Ondas e Linhas- P1 2017 - POLI-USP - Engenharia Elétrica

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PTC-3314 – Ondas e Linhas 1a. Prova - 04/10/2017 
Prova sem consulta! Qualquer tentativa de cola será punida com nota zero! NOTAS: 
Duração: 100 min. 1a. (1,5) 
GABARITO 2a. (2,5) 
 3a. (2,0) 
 4a. (4,0) 
TOTAL 
 1a. Questão (1,0) Na figura abaixo, as 3 linhas são idênticas, sem perdas, com 100 m de comprimento, 
Z0=300 Ω e u=2×108 m/s. Resistores, R = 100 Ω, são colocados em série com as linhas no seu ponto de
interligação, como mostrado. A linha 1 é excitada por um degrau no instante t=0, e as linhas 2 e 3 são
terminadas pelas resistências indicadas. 
60 V v0
300 Ω
t = 0
Z
L 3
 =150 Ω
Z
L 2
 =300 Ω
100 m
10
0 m
100 m
R
R
R
R = 100 ΩZ0 = 300 Ω, u = 2 x 10
8 m/s
ρl1
3
2
 a)(0,5) Determine o valor do coeficiente de reflexão no final da linha 1 (para o transitório).
Z l=R+( R+Z 0 ) // ( R+Z 0 )=100+400 // 400=300Ω
ρl=
Z l−Z 0
Z l+Z 0
=0
ρl = __________
 b)(1,0) Trace o gráfico cotado da tensão v0(t), para 0 ≤ t ≤ 4 μs, explicitando todos os instantes e tensões
relevantes, e justificando sua resposta (diagrama do zig-zag). Utilize o verso para as justificativas e
diagramas necessários.
t (μs)1 2 3 4
v0(t)
27,5 V
30 V
A onda incidente na linha 1 tem amplitude dada pelo divisor de impedância entre Zg e Z0, ou seja, será de
30 V. O tempo de percurso em cada trecho de 100 m será de 0,5 us.
1/7
A onda incidente no final da linha 1, em t=0,5 us, não gera reflexão, como visto no item anterior. Assim,
a tensão no final da linha mantém-se em 30 V e a tensão a se propagar nas linhas 2 e 3 terá amplitude de
15 V, como mostrado na figura:
R
R
30 V
R
Z0 Z0 15 V
20 V
R = 100 Ω, Z0 = 300 Ω
Na linha 3 haverá reflexão em sua terminação, no instante 1 us, com
ρ3 l=
150−300
150+300 =−
1
3 Assim, haverá nova onda refletida com amplitude de –5 V. Analogamente, essa
onda não será refletida na junção das linhas (a junção é simétrica) e a onda excitada na linha 1, no instante
1,5 us, terá metade de sua amplitude, ou seja, –2,5 V, atingindo o início da linha 1 no instante 2 us. Como
as linhas 1 e 2 estão casadas nas extremidades, não ocorrerão novas reflexões e o transitório termina.
 2a. Questão (2,5) Considere a linha de transmissão, sem perdas, com Z0 = 50 Ω e u = 2  108 m/s, mostrada
abaixo, terminada em um curto-circuito,
t
e(t)
200 ns
80 V
e(t) Z
0
=50 Ω, u =2×108 m/s curto
z = 0 z = 200 m
75 Ω
+
–
sendo e(t) um pulso retangular de amplitude 80 V e duração 200 ns:
 a)(0,5) Determine os coeficientes de reflexão da carga e do gerador.
ρL=
0−50
0+50 =−1 ρg=
75−50
75+50 =
1
5
ρL = _______ ρg =_________
 b)(1,0) Esboce os gráficos cotados da tensão em z = 0, para 0≤t≤5μ s (utilize o verso da página para 
fazer o zig-zag).
t (μs)
v(z=0, t)
1 2 3 4 50
32 V
–38,4 V
7,68 V
2/7
z
t
1
2
3
4
5
200m0
32V; 0,64A
-32V; 0,64A
-6,4V; -0,128A
6,4V; -0,128A
1,28V; 0,0256A
-1,28V; 0,0256A
 1,28 A
 -0,256 A
 0,0512 A
 -38,4 V
 7,68 V
 c) (1,0) Esboce os gráficos cotados da corrente em z = 200m, para 0≤t≤5μ s .
t (μs)
i(z=200m, t)
1 2 3 4 50
1,28 A
-0,256 A
0,0512 A
3/7
 3a. Questão (2,0) A figura abaixo representa uma linha com perdas, com Z0 = 100 Ω, e u = 2  108 m/s, com 
200 m de comprimento, terminada por uma carga indutiva.
20 V
25 Ω
z = 0 z = 200 m
t = 0
100 Ω
L = 25 μH
v0 Z0=100 Ω, u = 2×10
8 m/s, γ(s) = A + s B
A = 0,000527 Np/m
A seguinte forma de onda é observada na linha, em z=0.
t (μs)
v
0
20
E
1
10 V
1 3
E
2
 a)(1,0) Determine os valores de E1 e E2, justificando sua resposta.
E= 20×100100+100=10 V
B l= lu=
200
200×106
=1μ s ρg=
100−100
100+100=0 e
−α l=e−0,1054=0.9
Onda incidente na carga tem amplitude de 10 x 0,9 = 9 V. Thevenin equivalente na carga:
18 H(t –1) V
25 Ω
100 Ω
25 μH
vL
v L( t)=H (t−1)[3,6+14,4e
−(t−1)/ τ ]
v L
−(t)=v L (t)−9 H ( t−1)=H ( t−1) [−5,4+14,4e
−(t−1)/ τ ]
v0(t )=10 H (t)+H (t−2) [−5,4+14,4e
−(t−2 )/ τ ](0,9)=
=10 H (t)+H (t−2) [−4,86+12,96 e−(t−2)/ τ ]
E1=10−4,86+12,96=18,1V E2=10−4,86=5,14V
E1 = _________ V E2 = __________ V 
 b)(1,0) Após o instante 2μs a tensão apresenta um decaimento exponencial no tempo. Qual o valor da
constante de tempo desse decaimento?
τ=
L0
Z 0+25
=
25μ
100+25
=0,2μ s
τ = __________ μs
4/7
 4a. Questão (4,0) Na figura abaixo, uma linha de transmissão com perdas tem Z0 = 50 Ω e velocidade de
propagação u = 2108 m/s, com comprimento L = 60,25 m. Sua atenuação α é desconhecida. A carga é
resistiva, com RL = 200 Ω, e o gerador ligado à entrada da linha tem fem = 7,5 Vef , resistência interna
Rg = 50 Ω e frequência f = 200 MHz. Foi medida a taxa de onda estacionária (TOE ou COE) nas
proximidades da entrada da linha, tendo-se encontrado o valor 2,0. 
 
~
50 Ω
7,5 V
ef
Z
0
=50 Ω, 
 
u = 2,0×108 m/s, α
dB
 = ?? dB/m R
L
=200Ω
f = 200 MHz
z = 0 z = 60,25 m
 a)(1,0) Determine o coeficiente de reflexão (módulo e fase) na carga e na entrada. 
ρl=
200−50
200+50 =0,6
|ρ(0)|=COE−1COE +1=
2−1
2+1 =
1
3 Como a carga é um ponto de máximo e o comprimento da linha é um
múltiplo ímpar de λ/4, z=0 é um ponto de mínimo e, portanto, a fase do coeficnete de reflexão é 180
graus: ρ(0) = - 1/3 
ρ(0) = ____________ ρL = ___________ 
 b)(0,5) Determine o valor da constante de atenuação α da linha, em dB/m. 
|ρ ( z )|=|ρ ( z1 )| 10
α dB( z− z1 )
10 ⇒0,6=0,3333×1060,25α dB/10⇒αdB=0,04237 dB/m
α = __________ dB/m
 c) (0,5) Calcule a atenuação total (Pentrada / Pcarga) em dB.
10 log( PentradaP carga )=αdB l+10 log (1−|ρ(0)|
2
1−|ρl|
2 )=0,04237×60,25+10 log( 1−|0,3333|
2
1−|0,6|2 )=2,6+1,4=4 dB
A = ____________ dB
 d)(0,5) Determine a impedância vista na entrada da linha.
Z (0)=
Z 0
COE
=25Ω Pois sabemos que é um ponto de mínimo
Z(z=0) = _________+ j _________Ω
5/7
 e) (0,5) Calcule o valor da potência dissipada na carga. 
P (0)=R (0)
E g
2
|Z g+Z (0)|
2=25
7,52
(50+25)2
=0,25W
P l=P (0)10
−A /10=0,25×10−0,4=0,1W
Pcarga=____________ W
 f) (1,0) Determine os valores máximo e mínimo da tensão (em valor eficaz) nas vizinhanças da entrada e da
carga.
Na entrada temos um mínimo: V min=
7,5
50+25 25=2,5 V ef
V max=V min×COE=5,0V ef
Na carga temos um máximo: 
P l=
V max
2
200
=0,1W ⇒V max=4,47V ef COE=
1+|ρ|
1−|ρ|
= 1+0,6
1−0,6
=4⇒V min=V max/ 4=1,12V ef
Vcarga-max =____________ Vef Vcarga-min =____________ Vef
Ventrada-max=____________ Vef Ventrada-min=____________ Vef
6/7
Formulário
V  z , s =V  0, s e− s zV −  0, s  es z=V  0, s e−AB s zV−  0, s e AB s z
I  z , s =I  0, s  e−s  zI−  0,s  es z=V
  0, s 
Z0 s
e− s z−V
− 0, s
Z 0 s
e s  z
 s= Rs LGsC Z0 s= RsLGsC
linhas sem perdas:  s=s  LC=B s Z0= LC
linhas sem distorção: 
R
L
=
G
C :
 s= R
Z 0
s  L C=G Z0s  L C=AB s Z0= LC
B= 1
u
ρ(s , z )=V
−(z , s)
V +( z , s )
=
Z (z , s)−Z 0
Z (z , s)+Z 0
ρL=
Z L−Z 0
Z L+Z 0
ρg=
Z g−Z 0
Z g+Z 0
0 = 8,85410-12 F/m μ0 = 4  10-7 H/m c=
1
 μ0 ε0
≃3×108 m/s
L {H (t) }=1
s
L {e−α t H (t) }= 1
s+α L { xt− }=X se
−s
∑
i=1
∞
qi= q
1−q ∑i=0
∞
qi= 1
1−q
V˙  z =V˙  0  e− z e− j  zV˙ − 0  e z e j  z=V˙  0  e− z e− j  z [1  z  ]
I˙  z =
V˙   0 
Z 0
e− z e− j  z−
V˙ − 0 
Z 0
e z e j  z=
V˙  0 
Z 0
e− z e− j  z [1−  z  ]
  z =V
−  z 
V  z 
=
Z  z −Z 0
Z  z Z 0
Z  z = V˙  z 
I˙  z =Z 0
1  z 
1−  z 
  z =  z1  e
2  z− z1 e
2 j  z− z1 =  z1  10
dB  z−z1 
10 e
2 j  z−z 1
COE=
V max
V min
=
|V +|+|V −|
|V +|−|V −|
=
1+|ρ|
1−|ρ|
P ( z )=P inc( z )(1−|ρ ( z )|
2 )=|V˙
+(0)|2 e−2 α z
Z 0
(1−|ρ ( z )|2 )
P ( z )
P ( z1 )
=
1−|ρ ( z )|2
1−|ρ ( z1 )|
2 e
−2αNp ( z−z 1)=
1−|ρ ( z )|2
1−|ρ ( z1 )|
2 10
−
α dB (z−z 1)
10
αdB /m=αNp/m×20 log e=8,686×αNp /m
10 log( P (z1)P (z ) )=αdB(z−z 1)+10 log( 1−|ρ(z1)|
2
1−|ρ(z )|2 )
7/7