AVLC CC 1 2016 EE4 provas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
Centro de Informa´tica
A´lgebra Vetorial e Linear Para Computac¸a˜o- 2016.1
Quarto Exerc´ıcio Escolar-12/07/2016
Nome: Identificac¸a˜o:
CONTROLE MIXNFIX
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IDENTIFICAÇÃO ALUNO
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7 V-F
A
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C
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1. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja matriz
na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere
a base α = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}. Encontre
a base ortogonal pelo me´todo de Gram Schmidt a
partir de α. Se esta base e´: α′ = {v1, v2, v3}, enta˜o
a soma dos quadrados das normas: ||v1||2+ ||v2||2+
||v3||2 e´ um racional: a
b
. Marque a+ b.
2. (1,25 pt.) Considere um operador linear do IR3 cuja
matriz canoˆnica e´ M =
 3 2 a−3 −2 −9
0 0 1
, onde
a ∈ IR. Determine o valor de a para que este ope-
rador seja diagonaliza´vel.
3. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja ma-
triz na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Seja
pi1 : 2x + 3y − z = 0. O subespac¸o pi⊥1 e´ gerado
pelo(s) vetor(es):
(A) [(2, 5, 2)]
(B) [(2, 3,−1)]
(C) [(3, 2, 0), (0, 0, 1)]
(D) [(1,−1,−1), (0, 0, 1)]
(E) [(1, 1, 5), (2, 1,−3)]
(F) [(1,−1, 3)]
4. (1,25 pt.) Considere a matriz M do outro quesito.
Calcule v, o autovetor associado ao menor autovalor
de M . Se v = (a, b, c), onde a e´ o menor inteiro po-
sitivo que fac¸a com que b e c sejam tambe´m inteiros,
enta˜o marque: |a|+ |b|+ |c|.
5. (1,25 pt.) Considere o P2 com o p.i. cuja matriz na
base {1, X,X2} e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere a
seguinte base ortogonal de P2: α = {1, X,X+X2}.
Se [3 + 10X − 5X2]α =
 ab
c
, enta˜o marque b.
6. (1,25 pt.) Seja T operador linear do IR2 com
p.i. usual, tal que sua matriz com respeito a` base:
α = {(1, 2), (1 − 1)} e´
(
2 −3
a −1
)
, onde a ∈ IR.
Qual valor a deve assumir para que T seja auto-
adjunto? Marque seu valor absoluto.
7. (2,0 pt.) Responda V ou F:
(A) A matriz de um p.i. e´ dependente da base em
relac¸a˜o a` qual se escrevem as coordenadas dos
vetores para se calcular o p.i.. Mas o valor do
p.i. obtido para dois vetores quaisquer e´ sem-
pre o mesmo independentemente da base de
suas coordenadas, desde que se use a matriz
do p.i. na base em questa˜o.
(B) Em P1 equipado com o p.i. 〈p(X), q(X)〉 =∫ 1
0
p(X) · q(X)dX, o aˆngulo entre os po-
linoˆmios 1 e X e´ de 30o.
(C) ConsidereM2×2 com o p.i. 〈A,B〉 =trac¸o(AT ·
A). Enta˜o a matriz
(
2 −3
0 −1
)
e´ ortogonal a`
matriz
(
3 2
1 0
)
.
(D) Uma matriz de mudanc¸a de base onde ambas
as bases sa˜o ortogonais e´ ortogonal.
(E) Autovetores de um operador auto-adjunto que
sejam associados a autovalores distintos sa˜o
ortogonais. Mas na˜o necessariamente con-
seguiremos autovetores ortogonais em auto-
espac¸os com dimensa˜o maior que 1 em p.i.
arbitra´rio.
(F) A matriz canoˆnica de um p.i. na˜o usual pode
ser uma matriz de rotac¸a˜o de um certo aˆngulo,
ou seja, o ca´lculo do p.i. entre u e v equivale
a rotacionar v e em seguida fazer o p.i. usual
do resultado com o u.
Tipo da prova: 1 Powered by MIXnFIX Pa´gina: 0
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
Centro de Informa´tica
A´lgebra Vetorial e Linear Para Computac¸a˜o- 2016.1
Quarto Exerc´ıcio Escolar-12/07/2016
Nome: Identificac¸a˜o:
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Tipo da prova: 1 Powered by MIXnFIX Pa´gina: 1
1. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja ma-
triz na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Seja
pi1 : 2x + 3y − z = 0. O subespac¸o pi⊥1 e´ gerado
pelo(s) vetor(es):
(A) [(1,−1,−1), (0, 0, 1)]
(B) [(1, 1, 5), (2, 1,−3)]
(C) [(3, 2, 0), (0, 0, 1)]
(D) [(1,−1, 3)]
(E) [(2, 5, 2)]
(F) [(2, 3,−1)]
2. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja matriz
na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere
a base α = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}. Encontre
a base ortogonal pelo me´todo de Gram Schmidt a
partir de α. Se esta base e´: α′ = {v1, v2, v3}, enta˜o
a soma dos quadrados das normas: ||v1||2+ ||v2||2+
||v3||2 e´ um racional: a
b
. Marque a+ b.
3. (1,25 pt.) Considere um operador linear do IR3 cuja
matriz canoˆnica e´ M =
 3 2 a−3 −2 −9
0 0 1
, onde
a ∈ IR. Determine o valor de a para que este ope-
rador seja diagonaliza´vel.
4. (1,25 pt.) Seja T operador linear do IR2 com
p.i. usual, tal que sua matriz com respeito a` base:
α = {(1, 2), (1 − 1)} e´
(
2 −3
a −1
)
, onde a ∈ IR.
Qual valor a deve assumir para que T seja auto-
adjunto? Marque seu valor absoluto.
5. (2,0 pt.) Responda V ou F:
(A) A matriz de um p.i. e´ dependente da base em
relac¸a˜o a` qual se escrevem as coordenadas dos
vetores para se calcular o p.i.. Mas o valor do
p.i. obtido para dois vetores quaisquer e´ sem-
pre o mesmo independentemente da base de
suas coordenadas, desde que se use a matriz
do p.i. na base em questa˜o.
(B) ConsidereM2×2 com o p.i. 〈A,B〉 =trac¸o(AT ·
A). Enta˜o a matriz
(
2 −3
0 −1
)
e´ ortogonal a`
matriz
(
3 2
1 0
)
.
(C) A matriz canoˆnica de um p.i. na˜o usual pode
ser uma matriz de rotac¸a˜o de um certo aˆngulo,
ou seja, o ca´lculo do p.i. entre u e v equivale
a rotacionar v e em seguida fazer o p.i. usual
do resultado com o u.
(D) Autovetores de um operador auto-adjunto que
sejam associados a autovalores distintos sa˜o
ortogonais. Mas na˜o necessariamente con-
seguiremos autovetores ortogonais em auto-
espac¸os com dimensa˜o maior que 1 em p.i.
arbitra´rio.
(E) Uma matriz de mudanc¸a de base onde ambas
as bases sa˜o ortogonais e´ ortogonal.
(F) Em P1 equipado com o p.i. 〈p(X), q(X)〉 =∫ 1
0
p(X) · q(X)dX, o aˆngulo entre os po-
linoˆmios 1 e X e´ de 30o.
6. (1,25 pt.) Considere o P2 com o p.i. cuja matriz na
base {1, X,X2} e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere a
seguinte base ortogonal de P2: α = {1, X,X+X2}.
Se [3 + 10X − 5X2]α =
 ab
c
, enta˜o marque b.
7. (1,25 pt.) Considere a matriz M do outro quesito.
Calcule v, o autovetor associado ao menor autovalor
de M . Se v = (a, b, c), onde a e´ o menor inteiro po-sitivo que fac¸a com que b e c sejam tambe´m inteiros,
enta˜o marque: |a|+ |b|+ |c|.
Tipo da prova: 2 Powered by MIXnFIX Pa´gina: 0
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
Centro de Informa´tica
A´lgebra Vetorial e Linear Para Computac¸a˜o- 2016.1
Quarto Exerc´ıcio Escolar-12/07/2016
Nome: Identificac¸a˜o:
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IDENTIFICAÇÃO ALUNO
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Tipo da prova: 2 Powered by MIXnFIX Pa´gina: 1
1. (2,0 pt.) Responda V ou F:
(A) Em P1 equipado com o p.i. 〈p(X), q(X)〉 =∫ 1
0
p(X) · q(X)dX, o aˆngulo entre os po-
linoˆmios 1 e X e´ de 30o.
(B) ConsidereM2×2 com o p.i. 〈A,B〉 =trac¸o(AT ·
A). Enta˜o a matriz
(
2 −3
0 −1
)
e´ ortogonal a`
matriz
(
3 2
1 0
)
.
(C) A matriz canoˆnica de um p.i. na˜o usual pode
ser uma matriz de rotac¸a˜o de um certo aˆngulo,
ou seja, o ca´lculo do p.i. entre u e v equivale
a rotacionar v e em seguida fazer o p.i. usual
do resultado com o u.
(D) A matriz de um p.i. e´ dependente da base em
relac¸a˜o a` qual se escrevem as coordenadas dos
vetores para se calcular o p.i.. Mas o valor do
p.i. obtido para dois vetores quaisquer e´ sem-
pre o mesmo independentemente da base de
suas coordenadas, desde que se use a matriz
do p.i. na base em questa˜o.
(E) Uma matriz de mudanc¸a de base onde ambas
as bases sa˜o ortogonais e´ ortogonal.
(F) Autovetores de um operador auto-adjunto que
sejam associados a autovalores distintos sa˜o
ortogonais. Mas na˜o necessariamente con-
seguiremos autovetores ortogonais em auto-
espac¸os com dimensa˜o maior que 1 em p.i.
arbitra´rio.
2. (1,25 pt.) Considere o P2 com o p.i. cuja matriz na
base {1, X,X2} e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere a
seguinte base ortogonal de P2: α = {1, X,X+X2}.
Se [3 + 10X − 5X2]α =
 ab
c
, enta˜o marque b.
3. (1,25 pt.) Seja T operador linear do IR2 com
p.i. usual, tal que sua matriz com respeito a` base:
α = {(1, 2), (1 − 1)} e´
(
2 −3
a −1
)
, onde a ∈ IR.
Qual valor a deve assumir para que T seja auto-
adjunto? Marque seu valor absoluto.
4. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja ma-
triz na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Seja
pi1 : 2x + 3y − z = 0. O subespac¸o pi⊥1 e´ gerado
pelo(s) vetor(es):
(A) [(1,−1,−1), (0, 0, 1)]
(B) [(1,−1, 3)]
(C) [(3, 2, 0), (0, 0, 1)]
(D) [(2, 3,−1)]
(E) [(2, 5, 2)]
(F) [(1, 1, 5), (2, 1,−3)]
5. (1,25 pt.) Considere a matriz M do outro quesito.
Calcule v, o autovetor associado ao menor autovalor
de M . Se v = (a, b, c), onde a e´ o menor inteiro po-
sitivo que fac¸a com que b e c sejam tambe´m inteiros,
enta˜o marque: |a|+ |b|+ |c|.
6. (1,25 pt.) Considere um operador linear do IR3 cuja
matriz canoˆnica e´ M =
 3 2 a−3 −2 −9
0 0 1
, onde
a ∈ IR. Determine o valor de a para que este ope-
rador seja diagonaliza´vel.
7. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja matriz
na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere
a base α = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}. Encontre
a base ortogonal pelo me´todo de Gram Schmidt a
partir de α. Se esta base e´: α′ = {v1, v2, v3}, enta˜o
a soma dos quadrados das normas: ||v1||2+ ||v2||2+
||v3||2 e´ um racional: a
b
. Marque a+ b.
Tipo da prova: 3 Powered by MIXnFIX Pa´gina: 0
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
Centro de Informa´tica
A´lgebra Vetorial e Linear Para Computac¸a˜o- 2016.1
Quarto Exerc´ıcio Escolar-12/07/2016
Nome: Identificac¸a˜o:
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Tipo da prova: 3 Powered by MIXnFIX Pa´gina: 1
1. (2,0 pt.) Responda V ou F:
(A) A matriz canoˆnica de um p.i. na˜o usual pode
ser uma matriz de rotac¸a˜o de um certo aˆngulo,
ou seja, o ca´lculo do p.i. entre u e v equivale
a rotacionar v e em seguida fazer o p.i. usual
do resultado com o u.
(B) Em P1 equipado com o p.i. 〈p(X), q(X)〉 =∫ 1
0
p(X) · q(X)dX, o aˆngulo entre os po-
linoˆmios 1 e X e´ de 30o.
(C) Uma matriz de mudanc¸a de base onde ambas
as bases sa˜o ortogonais e´ ortogonal.
(D) ConsidereM2×2 com o p.i. 〈A,B〉 =trac¸o(AT ·
A). Enta˜o a matriz
(
2 −3
0 −1
)
e´ ortogonal a`
matriz
(
3 2
1 0
)
.
(E) Autovetores de um operador auto-adjunto que
sejam associados a autovalores distintos sa˜o
ortogonais. Mas na˜o necessariamente con-
seguiremos autovetores ortogonais em auto-
espac¸os com dimensa˜o maior que 1 em p.i.
arbitra´rio.
(F) A matriz de um p.i. e´ dependente da base em
relac¸a˜o a` qual se escrevem as coordenadas dos
vetores para se calcular o p.i.. Mas o valor do
p.i. obtido para dois vetores quaisquer e´ sem-
pre o mesmo independentemente da base de
suas coordenadas, desde que se use a matriz
do p.i. na base em questa˜o.
2. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja matriz
na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere
a base α = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}. Encontre
a base ortogonal pelo me´todo de Gram Schmidt a
partir de α. Se esta base e´: α′ = {v1, v2, v3}, enta˜o
a soma dos quadrados das normas: ||v1||2+ ||v2||2+
||v3||2 e´ um racional: a
b
. Marque a+ b.
3. (1,25 pt.) Seja T operador linear do IR2 com
p.i. usual, tal que sua matriz com respeito a` base:
α = {(1, 2), (1 − 1)} e´
(
2 −3
a −1
)
, onde a ∈ IR.
Qual valor a deve assumir para que T seja auto-
adjunto? Marque seu valor absoluto.
4. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja ma-
triz na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Seja
pi1 : 2x + 3y − z = 0. O subespac¸o pi⊥1 e´ gerado
pelo(s) vetor(es):
(A) [(3, 2, 0), (0, 0, 1)]
(B) [(1,−1, 3)]
(C) [(2, 3,−1)]
(D) [(1,−1,−1), (0, 0, 1)]
(E) [(1, 1, 5), (2, 1,−3)]
(F) [(2, 5, 2)]
5. (1,25 pt.) Considere o P2 com o p.i. cuja matriz na
base {1, X,X2} e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere a
seguinte base ortogonal de P2: α = {1, X,X+X2}.
Se [3 + 10X − 5X2]α =
 ab
c
, enta˜o marque b.
6. (1,25 pt.) Considere um operador linear do IR3 cuja
matriz canoˆnica e´ M =
 3 2 a−3 −2 −9
0 0 1
, onde
a ∈ IR. Determine o valor de a para que este ope-
rador seja diagonaliza´vel.
7. (1,25 pt.) Considere a matriz M do outro quesito.
Calcule v, o autovetorassociado ao menor autovalor
de M . Se v = (a, b, c), onde a e´ o menor inteiro po-
sitivo que fac¸a com que b e c sejam tambe´m inteiros,
enta˜o marque: |a|+ |b|+ |c|.
Tipo da prova: 4 Powered by MIXnFIX Pa´gina: 0
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
Centro de Informa´tica
A´lgebra Vetorial e Linear Para Computac¸a˜o- 2016.1
Quarto Exerc´ıcio Escolar-12/07/2016
Nome: Identificac¸a˜o:
CONTROLE MIXNFIX
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IDENTIFICAÇÃO ALUNO
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A
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C
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5 V-F
A
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C
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Tipo da prova: 4 Powered by MIXnFIX Pa´gina: 1
1. (1,25 pt.) Considere a matriz M do outro quesito.
Calcule v, o autovetor associado ao menor autovalor
de M . Se v = (a, b, c), onde a e´ o menor inteiro po-
sitivo que fac¸a com que b e c sejam tambe´m inteiros,
enta˜o marque: |a|+ |b|+ |c|.
2. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja ma-
triz na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Seja
pi1 : 2x + 3y − z = 0. O subespac¸o pi⊥1 e´ gerado
pelo(s) vetor(es):
(A) [(3, 2, 0), (0, 0, 1)]
(B) [(1,−1, 3)]
(C) [(1, 1, 5), (2, 1,−3)]
(D) [(1,−1,−1), (0, 0, 1)]
(E) [(2, 3,−1)]
(F) [(2, 5, 2)]
3. (1,25 pt.) Seja T operador linear do IR2 com
p.i. usual, tal que sua matriz com respeito a` base:
α = {(1, 2), (1 − 1)} e´
(
2 −3
a −1
)
, onde a ∈ IR.
Qual valor a deve assumir para que T seja auto-
adjunto? Marque seu valor absoluto.
4. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja matriz
na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere
a base α = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}. Encontre
a base ortogonal pelo me´todo de Gram Schmidt a
partir de α. Se esta base e´: α′ = {v1, v2, v3}, enta˜o
a soma dos quadrados das normas: ||v1||2+ ||v2||2+
||v3||2 e´ um racional: a
b
. Marque a+ b.
5. (2,0 pt.) Responda V ou F:
(A) ConsidereM2×2 com o p.i. 〈A,B〉 =trac¸o(AT ·
A). Enta˜o a matriz
(
2 −3
0 −1
)
e´ ortogonal a`
matriz
(
3 2
1 0
)
.
(B) A matriz canoˆnica de um p.i. na˜o usual pode
ser uma matriz de rotac¸a˜o de um certo aˆngulo,
ou seja, o ca´lculo do p.i. entre u e v equivale
a rotacionar v e em seguida fazer o p.i. usual
do resultado com o u.
(C) Em P1 equipado com o p.i. 〈p(X), q(X)〉 =∫ 1
0
p(X) · q(X)dX, o aˆngulo entre os po-
linoˆmios 1 e X e´ de 30o.
(D) Autovetores de um operador auto-adjunto que
sejam associados a autovalores distintos sa˜o
ortogonais. Mas na˜o necessariamente con-
seguiremos autovetores ortogonais em auto-
espac¸os com dimensa˜o maior que 1 em p.i.
arbitra´rio.
(E) Uma matriz de mudanc¸a de base onde ambas
as bases sa˜o ortogonais e´ ortogonal.
(F) A matriz de um p.i. e´ dependente da base em
relac¸a˜o a` qual se escrevem as coordenadas dos
vetores para se calcular o p.i.. Mas o valor do
p.i. obtido para dois vetores quaisquer e´ sem-
pre o mesmo independentemente da base de
suas coordenadas, desde que se use a matriz
do p.i. na base em questa˜o.
6. (1,25 pt.) Considere um operador linear do IR3 cuja
matriz canoˆnica e´ M =
 3 2 a−3 −2 −9
0 0 1
, onde
a ∈ IR. Determine o valor de a para que este ope-
rador seja diagonaliza´vel.
7. (1,25 pt.) Considere o P2 com o p.i. cuja matriz na
base {1, X,X2} e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere a
seguinte base ortogonal de P2: α = {1, X,X+X2}.
Se [3 + 10X − 5X2]α =
 ab
c
, enta˜o marque b.
Tipo da prova: 5 Powered by MIXnFIX Pa´gina: 0
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
Centro de Informa´tica
A´lgebra Vetorial e Linear Para Computac¸a˜o- 2016.1
Quarto Exerc´ıcio Escolar-12/07/2016
Nome: Identificac¸a˜o:
CONTROLE MIXNFIX
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Tipo da prova: 5 Powered by MIXnFIX Pa´gina: 1
1. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja matriz
na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere
a base α = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}. Encontre
a base ortogonal pelo me´todo de Gram Schmidt a
partir de α. Se esta base e´: α′ = {v1, v2, v3}, enta˜o
a soma dos quadrados das normas: ||v1||2+ ||v2||2+
||v3||2 e´ um racional: a
b
. Marque a+ b.
2. (1,25 pt.) Considere o P2 com o p.i. cuja matriz na
base {1, X,X2} e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere a
seguinte base ortogonal de P2: α = {1, X,X+X2}.
Se [3 + 10X − 5X2]α =
 ab
c
, enta˜o marque b.
3. (2,0 pt.) Responda V ou F:
(A) Em P1 equipado com o p.i. 〈p(X), q(X)〉 =∫ 1
0
p(X) · q(X)dX, o aˆngulo entre os po-
linoˆmios 1 e X e´ de 30o.
(B) Uma matriz de mudanc¸a de base onde ambas
as bases sa˜o ortogonais e´ ortogonal.
(C) ConsidereM2×2 com o p.i. 〈A,B〉 =trac¸o(AT ·
A). Enta˜o a matriz
(
2 −3
0 −1
)
e´ ortogonal a`
matriz
(
3 2
1 0
)
.
(D) Autovetores de um operador auto-adjunto que
sejam associados a autovalores distintos sa˜o
ortogonais. Mas na˜o necessariamente con-
seguiremos autovetores ortogonais em auto-
espac¸os com dimensa˜o maior que 1 em p.i.
arbitra´rio.
(E) A matriz canoˆnica de um p.i. na˜o usual pode
ser uma matriz de rotac¸a˜o de um certo aˆngulo,
ou seja, o ca´lculo do p.i. entre u e v equivale
a rotacionar v e em seguida fazer o p.i. usual
do resultado com o u.
(F) A matriz de um p.i. e´ dependente da base em
relac¸a˜o a` qual se escrevem as coordenadas dos
vetores para se calcular o p.i.. Mas o valor do
p.i. obtido para dois vetores quaisquer e´ sem-
pre o mesmo independentemente da base de
suas coordenadas, desde que se use a matriz
do p.i. na base em questa˜o.
4. (1,25 pt.) Seja T operador linear do IR2 com
p.i. usual, tal que sua matriz com respeito a` base:
α = {(1, 2), (1 − 1)} e´
(
2 −3
a −1
)
, onde a ∈ IR.
Qual valor a deve assumir para que T seja auto-
adjunto? Marque seu valor absoluto.
5. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja ma-
triz na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Seja
pi1 : 2x + 3y − z = 0. O subespac¸o pi⊥1 e´ gerado
pelo(s) vetor(es):
(A) [(1,−1,−1), (0, 0, 1)]
(B) [(1, 1, 5), (2, 1,−3)]
(C) [(2, 3,−1)]
(D) [(1,−1, 3)]
(E) [(2, 5, 2)]
(F) [(3, 2, 0), (0, 0, 1)]
6. (1,25 pt.) Considere um operador linear do IR3 cuja
matriz canoˆnica e´ M =
 3 2 a−3 −2 −9
0 0 1
, onde
a ∈ IR. Determine o valor de a para que este ope-
rador seja diagonaliza´vel.7. (1,25 pt.) Considere a matriz M do outro quesito.
Calcule v, o autovetor associado ao menor autovalor
de M . Se v = (a, b, c), onde a e´ o menor inteiro po-
sitivo que fac¸a com que b e c sejam tambe´m inteiros,
enta˜o marque: |a|+ |b|+ |c|.
Tipo da prova: 6 Powered by MIXnFIX Pa´gina: 0
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
Centro de Informa´tica
A´lgebra Vetorial e Linear Para Computac¸a˜o- 2016.1
Quarto Exerc´ıcio Escolar-12/07/2016
Nome: Identificac¸a˜o:
CONTROLE MIXNFIX
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IDENTIFICAÇÃO ALUNO
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Tipo da prova: 6 Powered by MIXnFIX Pa´gina: 1
1. (1,25 pt.) Considere o P2 com o p.i. cuja matriz na
base {1, X,X2} e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere a
seguinte base ortogonal de P2: α = {1, X,X+X2}.
Se [3 + 10X − 5X2]α =
 ab
c
, enta˜o marque b.
2. (1,25 pt.) Seja T operador linear do IR2 com
p.i. usual, tal que sua matriz com respeito a` base:
α = {(1, 2), (1 − 1)} e´
(
2 −3
a −1
)
, onde a ∈ IR.
Qual valor a deve assumir para que T seja auto-
adjunto? Marque seu valor absoluto.
3. (2,0 pt.) Responda V ou F:
(A) ConsidereM2×2 com o p.i. 〈A,B〉 =trac¸o(AT ·
A). Enta˜o a matriz
(
2 −3
0 −1
)
e´ ortogonal a`
matriz
(
3 2
1 0
)
.
(B) Em P1 equipado com o p.i. 〈p(X), q(X)〉 =∫ 1
0
p(X) · q(X)dX, o aˆngulo entre os po-
linoˆmios 1 e X e´ de 30o.
(C) A matriz canoˆnica de um p.i. na˜o usual pode
ser uma matriz de rotac¸a˜o de um certo aˆngulo,
ou seja, o ca´lculo do p.i. entre u e v equivale
a rotacionar v e em seguida fazer o p.i. usual
do resultado com o u.
(D) A matriz de um p.i. e´ dependente da base em
relac¸a˜o a` qual se escrevem as coordenadas dos
vetores para se calcular o p.i.. Mas o valor do
p.i. obtido para dois vetores quaisquer e´ sem-
pre o mesmo independentemente da base de
suas coordenadas, desde que se use a matriz
do p.i. na base em questa˜o.
(E) Uma matriz de mudanc¸a de base onde ambas
as bases sa˜o ortogonais e´ ortogonal.
(F) Autovetores de um operador auto-adjunto que
sejam associados a autovalores distintos sa˜o
ortogonais. Mas na˜o necessariamente con-
seguiremos autovetores ortogonais em auto-
espac¸os com dimensa˜o maior que 1 em p.i.
arbitra´rio.
4. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja matriz
na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere
a base α = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}. Encontre
a base ortogonal pelo me´todo de Gram Schmidt a
partir de α. Se esta base e´: α′ = {v1, v2, v3}, enta˜o
a soma dos quadrados das normas: ||v1||2+ ||v2||2+
||v3||2 e´ um racional: a
b
. Marque a+ b.
5. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja ma-
triz na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Seja
pi1 : 2x + 3y − z = 0. O subespac¸o pi⊥1 e´ gerado
pelo(s) vetor(es):
(A) [(2, 3,−1)]
(B) [(1,−1,−1), (0, 0, 1)]
(C) [(3, 2, 0), (0, 0, 1)]
(D) [(2, 5, 2)]
(E) [(1,−1, 3)]
(F) [(1, 1, 5), (2, 1,−3)]
6. (1,25 pt.) Considere um operador linear do IR3 cuja
matriz canoˆnica e´ M =
 3 2 a−3 −2 −9
0 0 1
, onde
a ∈ IR. Determine o valor de a para que este ope-
rador seja diagonaliza´vel.
7. (1,25 pt.) Considere a matriz M do outro quesito.
Calcule v, o autovetor associado ao menor autovalor
de M . Se v = (a, b, c), onde a e´ o menor inteiro po-
sitivo que fac¸a com que b e c sejam tambe´m inteiros,
enta˜o marque: |a|+ |b|+ |c|.
Tipo da prova: 7 Powered by MIXnFIX Pa´gina: 0
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
Centro de Informa´tica
A´lgebra Vetorial e Linear Para Computac¸a˜o- 2016.1
Quarto Exerc´ıcio Escolar-12/07/2016
Nome: Identificac¸a˜o:
CONTROLE MIXNFIX
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IDENTIFICAÇÃO ALUNO
1
A
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2 V-F
A
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8
9
Tipo da prova: 7 Powered by MIXnFIX Pa´gina: 1
1. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja ma-
triz na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Seja
pi1 : 2x + 3y − z = 0. O subespac¸o pi⊥1 e´ gerado
pelo(s) vetor(es):
(A) [(1,−1,−1), (0, 0, 1)]
(B) [(1,−1, 3)]
(C) [(1, 1, 5), (2, 1,−3)]
(D) [(2, 3,−1)]
(E) [(2, 5, 2)]
(F) [(3, 2, 0), (0, 0, 1)]
2. (2,0 pt.) Responda V ou F:
(A) Uma matriz de mudanc¸a de base onde ambas
as bases sa˜o ortogonais e´ ortogonal.
(B) A matriz de um p.i. e´ dependente da base em
relac¸a˜o a` qual se escrevem as coordenadas dos
vetores para se calcular o p.i.. Mas o valor do
p.i. obtido para dois vetores quaisquer e´ sem-
pre o mesmo independentemente da base de
suas coordenadas, desde que se use a matriz
do p.i. na base em questa˜o.
(C) ConsidereM2×2 com o p.i. 〈A,B〉 =trac¸o(AT ·
A). Enta˜o a matriz
(
2 −3
0 −1
)
e´ ortogonal a`
matriz
(
3 2
1 0
)
.
(D) Em P1 equipado com o p.i. 〈p(X), q(X)〉 =∫ 1
0
p(X) · q(X)dX, o aˆngulo entre os po-
linoˆmios 1 e X e´ de 30o.
(E) A matriz canoˆnica de um p.i. na˜o usual pode
ser uma matriz de rotac¸a˜o de um certo aˆngulo,
ou seja, o ca´lculo do p.i. entre u e v equivale
a rotacionar v e em seguida fazer o p.i. usual
do resultado com o u.
(F) Autovetores de um operador auto-adjunto que
sejam associados a autovalores distintos sa˜o
ortogonais. Mas na˜o necessariamente con-
seguiremos autovetores ortogonais em auto-
espac¸os com dimensa˜o maior que 1 em p.i.
arbitra´rio.
3. (1,25 pt.) Considere o P2 com o p.i. cuja matriz na
base {1, X,X2} e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere a
seguinte base ortogonal de P2: α = {1, X,X+X2}.
Se [3 + 10X − 5X2]α =
 ab
c
, enta˜o marque b.
4. (1,25 pt.) Seja T operador linear do IR2 com
p.i. usual, tal que sua matriz com respeito a` base:
α = {(1, 2), (1 − 1)} e´
(
2 −3
a −1
)
, onde a ∈ IR.
Qual valor a deve assumir para que T seja auto-
adjunto? Marque seu valor absoluto.
5. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja matriz
na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere
a base α = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}. Encontre
a base ortogonal pelo me´todo de Gram Schmidt a
partir de α. Se esta base e´: α′ = {v1, v2, v3}, enta˜o
a soma dos quadrados das normas: ||v1||2+ ||v2||2+
||v3||2 e´ um racional: a
b
. Marque a+ b.
6. (1,25 pt.) Considere a matriz M do outro quesito.
Calcule v, o autovetor associado ao menor autovalor
de M. Se v = (a, b, c), onde a e´ o menor inteiro po-
sitivo que fac¸a com que b e c sejam tambe´m inteiros,
enta˜o marque: |a|+ |b|+ |c|.
7. (1,25 pt.) Considere um operador linear do IR3 cuja
matriz canoˆnica e´ M =
 3 2 a−3 −2 −9
0 0 1
, onde
a ∈ IR. Determine o valor de a para que este ope-
rador seja diagonaliza´vel.
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
Centro de Informa´tica
A´lgebra Vetorial e Linear Para Computac¸a˜o- 2016.1
Quarto Exerc´ıcio Escolar-12/07/2016
Nome: Identificac¸a˜o:
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IDENTIFICAÇÃO ALUNO
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Tipo da prova: 8 Powered by MIXnFIX Pa´gina: 1
1. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja ma-
triz na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Seja
pi1 : 2x + 3y − z = 0. O subespac¸o pi⊥1 e´ gerado
pelo(s) vetor(es):
(A) [(2, 3,−1)]
(B) [(1,−1, 3)]
(C) [(1,−1,−1), (0, 0, 1)]
(D) [(2, 5, 2)]
(E) [(1, 1, 5), (2, 1,−3)]
(F) [(3, 2, 0), (0, 0, 1)]
2. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja matriz
na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere
a base α = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}. Encontre
a base ortogonal pelo me´todo de Gram Schmidt a
partir de α. Se esta base e´: α′ = {v1, v2, v3}, enta˜o
a soma dos quadrados das normas: ||v1||2+ ||v2||2+
||v3||2 e´ um racional: a
b
. Marque a+ b.
3. (1,25 pt.) Considere a matriz M do outro quesito.
Calcule v, o autovetor associado ao menor autovalor
de M . Se v = (a, b, c), onde a e´ o menor inteiro po-
sitivo que fac¸a com que b e c sejam tambe´m inteiros,
enta˜o marque: |a|+ |b|+ |c|.
4. (2,0 pt.) Responda V ou F:
(A) Uma matriz de mudanc¸a de base onde ambas
as bases sa˜o ortogonais e´ ortogonal.
(B) Autovetores de um operador auto-adjunto que
sejam associados a autovalores distintos sa˜o
ortogonais. Mas na˜o necessariamente con-
seguiremos autovetores ortogonais em auto-
espac¸os com dimensa˜o maior que 1 em p.i.
arbitra´rio.
(C) ConsidereM2×2 com o p.i. 〈A,B〉 =trac¸o(AT ·
A). Enta˜o a matriz
(
2 −3
0 −1
)
e´ ortogonal a`
matriz
(
3 2
1 0
)
.
(D) A matriz canoˆnica de um p.i. na˜o usual pode
ser uma matriz de rotac¸a˜o de um certo aˆngulo,
ou seja, o ca´lculo do p.i. entre u e v equivale
a rotacionar v e em seguida fazer o p.i. usual
do resultado com o u.
(E) Em P1 equipado com o p.i. 〈p(X), q(X)〉 =∫ 1
0
p(X) · q(X)dX, o aˆngulo entre os po-
linoˆmios 1 e X e´ de 30o.
(F) A matriz de um p.i. e´ dependente da base em
relac¸a˜o a` qual se escrevem as coordenadas dos
vetores para se calcular o p.i.. Mas o valor do
p.i. obtido para dois vetores quaisquer e´ sem-
pre o mesmo independentemente da base de
suas coordenadas, desde que se use a matriz
do p.i. na base em questa˜o.
5. (1,25 pt.) Considere um operador linear do IR3 cuja
matriz canoˆnica e´ M =
 3 2 a−3 −2 −9
0 0 1
, onde
a ∈ IR. Determine o valor de a para que este ope-
rador seja diagonaliza´vel.
6. (1,25 pt.) Seja T operador linear do IR2 com
p.i. usual, tal que sua matriz com respeito a` base:
α = {(1, 2), (1 − 1)} e´
(
2 −3
a −1
)
, onde a ∈ IR.
Qual valor a deve assumir para que T seja auto-
adjunto? Marque seu valor absoluto.
7. (1,25 pt.) Considere o P2 com o p.i. cuja matriz na
base {1, X,X2} e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere a
seguinte base ortogonal de P2: α = {1, X,X+X2}.
Se [3 + 10X − 5X2]α =
 ab
c
, enta˜o marque b.
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
Centro de Informa´tica
A´lgebra Vetorial e Linear Para Computac¸a˜o- 2016.1
Quarto Exerc´ıcio Escolar-12/07/2016
Nome: Identificac¸a˜o:
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IDENTIFICAÇÃO ALUNO
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Tipo da prova: 9 Powered by MIXnFIX Pa´gina: 1
1. (1,25 pt.) Considere a matriz M do outro quesito.
Calcule v, o autovetor associado ao menor autovalor
de M . Se v = (a, b, c), onde a e´ o menor inteiro po-
sitivo que fac¸a com que b e c sejam tambe´m inteiros,
enta˜o marque: |a|+ |b|+ |c|.
2. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja ma-
triz na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Seja
pi1 : 2x + 3y − z = 0. O subespac¸o pi⊥1 e´ gerado
pelo(s) vetor(es):
(A) [(3, 2, 0), (0, 0, 1)]
(B) [(1,−1,−1), (0, 0, 1)]
(C) [(2, 5, 2)]
(D) [(1, 1, 5), (2, 1,−3)]
(E) [(1,−1, 3)]
(F) [(2, 3,−1)]
3. (1,25 pt.) Considere o P2 com o p.i. cuja matriz na
base {1, X,X2} e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere a
seguinte base ortogonal de P2: α = {1, X,X+X2}.
Se [3 + 10X − 5X2]α =
 ab
c
, enta˜o marque b.
4. (1,25 pt.) Seja T operador linear do IR2 com
p.i. usual, tal que sua matriz com respeito a` base:
α = {(1, 2), (1 − 1)} e´
(
2 −3
a −1
)
, onde a ∈ IR.
Qual valor a deve assumir para que T seja auto-
adjunto? Marque seu valor absoluto.
5. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja matriz
na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere
a base α = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}. Encontre
a base ortogonal pelo me´todo de Gram Schmidt a
partir de α. Se esta base e´: α′ = {v1, v2, v3}, enta˜o
a soma dos quadrados das normas: ||v1||2+ ||v2||2+
||v3||2 e´ um racional: a
b
. Marque a+ b.
6. (2,0 pt.) Responda V ou F:
(A) ConsidereM2×2 com o p.i. 〈A,B〉 =trac¸o(AT ·
A). Enta˜o a matriz
(
2 −3
0 −1
)
e´ ortogonal a`
matriz
(
3 2
1 0
)
.
(B) Autovetores de um operador auto-adjunto que
sejam associados a autovalores distintos sa˜o
ortogonais. Mas na˜o necessariamente con-
seguiremos autovetores ortogonais em auto-
espac¸os com dimensa˜o maior que 1 em p.i.
arbitra´rio.
(C) A matriz canoˆnica de um p.i. na˜o usual pode
ser uma matriz de rotac¸a˜o de um certo aˆngulo,
ou seja, o ca´lculo do p.i. entre u e v equivale
a rotacionar v e em seguida fazer o p.i. usual
do resultado com o u.
(D) Uma matriz de mudanc¸a de base onde ambas
as bases sa˜o ortogonais e´ ortogonal.
(E) Em P1 equipado com o p.i. 〈p(X), q(X)〉 =∫ 1
0
p(X) · q(X)dX, o aˆngulo entre os po-
linoˆmios 1 e X e´ de 30o.
(F) A matriz de um p.i. e´ dependente da base em
relac¸a˜o a` qual se escrevem as coordenadasdos
vetores para se calcular o p.i.. Mas o valor do
p.i. obtido para dois vetores quaisquer e´ sem-
pre o mesmo independentemente da base de
suas coordenadas, desde que se use a matriz
do p.i. na base em questa˜o.
7. (1,25 pt.) Considere um operador linear do IR3 cuja
matriz canoˆnica e´ M =
 3 2 a−3 −2 −9
0 0 1
, onde
a ∈ IR. Determine o valor de a para que este ope-
rador seja diagonaliza´vel.
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Centro de Informa´tica
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Quarto Exerc´ıcio Escolar-12/07/2016
Nome: Identificac¸a˜o:
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IDENTIFICAÇÃO ALUNO
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7 V-F
A
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1. (1,25 pt.) Considere o P2 com o p.i. cuja matriz na
base {1, X,X2} e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere a
seguinte base ortogonal de P2: α = {1, X,X+X2}.
Se [3 + 10X − 5X2]α =
 ab
c
, enta˜o marque b.
2. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja ma-
triz na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Seja
pi1 : 2x + 3y − z = 0. O subespac¸o pi⊥1 e´ gerado
pelo(s) vetor(es):
(A) [(1, 1, 5), (2, 1,−3)]
(B) [(1,−1,−1), (0, 0, 1)]
(C) [(2, 3,−1)]
(D) [(2, 5, 2)]
(E) [(3, 2, 0), (0, 0, 1)]
(F) [(1,−1, 3)]
3. (1,25 pt.) Considere um operador linear do IR3 cuja
matriz canoˆnica e´ M =
 3 2 a−3 −2 −9
0 0 1
, onde
a ∈ IR. Determine o valor de a para que este ope-
rador seja diagonaliza´vel.
4. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja matriz
na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere
a base α = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}. Encontre
a base ortogonal pelo me´todo de Gram Schmidt a
partir de α. Se esta base e´: α′ = {v1, v2, v3}, enta˜o
a soma dos quadrados das normas: ||v1||2+ ||v2||2+
||v3||2 e´ um racional: a
b
. Marque a+ b.
5. (1,25 pt.) Seja T operador linear do IR2 com
p.i. usual, tal que sua matriz com respeito a` base:
α = {(1, 2), (1 − 1)} e´
(
2 −3
a −1
)
, onde a ∈ IR.
Qual valor a deve assumir para que T seja auto-
adjunto? Marque seu valor absoluto.
6. (1,25 pt.) Considere a matriz M do outro quesito.
Calcule v, o autovetor associado ao menor autovalor
de M . Se v = (a, b, c), onde a e´ o menor inteiro po-
sitivo que fac¸a com que b e c sejam tambe´m inteiros,
enta˜o marque: |a|+ |b|+ |c|.
7. (2,0 pt.) Responda V ou F:
(A) Autovetores de um operador auto-adjunto que
sejam associados a autovalores distintos sa˜o
ortogonais. Mas na˜o necessariamente con-
seguiremos autovetores ortogonais em auto-
espac¸os com dimensa˜o maior que 1 em p.i.
arbitra´rio.
(B) Em P1 equipado com o p.i. 〈p(X), q(X)〉 =∫ 1
0
p(X) · q(X)dX, o aˆngulo entre os po-
linoˆmios 1 e X e´ de 30o.
(C) Uma matriz de mudanc¸a de base onde ambas
as bases sa˜o ortogonais e´ ortogonal.
(D) A matriz canoˆnica de um p.i. na˜o usual pode
ser uma matriz de rotac¸a˜o de um certo aˆngulo,
ou seja, o ca´lculo do p.i. entre u e v equivale
a rotacionar v e em seguida fazer o p.i. usual
do resultado com o u.
(E) ConsidereM2×2 com o p.i. 〈A,B〉 =trac¸o(AT ·
A). Enta˜o a matriz
(
2 −3
0 −1
)
e´ ortogonal a`
matriz
(
3 2
1 0
)
.
(F) A matriz de um p.i. e´ dependente da base em
relac¸a˜o a` qual se escrevem as coordenadas dos
vetores para se calcular o p.i.. Mas o valor do
p.i. obtido para dois vetores quaisquer e´ sem-
pre o mesmo independentemente da base de
suas coordenadas, desde que se use a matriz
do p.i. na base em questa˜o.
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Quarto Exerc´ıcio Escolar-12/07/2016
Nome: Identificac¸a˜o:
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IDENTIFICAÇÃO ALUNO
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Tipo da prova: 11 Powered by MIXnFIX Pa´gina: 1
1. (1,25 pt.) Considere o P2 com o p.i. cuja matriz na
base {1, X,X2} e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere a
seguinte base ortogonal de P2: α = {1, X,X+X2}.
Se [3 + 10X − 5X2]α =
 ab
c
, enta˜o marque b.
2. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja ma-
triz na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Seja
pi1 : 2x + 3y − z = 0. O subespac¸o pi⊥1 e´ gerado
pelo(s) vetor(es):
(A) [(1, 1, 5), (2, 1,−3)]
(B) [(3, 2, 0), (0, 0, 1)]
(C) [(1,−1, 3)]
(D) [(1,−1,−1), (0, 0, 1)]
(E) [(2, 5, 2)]
(F) [(2, 3,−1)]
3. (2,0 pt.) Responda V ou F:
(A) Autovetores de um operador auto-adjunto que
sejam associados a autovalores distintos sa˜o
ortogonais. Mas na˜o necessariamente con-
seguiremos autovetores ortogonais em auto-
espac¸os com dimensa˜o maior que 1 em p.i.
arbitra´rio.
(B) A matriz canoˆnica de um p.i. na˜o usual pode
ser uma matriz de rotac¸a˜o de um certo aˆngulo,
ou seja, o ca´lculo do p.i. entre u e v equivale
a rotacionar v e em seguida fazer o p.i. usual
do resultado com o u.
(C) ConsidereM2×2 com o p.i. 〈A,B〉 =trac¸o(AT ·
A). Enta˜o a matriz
(
2 −3
0 −1
)
e´ ortogonal a`
matriz
(
3 2
1 0
)
.
(D) Em P1 equipado com o p.i. 〈p(X), q(X)〉 =∫ 1
0
p(X) · q(X)dX, o aˆngulo entre os po-
linoˆmios 1 e X e´ de 30o.
(E) A matriz de um p.i. e´ dependente da base em
relac¸a˜o a` qual se escrevem as coordenadas dos
vetores para se calcular o p.i.. Mas o valor do
p.i. obtido para dois vetores quaisquer e´ sem-
pre o mesmo independentemente da base de
suas coordenadas, desde que se use a matriz
do p.i. na base em questa˜o.
(F) Uma matriz de mudanc¸a de base onde ambas
as bases sa˜o ortogonais e´ ortogonal.
4. (1,25 pt.) Seja T operador linear do IR2 com
p.i. usual, tal que sua matriz com respeito a` base:
α = {(1, 2), (1 − 1)} e´
(
2 −3
a −1
)
, onde a ∈ IR.
Qual valor a deve assumir para que T seja auto-
adjunto? Marque seu valor absoluto.
5. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja matriz
na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere
a base α = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}. Encontre
a base ortogonal pelo me´todo de Gram Schmidt a
partir de α. Se esta base e´: α′ = {v1, v2, v3}, enta˜o
a soma dos quadrados das normas: ||v1||2+||v2||2+
||v3||2 e´ um racional: a
b
. Marque a+ b.
6. (1,25 pt.) Considere a matriz M do outro quesito.
Calcule v, o autovetor associado ao menor autovalor
de M . Se v = (a, b, c), onde a e´ o menor inteiro po-
sitivo que fac¸a com que b e c sejam tambe´m inteiros,
enta˜o marque: |a|+ |b|+ |c|.
7. (1,25 pt.) Considere um operador linear do IR3 cuja
matriz canoˆnica e´ M =
 3 2 a−3 −2 −9
0 0 1
, onde
a ∈ IR. Determine o valor de a para que este ope-
rador seja diagonaliza´vel.
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
Centro de Informa´tica
A´lgebra Vetorial e Linear Para Computac¸a˜o- 2016.1
Quarto Exerc´ıcio Escolar-12/07/2016
Nome: Identificac¸a˜o:
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IDENTIFICAÇÃO ALUNO
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Tipo da prova: 12 Powered by MIXnFIX Pa´gina: 1
1. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja matriz
na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere
a base α = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}. Encontre
a base ortogonal pelo me´todo de Gram Schmidt a
partir de α. Se esta base e´: α′ = {v1, v2, v3}, enta˜o
a soma dos quadrados das normas: ||v1||2+ ||v2||2+
||v3||2 e´ um racional: a
b
. Marque a+ b.
2. (1,25 pt.) Considere o P2 com o p.i. cuja matriz na
base {1, X,X2} e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere a
seguinte base ortogonal de P2: α = {1, X,X+X2}.
Se [3 + 10X − 5X2]α =
 ab
c
, enta˜o marque b.
3. (1,25 pt.) Seja T operador linear do IR2 com
p.i. usual, tal que sua matriz com respeito a` base:
α = {(1, 2), (1 − 1)} e´
(
2 −3
a −1
)
, onde a ∈ IR.
Qual valor a deve assumir para que T seja auto-
adjunto? Marque seu valor absoluto.
4. (2,0 pt.) Responda V ou F:
(A) Autovetores de um operador auto-adjunto que
sejam associados a autovalores distintos sa˜o
ortogonais. Mas na˜o necessariamente con-
seguiremos autovetores ortogonais em auto-
espac¸os com dimensa˜o maior que 1 em p.i.
arbitra´rio.
(B) Em P1 equipado com o p.i. 〈p(X), q(X)〉 =∫ 1
0
p(X) · q(X)dX, o aˆngulo entre os po-
linoˆmios 1 e X e´ de 30o.
(C) A matriz de um p.i. e´ dependente da base em
relac¸a˜o a` qual se escrevem as coordenadas dos
vetores para se calcular o p.i.. Mas o valor do
p.i. obtido para dois vetores quaisquer e´ sem-
pre o mesmo independentemente da base de
suas coordenadas, desde que se use a matriz
do p.i. na base em questa˜o.
(D) A matriz canoˆnica de um p.i. na˜o usual pode
ser uma matriz de rotac¸a˜o de um certo aˆngulo,
ou seja, o ca´lculo do p.i. entre u e v equivale
a rotacionar v e em seguida fazer o p.i. usual
do resultado com o u.
(E) ConsidereM2×2 com o p.i. 〈A,B〉 =trac¸o(AT ·
A). Enta˜o a matriz
(
2 −3
0 −1
)
e´ ortogonal a`
matriz
(
3 2
1 0
)
.
(F) Uma matriz de mudanc¸a de base onde ambas
as bases sa˜o ortogonais e´ ortogonal.
5. (1,25 pt.) Considere a matriz M do outro quesito.
Calcule v, o autovetor associado ao menor autovalor
de M . Se v = (a, b, c), onde a e´ o menor inteiro po-
sitivo que fac¸a com que b e c sejam tambe´m inteiros,
enta˜o marque: |a|+ |b|+ |c|.
6. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja ma-
triz na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Seja
pi1 : 2x + 3y − z = 0. O subespac¸o pi⊥1 e´ gerado
pelo(s) vetor(es):
(A) [(3, 2, 0), (0, 0, 1)]
(B) [(1,−1, 3)]
(C) [(1,−1,−1), (0, 0, 1)]
(D) [(1, 1, 5), (2, 1,−3)]
(E) [(2, 5, 2)]
(F) [(2, 3,−1)]
7. (1,25 pt.) Considere um operador linear do IR3 cuja
matriz canoˆnica e´ M =
 3 2 a−3 −2 −9
0 0 1
, onde
a ∈ IR. Determine o valor de a para que este ope-
rador seja diagonaliza´vel.
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
Centro de Informa´tica
A´lgebra Vetorial e Linear Para Computac¸a˜o- 2016.1
Quarto Exerc´ıcio Escolar-12/07/2016
Nome: Identificac¸a˜o:
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2 V-F
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Tipo da prova: 13 Powered by MIXnFIX Pa´gina: 1
1. (1,25 pt.) Seja T operador linear do IR2 com
p.i. usual, tal que sua matriz com respeito a` base:
α = {(1, 2), (1 − 1)} e´
(
2 −3
a −1
)
, onde a ∈ IR.
Qual valor a deve assumir para que T seja auto-
adjunto? Marque seu valor absoluto.
2. (2,0 pt.) Responda V ou F:
(A) ConsidereM2×2 com o p.i. 〈A,B〉 =trac¸o(AT ·
A). Enta˜o a matriz
(
2 −3
0 −1
)
e´ ortogonal a`
matriz
(
3 2
1 0
)
.
(B) A matriz de um p.i. e´ dependente da base em
relac¸a˜o a` qual se escrevem as coordenadas dos
vetores para se calcular o p.i.. Mas o valor do
p.i. obtido para dois vetores quaisquer e´ sem-
pre o mesmo independentemente da base de
suas coordenadas, desde que se use a matriz
do p.i. na base em questa˜o.
(C) Uma matriz de mudanc¸a de base onde ambas
as bases sa˜o ortogonais e´ ortogonal.
(D) Autovetores de um operador auto-adjunto que
sejam associados a autovalores distintos sa˜o
ortogonais. Mas na˜o necessariamente con-
seguiremos autovetores ortogonais em auto-
espac¸os com dimensa˜o maior que 1 em p.i.
arbitra´rio.
(E) A matriz canoˆnica de um p.i. na˜o usual pode
ser uma matriz de rotac¸a˜o de um certo aˆngulo,
ou seja, o ca´lculo do p.i. entre u e v equivale
a rotacionar v e em seguida fazer o p.i. usual
do resultado com o u.
(F) Em P1 equipado com o p.i. 〈p(X), q(X)〉 =∫ 1
0
p(X) · q(X)dX, o aˆngulo entre os po-
linoˆmios 1 e X e´ de 30o.
3. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja ma-
triz na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Seja
pi1 : 2x + 3y − z = 0. O subespac¸o pi⊥1 e´ gerado
pelo(s) vetor(es):
(A) [(2, 5, 2)]
(B) [(1, 1, 5), (2, 1,−3)]
(C) [(2, 3,−1)]
(D) [(1,−1,−1), (0, 0, 1)]
(E) [(3, 2, 0), (0, 0, 1)]
(F) [(1,−1, 3)]
4. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja matriz
na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere
a base α = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}. Encontre
a base ortogonal pelo me´todo de Gram Schmidt a
partir de α. Se esta base e´: α′ = {v1, v2, v3}, enta˜o
a soma dos quadrados das normas: ||v1||2+ ||v2||2+
||v3||2 e´ um racional: a
b
. Marque a+ b.
5. (1,25 pt.) Considere o P2 com o p.i. cuja matriz na
base {1, X,X2} e´: 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere a
seguinte base ortogonal de P2: α = {1, X,X+X2}.
Se [3 + 10X − 5X2]α =
 ab
c
, enta˜o marque b.
6. (1,25 pt.) Considere a matriz M do outro quesito.
Calcule v, o autovetor associado ao menor autovalor
de M . Se v = (a, b, c), onde a e´ o menor inteiro po-
sitivo que fac¸a com que b e c sejam tambe´m inteiros,
enta˜o marque: |a|+ |b|+ |c|.
7. (1,25 pt.) Considere um operador linear do IR3 cuja
matriz canoˆnica e´ M =
 3 2 a−3 −2 −9
0 0 1
, onde
a ∈ IR. Determine o valor de a para que este ope-
rador seja diagonaliza´vel.
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
Centro de Informa´tica
A´lgebra Vetorial e Linear Para Computac¸a˜o- 2016.1
Quarto Exerc´ıcio Escolar-12/07/2016
Nome: Identificac¸a˜o:
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IDENTIFICAÇÃO ALUNO
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Tipo da prova: 14 Powered by MIXnFIX Pa´gina: 1
1. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja ma-
triz na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Seja
pi1 : 2x + 3y − z = 0. O subespac¸o pi⊥1 e´ gerado
pelo(s) vetor(es):
(A) [(3, 2, 0), (0, 0, 1)]
(B) [(1,−1, 3)]
(C) [(1,−1,−1), (0, 0, 1)]
(D) [(2, 5, 2)]
(E) [(2, 3,−1)]
(F) [(1, 1, 5), (2, 1,−3)]
2. (1,25 pt.) Considere a matriz M do outro quesito.
Calcule v, o autovetor associado ao menor autovalor
de M . Se v = (a, b, c), onde a e´ o menor inteiro po-
sitivo que fac¸a com que b e c sejam tambe´m inteiros,
enta˜o marque: |a|+ |b|+ |c|.
3. (1,25 pt.) Considere o P2 com o p.i. cuja matriz na
base {1, X,X2} e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere a
seguinte base ortogonal de P2: α = {1, X,X+X2}.
Se [3 + 10X − 5X2]α =
 ab
c
, enta˜o marque b.
4. (2,0 pt.) Responda V ou F:
(A) ConsidereM2×2 com o p.i. 〈A,B〉 =trac¸o(AT ·
A). Enta˜o a matriz
(
2 −3
0 −1
)
e´ ortogonal a`
matriz
(
3 2
1 0
)
.
(B) Uma matriz de mudanc¸a de base onde ambas
as bases sa˜o ortogonais e´ ortogonal.
(C) A matriz canoˆnica de um p.i. na˜o usual pode
ser uma matriz de rotac¸a˜o de um certo aˆngulo,
ou seja, o ca´lculo do p.i. entre u e v equivale
a rotacionar v e em seguida fazer o p.i. usual
do resultado com o u.
(D) Em P1 equipado com o p.i. 〈p(X), q(X)〉 =∫ 1
0
p(X) · q(X)dX, o aˆngulo entre os po-
linoˆmios 1 e X e´ de 30o.
(E) A matriz de um p.i. e´ dependente da base em
relac¸a˜o a` qual se escrevem as coordenadas dos
vetores para se calcular o p.i.. Mas o valor do
p.i. obtido para dois vetores quaisquer e´ sem-
pre o mesmo independentemente da base de
suas coordenadas, desde que se use a matriz
do p.i. na base em questa˜o.
(F) Autovetores de um operador auto-adjunto que
sejam associados a autovalores distintos sa˜o
ortogonais. Mas na˜o necessariamente con-
seguiremos autovetores ortogonais em auto-
espac¸os com dimensa˜o maior que 1 em p.i.
arbitra´rio.
5. (1,25 pt.) Seja T operador linear do IR2 com
p.i. usual, tal que sua matriz com respeito a` base:
α = {(1, 2), (1 − 1)} e´
(
2 −3
a −1
)
, onde a ∈ IR.
Qual valor a deve assumir para que T seja auto-
adjunto? Marque seu valor absoluto.
6. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja matriz
na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere
a base α = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}. Encontre
a base ortogonal pelo me´todo de Gram Schmidt a
partir de α. Se esta base e´: α′ = {v1, v2, v3}, enta˜o
a soma dos quadrados das normas: ||v1||2+ ||v2||2+
||v3||2 e´ um racional: a
b
. Marque a+ b.
7. (1,25 pt.) Considere um operador linear do IR3 cuja
matriz canoˆnica e´ M =
 3 2 a−3 −2 −9
0 0 1
, onde
a ∈ IR. Determine o valor de a para que este ope-
rador seja diagonaliza´vel.
Tipo da prova: 15 Powered by MIXnFIX Pa´gina: 0
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
Centro de Informa´tica
A´lgebra Vetorial e Linear Para Computac¸a˜o- 2016.1
Quarto Exerc´ıcio Escolar-12/07/2016
Nome: Identificac¸a˜o:
CONTROLE MIXNFIX
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1. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja matriz
na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere
a base α = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}. Encontre
a base ortogonal pelo me´todo de Gram Schmidt a
partir de α. Se esta base e´: α′ = {v1, v2, v3}, enta˜o
a soma dos quadrados das normas: ||v1||2+ ||v2||2+
||v3||2 e´ um racional: a
b
. Marque a+ b.
2. (1,25 pt.) Considere um operador linear do IR3 cuja
matriz canoˆnica e´ M =
 3 2 a−3 −2 −9
0 0 1
, onde
a ∈ IR. Determine o valor de a para que este ope-
rador seja diagonaliza´vel.
3. (2,0 pt.) Responda V ou F:
(A) A matriz de um p.i. e´ dependente da base em
relac¸a˜o a` qual se escrevem as coordenadas dos
vetores para se calcular o p.i.. Mas o valor do
p.i. obtido para dois vetores quaisquer e´ sem-
pre o mesmo independentemente da base de
suas coordenadas, desde que se use a matriz
do p.i. na base em questa˜o.
(B) ConsidereM2×2 com o p.i. 〈A,B〉 =trac¸o(AT ·
A). Enta˜o a matriz
(
2 −3
0 −1
)
e´ ortogonal a`
matriz
(
3 2
1 0
)
.
(C) Uma matriz de mudanc¸a de base onde ambas
as bases sa˜o ortogonais e´ ortogonal.
(D) A matriz canoˆnica de um p.i. na˜o usual pode
ser uma matriz de rotac¸a˜o de um certo aˆngulo,
ou seja, o ca´lculo do p.i. entre u e v equivale
a rotacionar v e em seguida fazer o p.i. usual
do resultado com o u.
(E) Em P1 equipado com o p.i. 〈p(X), q(X)〉 =∫ 1
0
p(X) · q(X)dX, o aˆngulo entre os po-
linoˆmios 1 e X e´ de 30o.
(F) Autovetores de um operador auto-adjunto que
sejam associados a autovalores distintos sa˜o
ortogonais. Mas na˜o necessariamente con-
seguiremos autovetores ortogonais em auto-
espac¸os com dimensa˜o maior que 1 em p.i.
arbitra´rio.
4. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja ma-
triz na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Seja
pi1 : 2x + 3y − z = 0. O subespac¸o pi⊥1 e´ gerado
pelo(s) vetor(es):
(A) [(1,−1,−1), (0, 0, 1)]
(B) [(1, 1, 5), (2, 1,−3)]
(C) [(1,−1, 3)]
(D) [(3, 2, 0), (0, 0, 1)]
(E) [(2, 3,−1)]
(F) [(2, 5, 2)]
5. (1,25 pt.) Seja T operador linear do IR2com
p.i. usual, tal que sua matriz com respeito a` base:
α = {(1, 2), (1 − 1)} e´
(
2 −3
a −1
)
, onde a ∈ IR.
Qual valor a deve assumir para que T seja auto-
adjunto? Marque seu valor absoluto.
6. (1,25 pt.) Considere a matriz M do outro quesito.
Calcule v, o autovetor associado ao menor autovalor
de M . Se v = (a, b, c), onde a e´ o menor inteiro po-
sitivo que fac¸a com que b e c sejam tambe´m inteiros,
enta˜o marque: |a|+ |b|+ |c|.
7. (1,25 pt.) Considere o P2 com o p.i. cuja matriz na
base {1, X,X2} e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere a
seguinte base ortogonal de P2: α = {1, X,X+X2}.
Se [3 + 10X − 5X2]α =
 ab
c
, enta˜o marque b.
Tipo da prova: 16 Powered by MIXnFIX Pa´gina: 0
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
Centro de Informa´tica
A´lgebra Vetorial e Linear Para Computac¸a˜o- 2016.1
Quarto Exerc´ıcio Escolar-12/07/2016
Nome: Identificac¸a˜o:
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IDENTIFICAÇÃO ALUNO
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A
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C
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Tipo da prova: 16 Powered by MIXnFIX Pa´gina: 1
1. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja matriz
na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere
a base α = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}. Encontre
a base ortogonal pelo me´todo de Gram Schmidt a
partir de α. Se esta base e´: α′ = {v1, v2, v3}, enta˜o
a soma dos quadrados das normas: ||v1||2+ ||v2||2+
||v3||2 e´ um racional: a
b
. Marque a+ b.
2. (1,25 pt.) Considere o P2 com o p.i. cuja matriz na
base {1, X,X2} e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere a
seguinte base ortogonal de P2: α = {1, X,X+X2}.
Se [3 + 10X − 5X2]α =
 ab
c
, enta˜o marque b.
3. (1,25 pt.) Seja T operador linear do IR2 com
p.i. usual, tal que sua matriz com respeito a` base:
α = {(1, 2), (1 − 1)} e´
(
2 −3
a −1
)
, onde a ∈ IR.
Qual valor a deve assumir para que T seja auto-
adjunto? Marque seu valor absoluto.
4. (1,25 pt.) Considere a matriz M do outro quesito.
Calcule v, o autovetor associado ao menor autovalor
de M . Se v = (a, b, c), onde a e´ o menor inteiro po-
sitivo que fac¸a com que b e c sejam tambe´m inteiros,
enta˜o marque: |a|+ |b|+ |c|.
5. (1,25 pt.) Considere um operador linear do IR3 cuja
matriz canoˆnica e´ M =
 3 2 a−3 −2 −9
0 0 1
, onde
a ∈ IR. Determine o valor de a para que este ope-
rador seja diagonaliza´vel.
6. (2,0 pt.) Responda V ou F:
(A) Autovetores de um operador auto-adjunto que
sejam associados a autovalores distintos sa˜o
ortogonais. Mas na˜o necessariamente con-
seguiremos autovetores ortogonais em auto-
espac¸os com dimensa˜o maior que 1 em p.i.
arbitra´rio.
(B) ConsidereM2×2 com o p.i. 〈A,B〉 =trac¸o(AT ·
A). Enta˜o a matriz
(
2 −3
0 −1
)
e´ ortogonal a`
matriz
(
3 2
1 0
)
.
(C) A matriz de um p.i. e´ dependente da base em
relac¸a˜o a` qual se escrevem as coordenadas dos
vetores para se calcular o p.i.. Mas o valor do
p.i. obtido para dois vetores quaisquer e´ sem-
pre o mesmo independentemente da base de
suas coordenadas, desde que se use a matriz
do p.i. na base em questa˜o.
(D) A matriz canoˆnica de um p.i. na˜o usual pode
ser uma matriz de rotac¸a˜o de um certo aˆngulo,
ou seja, o ca´lculo do p.i. entre u e v equivale
a rotacionar v e em seguida fazer o p.i. usual
do resultado com o u.
(E) Em P1 equipado com o p.i. 〈p(X), q(X)〉 =∫ 1
0
p(X) · q(X)dX, o aˆngulo entre os po-
linoˆmios 1 e X e´ de 30o.
(F) Uma matriz de mudanc¸a de base onde ambas
as bases sa˜o ortogonais e´ ortogonal.
7. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja ma-
triz na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Seja
pi1 : 2x + 3y − z = 0. O subespac¸o pi⊥1 e´ gerado
pelo(s) vetor(es):
(A) [(3, 2, 0), (0, 0, 1)]
(B) [(1,−1,−1), (0, 0, 1)]
(C) [(2, 5, 2)]
(D) [(1,−1, 3)]
(E) [(1, 1, 5), (2, 1,−3)]
(F) [(2, 3,−1)]
Tipo da prova: 17 Powered by MIXnFIX Pa´gina: 0
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
Centro de Informa´tica
A´lgebra Vetorial e Linear Para Computac¸a˜o- 2016.1
Quarto Exerc´ıcio Escolar-12/07/2016
Nome: Identificac¸a˜o:
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IDENTIFICAÇÃO ALUNO
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1. (1,25 pt.) Considere a matriz M do outro quesito.
Calcule v, o autovetor associado ao menor autovalor
de M . Se v = (a, b, c), onde a e´ o menor inteiro po-
sitivo que fac¸a com que b e c sejam tambe´m inteiros,
enta˜o marque: |a|+ |b|+ |c|.
2. (1,25 pt.) Considere o P2 com o p.i. cuja matriz na
base {1, X,X2} e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere a
seguinte base ortogonal de P2: α = {1, X,X+X2}.
Se [3 + 10X − 5X2]α =
 ab
c
, enta˜o marque b.
3. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja ma-
triz na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Seja
pi1 : 2x + 3y − z = 0. O subespac¸o pi⊥1 e´ gerado
pelo(s) vetor(es):
(A) [(1,−1, 3)]
(B) [(2, 5, 2)]
(C) [(2, 3,−1)]
(D) [(1, 1, 5), (2, 1,−3)]
(E) [(3, 2, 0), (0, 0, 1)]
(F) [(1,−1,−1), (0, 0, 1)]
4. (1,25 pt.) Seja T operador linear do IR2 com
p.i. usual, tal que sua matriz com respeito a` base:
α = {(1, 2), (1 − 1)} e´
(
2 −3
a −1
)
, onde a ∈ IR.
Qual valor a deve assumir para que T seja auto-
adjunto? Marque seu valor absoluto.
5. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja matriz
na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere
a base α = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}. Encontre
a base ortogonal pelo me´todo de Gram Schmidt a
partir de α. Se esta base e´: α′ = {v1, v2, v3}, enta˜o
a soma dos quadrados das normas: ||v1||2+ ||v2||2+
||v3||2 e´ um racional: a
b
. Marque a+ b.
6. (1,25 pt.) Considere um operador linear do IR3 cuja
matriz canoˆnica e´ M =
 3 2 a−3 −2 −9
0 0 1
, onde
a ∈ IR. Determine o valor de a para que este ope-
rador seja diagonaliza´vel.
7. (2,0 pt.) Responda V ou F:
(A) Uma matriz de mudanc¸a de base onde ambas
as bases sa˜o ortogonais e´ ortogonal.
(B) ConsidereM2×2 com o p.i. 〈A,B〉 =trac¸o(AT ·
A). Enta˜o a matriz
(
2 −3
0 −1
)
e´ ortogonal a`
matriz
(
3 2
1 0
)
.
(C) Autovetores de um operador auto-adjunto que
sejam associados a autovalores distintos sa˜o
ortogonais.Mas na˜o necessariamente con-
seguiremos autovetores ortogonais em auto-
espac¸os com dimensa˜o maior que 1 em p.i.
arbitra´rio.
(D) Em P1 equipado com o p.i. 〈p(X), q(X)〉 =∫ 1
0
p(X) · q(X)dX, o aˆngulo entre os po-
linoˆmios 1 e X e´ de 30o.
(E) A matriz de um p.i. e´ dependente da base em
relac¸a˜o a` qual se escrevem as coordenadas dos
vetores para se calcular o p.i.. Mas o valor do
p.i. obtido para dois vetores quaisquer e´ sem-
pre o mesmo independentemente da base de
suas coordenadas, desde que se use a matriz
do p.i. na base em questa˜o.
(F) A matriz canoˆnica de um p.i. na˜o usual pode
ser uma matriz de rotac¸a˜o de um certo aˆngulo,
ou seja, o ca´lculo do p.i. entre u e v equivale
a rotacionar v e em seguida fazer o p.i. usual
do resultado com o u.
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
Centro de Informa´tica
A´lgebra Vetorial e Linear Para Computac¸a˜o- 2016.1
Quarto Exerc´ıcio Escolar-12/07/2016
Nome: Identificac¸a˜o:
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IDENTIFICAÇÃO ALUNO
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Tipo da prova: 18 Powered by MIXnFIX Pa´gina: 1
1. (1,25 pt.) Seja T operador linear do IR2 com
p.i. usual, tal que sua matriz com respeito a` base:
α = {(1, 2), (1 − 1)} e´
(
2 −3
a −1
)
, onde a ∈ IR.
Qual valor a deve assumir para que T seja auto-
adjunto? Marque seu valor absoluto.
2. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja ma-
triz na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Seja
pi1 : 2x + 3y − z = 0. O subespac¸o pi⊥1 e´ gerado
pelo(s) vetor(es):
(A) [(2, 5, 2)]
(B) [(2, 3,−1)]
(C) [(1,−1, 3)]
(D) [(1,−1,−1), (0, 0, 1)]
(E) [(3, 2, 0), (0, 0, 1)]
(F) [(1, 1, 5), (2, 1,−3)]
3. (1,25 pt.) Considere o P2 com o p.i. cuja matriz na
base {1, X,X2} e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere a
seguinte base ortogonal de P2: α = {1, X,X+X2}.
Se [3 + 10X − 5X2]α =
 ab
c
, enta˜o marque b.
4. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja matriz
na base canoˆnica e´:
 1 0 00 1 −1
0 −1 2
. Considere
a base α = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}. Encontre
a base ortogonal pelo me´todo de Gram Schmidt a
partir de α. Se esta base e´: α′ = {v1, v2, v3}, enta˜o
a soma dos quadrados das normas: ||v1||2+ ||v2||2+
||v3||2 e´ um racional: a
b
. Marque a+ b.
5. (1,25 pt.) Considere a matriz M do outro quesito.
Calcule v, o autovetor associado ao menor autovalor
de M . Se v = (a, b, c), onde a e´ o menor inteiro po-
sitivo que fac¸a com que b e c sejam tambe´m inteiros,
enta˜o marque: |a|+ |b|+ |c|.
6. (2,0 pt.) Responda V ou F:
(A) A matriz canoˆnica de um p.i. na˜o usual pode
ser uma matriz de rotac¸a˜o de um certo aˆngulo,
ou seja, o ca´lculo do p.i. entre u e v equivale
a rotacionar v e em seguida fazer o p.i. usual
do resultado com o u.
(B) ConsidereM2×2 com o p.i. 〈A,B〉 =trac¸o(AT ·
A). Enta˜o a matriz
(
2 −3
0 −1
)
e´ ortogonal a`
matriz
(
3 2
1 0
)
.
(C) Autovetores de um operador auto-adjunto que
sejam associados a autovalores distintos sa˜o
ortogonais. Mas na˜o necessariamente con-
seguiremos autovetores ortogonais em auto-
espac¸os com dimensa˜o maior que 1 em p.i.
arbitra´rio.
(D) Em P1 equipado com o p.i. 〈p(X), q(X)〉 =∫ 1
0
p(X) · q(X)dX, o aˆngulo entre os po-
linoˆmios 1 e X e´ de 30o.
(E) A matriz de um p.i. e´ dependente da base em
relac¸a˜o a` qual se escrevem as coordenadas dos
vetores para se calcular o p.i.. Mas o valor do
p.i. obtido para dois vetores quaisquer e´ sem-
pre o mesmo independentemente da base de
suas coordenadas, desde que se use a matriz
do p.i. na base em questa˜o.
(F) Uma matriz de mudanc¸a de base onde ambas
as bases sa˜o ortogonais e´ ortogonal.
7. (1,25 pt.) Considere um operador linear do IR3 cuja
matriz canoˆnica e´ M =
 3 2 a−3 −2 −9
0 0 1
, onde
a ∈ IR. Determine o valor de a para que este ope-
rador seja diagonaliza´vel.
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
Centro de Informa´tica
A´lgebra Vetorial e Linear Para Computac¸a˜o- 2016.1
Quarto Exerc´ıcio Escolar-12/07/2016
Nome: Identificac¸a˜o:
CONTROLE MIXNFIX
0
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IDENTIFICAÇÃO ALUNO
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4 V-F
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C
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Tipo da prova: 19 Powered by MIXnFIX Pa´gina: 1
1. (1,25 pt.) Considere a matriz M do outro quesito.
Calcule v, o autovetor associado ao menor autovalor
de M . Se v = (a, b, c), onde a e´ o menor inteiro po-
sitivo que fac¸a com que b e c sejam tambe´m inteiros,
enta˜o marque: |a|+ |b|+ |c|.
2. (1,25 pt.) Seja T operador linear do IR2 com
p.i. usual, tal que sua matriz com respeito a` base:
α = {(1, 2), (1 − 1)} e´
(
2 −3
a −1
)
, onde a ∈ IR.
Qual valor a deve assumir para que T seja auto-
adjunto? Marque seu valor absoluto.
3. (1,25 pt.) Considere um operador linear do IR3 cuja
matriz canoˆnica e´ M =
 3 2 a−3 −2 −9
0 0 1
, onde
a ∈ IR. Determine o valor de a para que este ope-
rador seja diagonaliza´vel.
4. (2,0 pt.) Responda V ou F:
(A) ConsidereM2×2 com o p.i. 〈A,B〉 =trac¸o(AT ·
A). Enta˜o a matriz
(
2 −3
0 −1
)
e´ ortogonal a`
matriz
(
3 2
1 0
)
.
(B) Autovetores de um operador auto-adjunto que
sejam associados a autovalores distintos sa˜o
ortogonais. Mas na˜o necessariamente con-
seguiremos autovetores ortogonais em auto-
espac¸os com dimensa˜o maior que 1 em p.i.
arbitra´rio.
(C) A matriz de um p.i. e´ dependente da base em
relac¸a˜o a` qual se escrevem as coordenadas dos
vetores para se calcular o p.i.. Mas o valor do
p.i. obtido para dois vetores quaisquer e´ sem-
pre o mesmo independentemente da base de
suas coordenadas, desde que se use a matriz
do p.i. na base em questa˜o.
(D) Em P1 equipado com o p.i. 〈p(X), q(X)〉 =∫ 1
0
p(X) · q(X)dX, o aˆngulo entre os po-
linoˆmios 1 e X e´ de 30o.
(E) A matriz canoˆnica de um p.i. na˜o usual pode
ser uma matriz de rotac¸a˜o de um certo aˆngulo,
ou seja, o ca´lculo do p.i. entre u e v equivale
a rotacionar v e em seguida fazer o p.i. usual
do resultado com o u.
(F) Uma matriz de mudanc¸a de base onde ambas
as bases sa˜o ortogonais e´ ortogonal.
5. (1,5 pt.) Considere o IR3 com o p.i. cuja ma-
triz na