INTRODUÇÂO ao PDS - CAP 3 .1 - POLI-USP - Engenharia Elétrica

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Sinais de tempo discreto (TD) 
Sistemas de tempo discreto lineares e invariantes no tempo 
Resposta a pulso unitário 
Soma de convolução 
Propriedades de SLITs de TD 
Descrição de SLITs de TD por equações de diferenças 
Sistemas FIR e IIR e diagramas de blocos 
 
Capítulo 3 
(1) Normalmente as amostras são ordenadas usando-se números inteiros. 
 
(2) A informação de qual foi a frequência de amostragem tem que ser fornecida, mesmo que não 
explicitada em uma figura ou quando as amostras estão armazenadas em uma memória. 
Pulso unitário ou amostra 
unitária 
Degrau unitário 
Relações entre o pulso unitário e o degrau unitário de TD 
Superposição 
de pulsos unitários 
atrasados 
= 
Sinais exponenciais reais 
n= …, -2, -1, 0, 1, 2, …. 
C e α reais 
α > 1 
0 < α < 1 
-1 < α < 0 
α < - 1 
Sinais cosseno e seno 
n= …, -2, -1, 0, 1, 2, …. 
ω0 ϕ que unidades têm e ? rad 
Para sinal seno, basta tomar ϕ = - π/2 
Obs: quando se estudam relações entre sinais de TC e os de TD amostrados, deve-se 
usar notação distinta para as frequências angulares dos dois tipos de sinais, 
p.ex., 
 Ω (em rad) para TD e ω (em rad/s) para TC 
 
 Quando formos estudar unicamente sinais periódicos de TD, ou 
Transformada de Fourier para sinais de TD, usaremos, 
como no livro-texto, ω (rad) 
n= …, -2, -1, 0, 1, 2, …. 
Exemplos de cossenos de TD 
ϕ = 0 
n= …, -2, -1, 0, 1, 2, …. 
Exponencial complexa, cosseno e seno de TD 
sempre são periódicos em tempo discreto ? Não !! 
exp( jωon+ ϕ) cos(ωon + ϕ) sen(ωon + ϕ) 
Para que um sinal x(n) tenha período N (inteiro positivo), devemos ter x(n+N) = x(n), 
 
portanto: exp( jωo (n+N) ) = exp( jωo n ).exp( jωo N ) = 
 = exp( jωo n )  pela imposição de periodicidade 
 em n Portanto: exp( jωo N ) = 1 
o que significa que ωo N = 2πm com m inteiro, ou seja 
com m e N inteiros, ou seja ωo tem que ser múltiplo racional de π 
exp( jωo n ) ωo N = 2πm com m inteiro, ou seja 
com m e N inteiros, ou seja ωo tem que ser múltiplo racional de π 
E, com esta condição satisfeita, o período fundamental N é: 
em que m deve ser escolhido como o menor inteiro para resultar em um valor de N 
inteiro 
A frequência angular fundamental é igual a 2π/N 
Ou seja, a frequência ωo de uma exponencial complexa (ou cosseno) 
não é necessariamente a sua frequência fundamental , ela poderá ser 
a m-ésima harmônica da frequência fundamental. 
exp( jωo n ) 
A frequência angular fundamental é igual a 2π/N 
Exercício: qual o período fundamental do sinal cos(0,6πn) ? 
ωo = m.2π/N e 
Comparar 
com cos(0,2πn) 
exp( jωo n ) 
A frequência angular fundamental é igual a 2π/N 
Exercício: qual o período fundamental do sinal exp(j9πn/31) ? E do sinal exp(j2n) ? 
ωo = m.2π/N e 
Propriedade: se x(n) = soma de sinais com períodos fundamentais N1, N2 e N3, o 
período fundamental de x(n) será o mínimo múltiplo comum entre N1, N2 e N3. 
Exercício: se x(n)=exp(j2πn/3) + exp(j3πn/4) mostre que N1=3, N2=8 e então N=24 
(o sinal é então composto por uma terceira harmônica somada com uma oitava harmônica da frequência fundamental) 
cos(9πn/31) 
n= …, -2, -1, 0, 1, 2, …. 
Exponencial complexa 
Um sinal exponencial complexa, um cosseno, um seno, de tempo discreto, têm sua frequência 
sempre aumentando com o aumento de ω0 ? Não !! 
Portanto, basta tomar - π ≤ ωo < π 
Notar que exp( jωon+ ϕ) cos(ωon + ϕ) sen(ωon + ϕ) são sinais com período 2π em frequência ! 
 
n= …, -2, -1, 0, 1, 2, …. 
Cossenos amostrados, ligando TC com TD 
Seja x(t) = cos (ωot) t ϵ R e com ωo dado em rad/s 
x(nT) = cos (ωoTn) 
Definindo Ωo = ωoT (rad) ou Ωo = ωoT = 2π ωo /ωs (rad) 
 
x(nT) = cos (ωoTn) = cos (Ωon) = x[n] 
Ou seja, uma frequência angular de sinal de TD, Ω(rad), frequência normalizada, 
se relaciona com a frequência angular do sinal periódico de TC, ω(rad/s), pela relação: 
Ω = ωT = 2π ω /ωs (rad) 
Fica claro que, se |ω|< ωs/2 |Ω|< π  
Cossenos amostrados, ligando TC com TD 
Uma visão no domínio da frequência 
sem aliasing com aliasing 
(supondo que não há filtro PBx contra aliasing) 
Cossenos amostrados, ligando TC com TD 
Ωo = ωoT (rad) 
x(nT) = cos (ωoTn) = cos (Ωon) = x[n] 
 
 
Sistemas de tempo discreto e suas descrições 
Descrição por equação de diferenças 
exs: 
Descrição por resposta ao pulso unitário 
(condições iniciais tem que ser nulas) 
Propriedades de sistemas de tempo discreto (visão geral) 
Causalidade 
Estabilidade BIBO 
exs: 
Invariância no tempo 
Linearidade 
exs: 
exs: 
exs: 
exemplo de investimento bancário 
x(n)=0 e y(0)=depósito inicial, a=-1,001 
sim 
não 
s 
n 
s 
n 
s n 
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo - SLITs 
 (de tempo discreto) e a Soma de convolução 
 
Esta é a soma de 
convolução 
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo - SLITs 
 (de tempo discreto) e a Soma de convolução 
 
Exemplo: 
ou 
Em Matlab: x=A*ones(1,5); h=B*ones(1,4); y=conv(x,h); N=length(y); n=0:N-1; stem(n,y) 
+> 
Convolução entre dois sinais x1(n) e x2(n) 
(autor: Flávio Pavan) vide este exemplo no Moodle 
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo - SLITs 
 (de tempo discreto) e a Soma de convolução 
 
Fórmula útil (soma de uma PG): 
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo - SLITs 
 (de tempo discreto) e a Soma de convolução 
 
Fórmula útil (soma de uma PG): 
Exemplo: 
Propriedades de SLITs em função de h(n) 
Causalidade 
Estabilidade BIBO 
Associativa 
Distributiva 
Propriedades de SLITs em função de h(n) 
Duração da resposta ao pulso unitário 
IIR FIR 
SLITs e sua descrição por equações de diferenças 
Forma geral 
Forma algorítmica 
Supondo que desejemos 
obter a saída a partir 
de n=0, precisamos de 
condições iniciais 
y(-N), y(-N+1) … y(-1) 
para poder calcular o 
valor de y(0) 
Em geral, a forma geral acima, com coeficientes ak e bk não nulos para alguns valores de k 
 
resulta em um sistema IIR, sendo a equação de diferenças recursiva 
 
SLITs e sua descrição por equações de diferenças 
Vejamos um exemplo de primeira ordem: 
ou 
Se CI = 0 e 
Resposta ao pulso unitário é decrescente e de duração infinita 
(sistema IIR). 
 
 
 
Se na equação de diferenças houvesse um α ao invés de ½ então para |α|<1 h(n) seria decrescente (sistema 
estável), e crescente em caso contrário (sistema instável). Em ambos os casos teríamos um sistema IIR. 
Se na equação acima fizermos x(n)=0 e partirmos o sistema de uma CI y(0)=yo ≠ 0, 
temos a resposta a entrada nula igual a 
No caso de um investimento bancário (com |α|>1) , um primeiro investimento pode ser representado como o valor yo=K 
ou o valor do primeiro investimento ser atribuído à entrada em n=0 (como feito acima) mas partindo-se de CI=0. 
SLITs IIR e sua descrição por equações de diferenças 
Forma geral 
(notar recursão) 
ak ≠ 0 para k=0 e algum k≠0 
(não totalmente rigoroso) 
em Matlab: 
SLITs FIR e sua descrição por equações de diferenças 
Forma geral 
(notar que não há recursão) 
ex, filtro de média móvel 
(sem ponderação): 
e abaixo tomamos filtro causal 
para N=0 e M=2 
SLITs FIR e sua descrição por equações de diferenças 
Forma causal 
Se a entrada é um pulso unitário, a saída, por definição é a resposta ao pulso unitário h(n) 
e, então, da equação de diferenças acima tem-se: 
ou seja, 
Finalmente, 
que diz que a saída é a convolução da 
entrada com a resposta ao pulso unitário, 
algo que já sabíamos! 
ou seja,os coeficientes bn do filtro 
formam as amostras da resposta ao 
pulso unitário 
SLITs e representação por diagrama de blocos 
somador 
multiplicador por constante 
atrasador unitário 
Blocos básicos: 
Diagrama de blocos de SLITs FIR 
Equação de diferenças geral: 
 
 
Diagrama de blocos 
(convenções diferentes) 
ou 
(filtro “transverso”) 
Diagrama de blocos de SLITs IIR 
exemplo: 
 
 
exemplo: 
 
 
Veremos a seguir uma 
forma de se minimizar 
o número de atrasadores 
em um diagrama 
Diagrama de blocos de SLITs IIR 
Equação de diferenças geral: 
 
 
Implementação direta 
com a(0)=1 
ou 
Desvantagem: 
muitos atrasadores 
Diagrama de blocos de SLITs IIR 
Pela linearidade, podemos inverter a ordem de aplicação dos 2 sistemas: 
 
 
Diagrama de blocos de SLITs IIR 
Pela linearidade: 
 
 
Diagrama de blocos de SLITs IIR 
Caso M = N (e ao=1) 
Diagrama de blocos de SLITs IIR 
Caso M = N – 1 (e ao=1) 
 
	 
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