vs-calculoII

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UFF – Universidade Federal Fluminense 
Escola de Engenharia Industrial e Metalúrgica de Volta Redonda 
Disciplina: Cálculo II DATA 16/06/2014 
Prof. Emerson Souza Freire 
Nome do Aluno (letra forma): _________________________________ 
Assinatura do Aluno: ________________________________________ 
VS 
 
 
Questão 1 (2.0 pontos): 
Determine o limite se existir. Caso contrário, mostre que o limite não existe. 
 
a) 
( ) ( )
2 2
2 2, 0.0 2x y
x sen y
lim
x y→
+
+
 
b) 
( ) ( ) 2 2, 0.0
1
x y
lim xsen
x y→
 
 + 
 
 
Questão 2 (2.0 pontos): 
a) Dizemos que uma função de duas variáveis é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace 
 
2 2
2 2
0
f f
f
x y
∂ ∂
∆ = + =
∂ ∂
 
 
Verifique se as seguintes funções são harmônicas: 
 
i) ( ), cosx yf x y e seny e x= + 
ii) ( ), yf x y arctg
x
 =  
 
 
 
 
Questão 3: (Valor 3,0) Dada a integral 
1 1
3
0
1
x
I y dydx= +∫ ∫ : 
a) Esboce a região de integração. 
b) Inverta a ordem de integração. 
c) Calcule a Integral. 
 
 
 
Questão 4: (Valor 2,0) Calcule o volume do sólido W limitado superiormente pelo cone 
2 2z x y= + e inferiormente pelo paraboloide 2 2z x y= + . 
 
 
Questão 5:(Valor 1,0) Determine o volume do sólido interior à esfera 2 2 2 25x y z+ + = e exterior ao 
cilindro 2 2 9.x y+ =