
07. B
08. E
09. C
10. A
Partes Inversamente
Proporcionais
Exemplos:
1. 36 e 16
2. 40, 24 e 20
3. 300, 200, 150
4. 392
5. 40 e 30
Questões de
Conursos
01. C
02. E
03. C
04. B
Partes Direta e
Inversamente
Proporcionais
Exemplos:
1. 28 e 30
2. 216, 360 e 405
3. 240, 240, 80, 40
4. 315, 120, 144
5. 162 e 384
6. 84 e 16
CONJUNTOS
Exercícios 1
1. E
2. C
3. A
4. D
5. D
6. E
7. A
8. C
Exercícios 2
1. a) 460
 b)130
 c) 410
2. a) V
 b) V
 c) V
 d) V
 e) F
3. E
4. E
5. D
6. B
7. A
JUROS SIMPLES
Exemplos de
cálculos de juros
01. 3.000
02. 50
03. 3.600
04. 6.000
05. 9 meses e 18
dias
06. 5% a.a.
07. 4.000
08. 20 meses
09. 20 meses
10. 10% a.a.
11. 12 anos
12. 40% a.a.
Montante
exemplos:
1. 12.000
2. 4.600
3. 2.000
4. 70.000
Questões de
Concursos
01. E
02. C
03. B
04. A
05. E
06. A
07. B
08. C
09. D
10. A
11. D
JUROS
COMPOSTOS
Questões de
Concursos
1. C
2. C
3. B
4. C
5. A
6. D
7. D
8. E
9. E
10. A