Conjunto dos Números Naturais e Inteiros

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Estruturas Algébricas
TA 02
Conjunto dos números naturais e 
conjunto dos números inteiros
Conjunto dos Números Naturais
 Axiomatização dos naturais
 Princípio da Indução Finita
Conjunto dos Números Inteiros
 Operações e propriedades
 Divisibilidade
 Ensino dos números inteiros
Objetivos
http://portaldoprofessor.mec.gov.br
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em/0000001727/0000020610.jpg
(acesso em 26/06/17)
Conjunto dos números naturais
Essência da caracterização de ℕ: sucessor
 Todo número natural possui um único sucessor;
 Números naturais distintos tem sucessores distintos;
 Existe um único número natural, chamado um e 
representado por 1, que não é 
sucessor de nenhum outro;
 Seja X ⊂ ℕ. Se 1 ∈ 𝑋 e se, além 
disso, o sucessor de todo 
elemento de 𝑋 pertence a 𝑋, 
então 𝑋 = ℕ.
Axiomatização dos naturais
Axiomas 
de Peano
Princípio da 
Indução Finita
Função sucessor:
Axiomatização dos naturais
Adaptado de DIAS; MORETTI, 2012, p.34
Função 
injetiva
𝑠: ℕ → ℕ
𝑠 𝑛 = 𝑛 + 1
4º axioma de Peano: axioma da indução – base para um
método de demonstração de proposições relacionadas
aos números naturais
Princípio da Indução Finita: Suponha que, para cada
natural 𝑛 ≥ 1, a propriedade 𝑃 𝑛 satisfaça as condições:
 𝑃 1 é verdadeira;
 Para todo 𝑛, se 𝑃 𝑛 for verdadeira então 𝑃 𝑛 + 1 é
verdadeira.
então podemos concluir que a 
propriedade 𝑃 𝑛 é verdadeira para 
todo natural 𝑛 ≥ 1.
Princípio da indução finita
Prove, pelo Princípio da Indução Finita, que
𝑃 𝑛 : 1 + 3 + 5 +⋯+ 2𝑛 − 1 = 𝑛2
é valida para todo 𝑛 ∈ ℕ
Atividade
Como podemos 
resolver este 
problema?
ℕ = 1, 2, 3, … ou ℕ = 0, 1, 2, 3, …
Operações:
 Adição
 Multiplicação
Conjunto de números naturais (ℕ)
Adaptado de http://www.unavitapergiocare.com/wordpress/wp-
content/uploads/2016/01/numeri1.jpg (acesso em 21/06/18)
Adição (+):
 Associatividade: sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ, então
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
 Comutatividade: sejam 𝑎, 𝑏, ∈ ℕ, então
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
 Existência de elemento neutro (se 0 ∈ ℕ): existe
0 ∈ ℕ tal que para todo 𝑎 ∈ ℕ
𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎
Conjunto de números naturais (ℕ)
Considerando
ℕ = 0, 1, 2, 3,…
Multiplicação ( ⋅ ):
 Associatividade: sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ, então
𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑐
 Comutatividade: sejam 𝑎, 𝑏, ∈ ℕ, então
𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑏 ⋅ 𝑎
 Existência de elemento neutro: existe 1 ∈ ℕ tal que
para todo 𝑎 ∈ ℕ
𝑎 ⋅ 1 = 1 ⋅ 𝑎 = 𝑎
Conjunto de números naturais (ℕ)
Adição e multiplicação:
 Distributividade: sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ, então
𝑎 ⋅ 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 ⋅ 𝑏 + 𝑎 ⋅ 𝑐
𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ 𝑏 + 𝑏 ⋅ 𝑐
Conjunto de números naturais (ℕ)
Adição (+) Multiplicação ( ⋅ )
Associatividade;
Comutatividade;
Existência de 
elemento neutro
Associatividade;
Comutatividade;
Existência de 
elemento neutro
Distributividade
Conjunto de números naturais (ℕ)
Conjunto dos números inteiros
ℤ = … ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, …
Operações:
 Adição
 Multiplicação
Conjunto dos números inteiros (ℤ)
http://wikiwall.ru/files/widgets/155780.jpg
(acesso em 01/08/2017)
Adição (+):
 Associatividade: sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ, então
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
 Comutatividade: sejam 𝑎, 𝑏, ∈ ℤ, então 
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
 Existência de elemento neutro: existe 0 ∈ ℤ tal que, 
para todo 𝑎 ∈ ℤ, seja válido 
𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎
 Existência de elemento oposto:
para cada 𝑎 ∈ ℤ, existe −𝑎 ∈ ℤ
com 𝑎 + −𝑎 = −𝑎 + 𝑎 = 0
Conjunto dos números inteiros (ℤ)
Multiplicação ( ⋅ ):
 Associatividade: sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ, então
𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑐
 Comutatividade: sejam 𝑎, 𝑏, ∈ ℤ, então 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑏 ⋅ 𝑎
 Existência de elemento neutro: existe 1 ∈ ℤtal que, 
para todo 𝑎 ∈ ℤ, tem-se 𝑎 ⋅ 1 = 1 ⋅ 𝑎 = 𝑎
Adição e multiplicação (+ e ⋅ ):
 Distributividade: sejam 
𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ, então
𝑎 ⋅ 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 ⋅ 𝑏 + 𝑎 ⋅ 𝑐
𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ 𝑏 + 𝑏 ⋅ 𝑐
Conjunto dos números inteiros (ℤ)
Adição (+) Multiplicação ( ⋅ )
Associatividade;
Comutatividade;
Existência de 
elemento neutro;
Existência de 
elemento oposto.
Associatividade;
Comutatividade;
Existência de 
elemento neutro.
Distributividade
Conjunto dos números inteiros (ℤ)
Subconjuntos importantes:
 ℤ+ = 0, 1, 2, 3, 4, …
 ℤ− = 0,−1,−2,−3,…
 ℤ∗ = … ,−3,−2,−1, 1, 2, 3, …
 ℤ+
∗ = 1, 2, 3, 4, …
 ℤ−
∗ = −1,−2,−3,−4,…
Conjunto dos números inteiros (ℤ)
COCHMANSKI; 
COCHMANSKI, 
2016, p.16.
Outras propriedades:
 Integridade: para 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, 
se 𝑎 ⋅ 𝑏 = 0 então 𝑎 = 0 ou 𝑏 = 0
 Tricotomia: sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ, então 
𝑎 < 𝑏, 𝑎 = 𝑏 ou 𝑎 > 𝑏
 Regra do sinal: para 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ temos
−𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑎 ⋅ −𝑏 = − 𝑎 ⋅ 𝑏
−𝑎 ⋅ −𝑏 = 𝑎 ⋅ 𝑏
Conjunto dos números inteiros (ℤ)
Outras propriedades:
 Desigualdades: sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ, assim
𝑎 < 𝑏 se, e somente se, 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐
Se 𝑐 > 0 então 𝑎 < 𝑏 implica em 𝑎 ⋅ 𝑐 < 𝑏 ⋅ 𝑐
Se 𝑐 < 0 então 𝑎 < 𝑏 implica em 𝑎 ⋅ 𝑐 > 𝑏 ⋅ 𝑐
 Cancelamento: se 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ então
𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐 implica em 𝑎 = 𝑏
Se 𝑎 ≠ 0 então 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑎 ⋅ 𝑐 implica 
em 𝑏 = 𝑐
Conjunto dos números inteiros (ℤ)
Como justificar que 
−𝑎 ⋅ −𝑏 = 𝑎 ⋅ 𝑏, 
com 𝑎 e 𝑏 inteiros?
Divisibilidade
Considerando 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ, temos que 𝑎 divide 𝑏 quando 
existir 𝑐 tal que 𝑏 = 𝑎 ⋅ 𝑐.
Neste caso, 𝑎 é divisor de 𝑏 e que 𝑏 é múltiplo de 𝑎.
Notação: 𝑎|𝑏 (“𝑎 divide 𝑏”)
Propriedades: para todos 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℤ
 Reflexiva: 𝑎|𝑎
 Transitiva: se 𝑎|𝑏 e 𝑏|𝑐 então 𝑎|𝑐
 Se 𝑎|𝑏 e 𝑐|𝑑 então 𝑎 ⋅ 𝑐|𝑏 ⋅ 𝑑
 Se 𝑎|𝑏, com 𝑏 ≠ 0, então
𝑎 ≤ 𝑏 .
Divisibilidade
Sendo 𝑎, 𝑑 ∈ ℤ em que 𝑑 ≠ 0, existem e são únicos os
inteiros 𝑞, 𝑟 de modo que
com 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑑 .
Divisão exata: 𝑟 = 0
Algoritmo euclidiano
𝑎 = 𝑑 ⋅ 𝑞 + 𝑟
Dividendo
Divisor
Quociente
Resto
Considerando o algoritmo 
euclidiano, qual deve ser o 
quociente e o resto associado 
à divisão de -15 por -4?
Considere o conjunto A = {5, 6, 7} e a relação R definida
por
𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 se, e somente se, 2|𝑥 − 𝑦
Note que
5,5 ⇒ 5 − 5 = 0 e 2 divide 0 ⇒ 5,5 ∈ 𝑅
5,6 ⇒ 5 − 6 = −1 e 2 não divide −1 ⇒ 5,6 ∉ 𝑅
5,7 ⇒ 5 − 7 = −2 e 2 divide −2 ⇒ 5,7 ∈ 𝑅
6,5 ∉ 𝑅; 6,6 ∈ 𝑅; 6,7 ∉ 𝑅
7,5 ∈ 𝑅; 7,6 ∉ 𝑅; 7,7 ∈ 𝑅
Logo,
𝑅 = 5,5 , 5,7 , 6,6 , 7,5 , 7,7
Divisibilidade como relação de equivalência
Da relação 𝑅 = 5,5 , 5,7 , 6,6 , 7,5 , 7,7 sobre A 
temos
 5 está relacionado com 5 e com 7 ⇒ 𝐶5 = 5,7
 6 está relacionado com 6 ⇒ 𝐶6 = 6
 7 está relacionado com 5 e com 7 ⇒ 𝐶7 = 5,7
Conjunto quociente:
𝐴/𝑅 = {{5,7}, {6}}
Divisibilidade como relação de equivalência
Classes de 
equivalência
Conjunto composto 
por todas as classes 
de equivalência de R 
sobre A
Ensino dos números inteiros 
na educação básica
No ensino dos números inteiros podemos partir do
princípio da extensão em que nos baseamos nas
definições e propriedades dos números naturais para
introduzir o conceito de número negativo.
Dados os números naturais 𝑎 e 𝑏, pelo princípio da
extensão definimos o conceito de número relativo, o qual
é dado por 𝑎 − 𝑏 e tal que
 Se 𝑎 > 𝑏, a diferença será positiva;
 Se 𝑎 = 𝑏, a diferença será nula;
 Se 𝑎 < 𝑏, a diferença será negativa.
Ensino dos números inteiros na 
educação básica
Obstáculos epistemológicos
• Dificuldade em dar significado a quantidades 
negativas isoladas;
• Dificuldade em ampliar a representação 
da reta numérica aos números inteiros 
negativos e diferenciar qualitativamente 
quantidades positivas e negativas;
Glaeser(1985) 
Obstáculos epistemológicos
• Interpretação equivocada do zero absoluto
e do zero como origem;
• Oposição em relação ao concreto aplicado aos 
números naturais;
• Necessidade de um modelo para unificar
operações aditivas e multiplicativas.
Glaeser (1985) 
Modelos para o ensino de números inteiros (González,
1991 apud Silva, 2006 – Crowley e Dunn, 1985 apud
Coelho, 2005):
a) modelo aritmético: emprego de exemplos de operações
não fechadas no conjunto de números naturais;
b) modelo geométrico: extensão da reta numérica;
c) modelo algébrico: utilização da equação 𝑥 + 𝑎 = 𝑏, em 
ℕ, tal que existe solução se 𝑏 > 𝑎
ou 𝑏 = 𝑎. No caso de 𝑏 < 𝑎, há a 
necessidade de considerar os 
números negativos como solução. 
Ensino dos números inteiros