Aula 1 de Probabilidade e Estatística

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Probabilidade e Estatística
Curso: Engenharia de Controle e Automação
Prof. Katielle de Moraes Bilhan
Aula 1: Probabilidade
 
Experimento aleatório
Definição: Um experimento que pode fornecer 
diferentes resultados, mesmo sendo repetido da 
mesma maneira.
Exemplos: 
1. lançar um dado
2. lançar uma moeda
3. selecionar uma peça de acordo com sua qualidade
4. configurações de um automóvel
5. colocar um componente em uma placa de circuito 
impresso com 8 localizações
 
Espaço amostral
Definição: É o conjunto de todos os possíveis 
resultados de um experimento aleatório. (S)
Exemplo:
1.
2.
3.
4.
5. 
 
 
6. Considere um experimento em que você seleciona uma 
peça plástica moldada, tal como um conector. Construa o 
conjunto de todas as possibilidades, quando: 
a) se mede sua espessura. 
b) se considera todos os conectores que terão entre 10 e 
11 milímetros.
c) se o objetivo é analisar se a peça obedece ou não as 
especificações de fábrica 
 
● Os espaços amostrais são classificados em
Discretos: um conjunto finito ou infinito contável.
Contínuos: um conjunto finito ou infinito num intervalo.
 
Como encontrar o espaço amostral?
● Regra da multiplicação
Exemplo: 
O proprietário de uma empresa precisa de serviços de um 
engenheiro em automação e de um engenheiro elétrico. 
Se houver 4 engenheiros de automação e 3 engenheiros 
elétricos, de quantas formas o proprietário pode contratar 
o serviço?
 
● Permutações
Nos ajuda a encontrar o número de sequências ordenadas 
dos elementos de um conjunto.
Exemplo: Há 5 assistentes de professores disponíveis 
para acompanhar alunos na disciplina de Física 
Experimental. A turma é composta de 5 alunos e o 
professor deseja selecionar um assistente para cada 
aluno . De quantas formas diferentes os assistentes 
podem ser escolhidos para o experimento?
n!=n.(n−1).(n−2) .... .2.1
 
● Permutações de subconjuntos ou arranjos simples
Exemplo: Há 10 assistentes de professores disponíveis 
para acompanhar alunos na disciplina de Física 
Experimental. A turma é composta de 5 alunos e o 
professor deseja selecionar um assistente para cada aluno 
. De quantas formas diferentes os assistentes podem ser 
escolhidos para o experimento?
P r
n=An ,r=
n !
(n−r )!
 
● Permutação de objetos similares
Exemplo: 1) Considere uma operação de usinagem em que dois 
orifícios, com diâmetros idênticos, e dois encaixes de mesmo 
tamanho necessitam ser feitos em uma peça metálica. Seja p 
uma operação de perfuração e e uma operação de encaixe. Na 
determinação de uma programação para uma oficina de 
usinagem, devemos estar interessados no número de possíveis 
sequências diferentes das quatro operações.
n !
n1! n2! ...nr !
 
 
Exemplo 2: Um item é codificado pela impressão de 
quatro linhas espessas, três linhas médias e duas linhas 
finas. Se cada ordenação das nove linhas representa um 
código diferente, quantos códigos diferentes podem ser 
gerados pelo uso desse esquema?
 
Combinações
Tem a mesma ideia da permutação, mas a ordem não 
altera.
Exemplo: Uma placa de circuito impresso tem oito 
localizações diferentes em que um componente pode ser 
colocado. Se cinco componentes idênticos forem 
colocados na placa, quantos projetos diferentes são 
possíveis? 
C r
n=
n!
r ! (n−r )!
 
Evento
Definição: é um subconjunto do espaço amostral.
Exemplo: Considere o espaço amostral
O subconjunto de resultados para os quais, no mínimo 
uma peça, está obedecendo as especificações. 
S={ss , sn , ns , nn }
S={ss , sn , ns }
 
Revisão: Conjuntos
 
Exemplo: Medidas da espessura de um conector plástico 
devem ser modelados com o espaço amostral
Sejam e 
S={x∈ℜ ; x>0 }
E1={x∈ℜ ;5⩽x<7 } E2={x∈ℜ ;6<x<8 }
E1∪E 2
E1∩E 2
E ' 1
 
 Probabilidade
● Quantificar possibilidades
Resultados igualmente prováveis
 Toda vez que um espaço amostral consistir em N 
resultados possíveis que forem igualmente prováveis, a 
probabilidade é dada por 
1
N
 
Probabilidade de um evento
Para um espaço amostral discreto, a probabilidade de um 
evento E, denotado por , é igual a soma das 
possibilidades dos resultados de E.
Exemplo: Um experimento aleatório pode resultar em um 
dos resultados com probabilidades 0,1; 0,3; 
0,5 e 0,1, respectivamente. Seja A o evento , B o 
evento e C o evento . Então: 
P (S )
{a ,b , c ,d }
{a ,b }
{b ,c , d } {d }
P (A)=..........
P (B)=..........
P (C)=..........
P (A ')=..........
P (B ')=..........
P (C ' )=..........
P (A∪B)=..........
P (A∩B)=..........
 
Axiomas da probabilidade
Se S for o espaço amostral e E for qualquer evento
● Axioma 1:
● Axioma 2:
● Axioma 3: para e , com 
P (S )=1
0⩽P (E)⩽1
P (S )=1
E1 E2 E1∩E 2=∅
P (E1∪E 2)=P(E1)+P (E2)
 
Probabilidade de uma adição
● Exemplo: A tabela abaixo, lista a história de 940 pastilhas em 
um processo de fabricação de semicondutores. Suponha que 
uma pastilha seja selecionada ao acaso.
Tabela 1
H: evento em que a pastilha contém altos níveis de 
contaminação;
C: evento em que a pastilha esteja no centro de uma 
ferramenta de recobrimento.
Encontre: 
Localização na ferramenta de recobrimento
Contaminação centro borda total
Baixa 514 68 582
Alta 112 246 358
Total 626 314
P (H∩C ) ; P (H∪C )
 
Aula 2: Probabilidade
 
Probabilidade condicional
É a probabilidade de ocorrer B, dado um evento A
Observe a tabela:
Tabela 2
P (B/ A)= P (A∩B)
P(A)
Falhas na superfície
Sim Não Total
Defeituoso Sim 10 18 28
Não 30 342 372
Total 40 360 400
 
 Sejam D o evento em que um item seja defeituoso e F 
o evento em que o item tenha falha na superfície.
 Qual a probabilidade de D sabendo que tenha uma 
falha as superfície?
 
Regras da multiplicação
Exemplo: A probabilidade de que o primeiro estágio de 
uma operação, numericamente controlada, de usinagem 
para pistões com alta rpm atenda as especificações é 
igual à 0,90.Falhas são devido a variações no metal, alinhamento 
de acessórios, condições da lâmina de corte, vibração e condições 
ambientais.
Dado que o primeiro estágio atende as especificações, a 
probabilidade que o segundo estágio atenda é de 0,95. 
Qual a probabilidade de ambos os estágios atenderem as 
especificações?
 
Regra da probabilidade total
 
P (B)=P (A∩B)+P (B∩A ')
P (B)=P (B /A)P (A)+P(B/A ')P (A ')
 
Probabilidade de eventos 
independentes
Exemplo: Suponha que uma produção diária de 850 peças 
fabricadas contenha 50 peças que não satisfaçam as 
exigências dos consumidores. Suponha que duas peças 
sejam selecionadas da batelada, porém a primeira peça 
seja reposta antes da segunda ser selecionada. Qual a 
probabilidade de que a segunda peça seja defeituosa, 
dado que a primeira peça é defeituosa? 
P (A/B)=P(A)
P (B/ A)=P(B)
P (A∩B)=P (A)P(B)
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