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Fenômenos de Transporte III 
 
Aula 08 
Prof. Gerônimo 
7.2.2- Difusão com reação química heterogênea na superfície de uma 
partícula não-catalítica e não-porosa. 
Neste item admite-se que a superfície do sólido seja uma etapa da reação, 
sendo consumida ao longo do processo difusivo em regime pseudo-
estacionário. Um fenômeno que isso acontece é a combustão: o soluto-
reagente A difunde por uma camada gasosa inerte I, e reage quando em 
contato com a superfície do sólido. O produto da reação contradifunde em 
relação ao fluxo do reagente. A relação entre os fluxos do reagente e 
produto obedece a estequiometria da reação. 
 N
a
b
 N ; 0 N
bB sS aA 
ABS
(g)(s)(g)


r 
A 
t r 
Ri 
Rf 
r r 
B 
Em t = 0 Em t + t 
 bB sS aA 
(g)(s)(g)

yA0 yA 
S 
S I I 
A = reagente gasoso 
S = reagente sólido 
I = inerte 
B = Produto 
Exemplo 1: Uma partícula de carbono em forma de esfera queima no ar através da 
seguinte reação química: 
 N CO N O C 
2(g)2(g)2(g)2(g)(S)
 ( 1 ) 
A reação na superfície do carbono é descrita como sendo irreversível e de primeira 
ordem: 
 .Ck N R 
222 OSr,O
"
O
 ( 2 ) 
R 
r 
r 
NO2,r 
Considerando que o processo de transferência de massa ocorra em regime 
permanente e a T e P constante, determine o perfil de fração molar do oxigênio ( yO2 ) 
em função do raio da partícula esférica ( r ) e o fluxo molar do oxigênio na superfície 
da partícula de carbono. 
Solução: 
1- Considerando que a partícula tem geometria esférica, a equação da continuidade 
de transferência de massa em coordenadas esféricas é: 
( 3 ) 
2- Regime permanente; 
3- Fluxo radial (unidirecional); 
4- O meio difusivo não é reacional. 
A equação ( 3 ) torna-se: 
  0 Nr
rr
1
 
rA,
2
2



( 4 ) 
 R 
N
rsenθ
1
 
θ
)N senθ(
rsenθ
1
 
r
)Nr(
r
1
 
t
C
 '''
A
A,A,θrA,
2
2
A 















  
Seja a seguinte equação reacional: 
   
 N CO N O C 
B
2(g)
D
2(g)
B
2(g)
A
2(g)
C
(S)

( 5 ) 
Onde: (sólido) 0 N rC, 
 )(estagnado 0 N rB, 
 
 N N
produto
rD,
reagente
rA, 
( 6 ) 
( 7 ) 
( 8 ) 
A equação do fluxo total de A ( O2 ) no meio gasoso é: 
  N Ny 
dr
dy
C.D N 
rD,rA,A
A
ADrA,
 ( 9 ) 
Aplicando a equação ( 8 ) na equação ( 9 ), temos: 
  N Ny 
dr
dy
C.D N 
0 
rA,rA,A
A
ADrA, 

 
dr
dy
C.D N A
ADrA,
 ( 10 ) 
Substituindo a equação ( 10 ) na equação ( 4 ), temos: 
 0 
dr
dy
C.Dr
rr
1
 A
AD
2
2









( 11 ) 
Considerando T e P constantes  C (gás ideal) e DA,D são constantes. A equação ( 11 ) fica: 
 0 
dr
dy
r
dr
d
 A2 




 ( 12 ) 
Condições de contorno: 
CC1: Para r → , yA = 0,21 ( 21% molar de O2) 
CC2: Para r = R, RA
״ = NA,r = -ksCyA  yA = -NA,r/ks.C 
 
O sinal negativo para o fluxo indica a contradifusão do O2 (reagente A ) em relação ao produto 
formado (CO2). 
Para obter o perfil da distribuição do reagente A no ar, devemos integrar e resolver a 
equação diferencial ( 12 ). 
 
r
dr
C dy C 
dr
dy
r 
 0 
dr
dy
r
dr
d
 
21A1
A2
A2









 C 
r
C
 y 
2
1
A
 ( 13 ) 
Aplicando as condições de contorno na equação ( 13 ), temos: 
 
CC1: Para r → , yA = 0,21 ( 21% molar de O2) 

 C 
C
 0,21 2
0 
1 



 0,21 C 2 
( 14 ) 
CC2: Para r = R, RA
״ = NA,r = -ksCyA  yA = -NA,r/ks.C 
0,21 
R
C
 C 
R
C
 
C.k
N
 12
1
s
rA,  
C.k
R.N
 R.0,21 C 
s
rA,
1 
( 15 ) 
Substituindo ( 14 ) e ( 15 ) em ( 13 ), temos: 
 0,21 
C.k
N
r
R
 
r
R
21,0 y 
s
rA,
A 












 0,21 
C.k
N
r
R
 21,0 y 
s
rA,
A 











 ( 16 ) Solução parcial 
A equação ( 16 ) é uma solução parcial, pois o fluxo NA,r é função do raio da partícula. 
Considerando que o fluxo total seja constante em r = R, temos que: 
) esfera da Área x ( constante N N 
R r rA,rA,


 constante .NR 4π .Nr 4π 
R r rA,
2
rA,
2 

( 17 ) 
Multiplicando a equação ( 10 ) pela área da esfera: 
dr
dy
C.Dr 4π .NR 4π .Nr 4π
) r 4π x ( 
dr
dy
C.D N 
A
AD
2
constante
R r rA,
2
rA,
2
2A
ADrA,


  
  C.Sk
R r rA,
N
 Ay
0,21 AyAAD
R r 
 r 
R r rA,
2
C.Sk
R r rA,
N
 Ay
0,21 Ay
AAD
R r 
 r 
2R r rA,
2
A
AD
2
R r rA,
2
yC.D 
r
1
.NR
dyC.D 
r
dr
.NR
 
dr
dy
C.Dr .NR 



















 
.0,21C.D 
k
D
 RN
21,0.C.D 
k
.ND
 .NR
0,21 
C.k
N
C.D 
R
1
.NR
0,21 
C.k
N
C.D 
1
 
R
1
.NR
AD
s
AD
R r rA,
AD
S
R r rA,AD
R r rA,
S
R r rA,
ADR r rA,
2
S
R r rA,
ADR r rA,
2









































 
k
D
 R
 .0,21C.D
 N 
s
DA,
AD
R r rA,









( 18 ) 




























































































AD
s
A
ADs
AD
A
s
AD
s
AD
A
s
AD
s
AD
A
D
R.k
 1
1
 1
r
R
 0,21. 21,0 y
D Rk
0,21.D
 21,0
r
R
 21,0 y
0,21 
k
D
 R.k
21,0.D
r
R
 21,0 y
 0,21 
k
D
 RC.k
21,0.C.D
r
R
 21,0 y 
Substituindo ( 18 ) em ( 16 ), fica: 
 
D
R.k
 1
1
 1
r
R
 121,0 y 
AD
s
A
































( Solução final ) ( 19 ) 
kS em cm/s (1
0 ordem); DAD em cm
2/s; R em cm 
7.2.3- Difusão intraparticular com reação química heterogênea 
Quando um sólido poroso apresenta sua área interna (na ordem de 30m2/g 
ou superior) maior ou da mesma magnitude do que a sua superfície externa, 
considera-se que o soluto, depois de atingir a superfície da partícula, 
difunda no interior desta para depois ser adsorvido e sofrer reação química 
nas paredes dos sítios ativos do catalisador, conforme ilustra a figura a 
seguir: 
7 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
1 - Difusão externa 
2 - Difusão interna 
3 - Adsorção química 
4 - Reação catalítica 
5 - Dessorção química 
6 - Difusão interna 
7 - Difusão externa 
Apesar de se tratar de reação química heterogênea descrita pela equação 
(1), o termo reacional irá aparecer como , em que “a” relaciona a 
superfície do poro por unidade de volume da matriz porosa na equação da 
continuidadede A, caracterizando um sistema pseudo-homogêneo. 
 bB sS aA (g)(s)(g) 
( 1 ) 
"
AaR
 N
a
b
 N ; 0 N ABS 
 ) homogêneo-pseudo sistema ( R aR '"A
"
A 
Exemplo 2: Uma corrente gasosa contendo um reagente “A” 
entra em contato com um catalisador de geometria esférica 
de raio R. Esta partícula está dentro de um reator catalítico. 
Nas imediações da partícula catalítica, a concentração do 
reagente “A” é CAS (moles/cm
3). A espécie “A” difunde 
através dos poros existentes no catalisador e converte no 
produto “B” através de uma reação irreversível e de 
primeira ordem no sítio ativo do mesmo. O produto “B” 
difunde no sentido contrário do reagente “A”. Determine o 
perfil de concentração do reagente “A” em função do raio 
da partícula considerando que o processo de transferência 
de massa ocorra em regime permanente e a temperatura e 
pressão constante. 
Poro do catalisador 
A B 
Reagente ( A ) Produto ( B ) 
 a.C.k R 
 B A 
As
'"
A 

a = área da superfície catalítica por unidade de volume do catalisador ( cm2/cm3 ) 
kS = constante de velocidade ( cm/s ) 
CA = concentração do reagente ( mol/cm
3 ) 
Solução: 
1- Considerando que a partícula catalítica apresenta geometria esférica, a equação da 
continuidade molar do reagente A em coordenadas esféricas é: 
 R 
N
rsenθ
1
 
θ
)N senθ(
rsenθ
1
 
r
)Nr(
r
1
 
t
C
 '''A
N.
A,A,θrA,
2
2
A
A




























   

( 1 ) 
0 
t
CA 


r
)N(r
r
1
 N.
rA,
2
2A 



As
'''
A .a.Ck R 
2- Considerando regime permanente: 
3- Considerando o fluxo unidirecional através do raio da partícula: 
4- Considerando que a reação ocorre dentro do poro do catalisador: 
A equação ( 1 ) reduz-se a: 
 .a.Ck 
r
)N(r
r
1
 As
rA,
2
2


 ( 2 ) 
O fluxo molar do soluto A no interior da matriz porosa é dado por: 
  N Ny 
dr
dy
C.D N rB,rA,A
A
efrA,  ( 3 ) 
Onde: 
 
Def = coeficiente de difusão efetiva D D pABef 

 ( 4 ) 
Onde: 
 
DAB = coeficiente de difusão de A em B; 
 p = porosidade do catalisador; 
  = tortuosidade do catalisador 
 B A s
k

 N N rA,rB, 
( 5 ) 
Substituindo ( 5 ) em ( 3 ), temos: 
 
dr
dy
C.D N AefrA, 
 
dr
dC
D N AefrA, 
ou: 
Substituindo ( 6 ) em ( 2 ), temos: 
( 6 ) 
 .a.Ck 
dr
dC
Dr
dr
d
 
r
1
 As
A
ef
2
2






Considerando T e P constantes  Def é constante. 
( 7 ) 
 
D
.a.Ck
r 
dr
dC
r
dr
d
 
ef
As2A2 




 ( 8 ) 
Denominando: 
 
D
.ak
 
ef
s2 
 
( 9 ) 
Substituindo ( 9 ) em ( 8 ), temos: 
 Cr 
dr
dC
r
dr
d
 A
22A2 




 ( 10 ) 
Condições de contorno: 
 
CC 1: Para r = R, CA = CAS ( na entrada do poro ) 
 
CC2: Para r = 0, CA = CA
* ( no centro da partícula catalítica ) 
Chamando: rC A  ( 11 ) 
 
r
 C A


( 12 ) 
 
r
dr
dr
 r 
dr
d
 
dr
dC
 
2
A


 
r
 r 
dr
d
 
dr
dC
 
2
A



( 13 ) 
Psi 
Substituindo ( 12) e ( 13 ) em ( 10 ), temos: 










































2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
 
dr
d
 r r 
dr
d
r 
dr
d
 
dr
d
 r 
dr
d
 
r r 
dr
d
dr
d
 
r
r 
r
 r 
dr
d
r
dr
d
 




 0 
dr
d
 2
2
2

  ( 14 ) 
A solução da equação diferencial ( 14 ), de 20 ordem e homogênea, é: 
 r)senh(C r)cosh(C 21   ( 15 ) 
Substituindo a equação ( 11 ) na equação ( 15 ), temos: 
 r)senh(C r)cosh(C rC 
21A
  ( 17 ) 
CC 1: Para r = R, CA = CAS ( na entrada do poro ) 
 R)senh(C R)cosh(C RC 
21AS
 ( 18 ) 
CC2: Para r = 0, CA = CA
* ( no centro da partícula catalítica ) 
 .0)senh(C .0)cosh(C 0.C 
0 
2
1 
1
0 
*
A 

 
 0 C 
1

( 19 ) 
 
D
.ak
 
ef
s ( 16 ) 
Substituindo ( 19 ) em ( 18 ), temos: 
 R)senh(C RC 2AS  
R)senh(
RC
 C AS
2 
 ( 20 ) 
Substituindo ( 19 ) e ( 20 ) em ( 16 ), temos: 
 r)senh(
R)senh(
RC
 0 rC 
2C
AS
1C
A 

 
R)senh(
r)senh(
r
R
 
C
C
 
AS
A








 ( 21 ) ( solução final ) 
7.3- Difusão em regime permanente com reação química homogênea 
Para regime permanente, fluxo unidirecional na direção z e reação 
química homogênea a equação da continuidade é: 
'''
AA
A R N. 
t
C


 

Seja a equação da continuidade molar: 
( 1 ) 
Iremos considerar o fenômeno da absorção química, conforme o desenho a seguir: 
'''
A
zA,
R 
dz
dN
 
'''
AA R N. 


 
Z = 0, CA = CA0 
 
Z = , CA = 0 
Gás A 
Líquido B 
 
 
 
NA,Z 
 
A + B  L 
Esse fenômeno trata do transporte de um soluto A da fase gasosa à fase 
líquida, acompanhado de reação química na fase líquida. Vamos supor que 
o gás A dissolve ao atingir a interface gás/líquido e difunde em um líquido 
reacional estagnado. Ao tempo de difundir-se, a espécie A sofre uma reação 
química irreversível na forma: A + B  L. 
O produto da reação não interfere na absorção de A por B. Para modelar 
o fenômeno, admite-se como hipóteses: 
1- A espécie A difunde desde a interface gás/líquido até o seu 
desaparecimento total ao atingir uma profundidade z =  na fase líquida. 
2- A concentração do gás A dissolvido é pequena quando comparada ao 
líquido B, ou seja, B está em excesso. 
3- Pelo fato de se tratar de uma solução líquida diluída e estagnada, 
admite-se a contribuição convectiva desprezível em face à difusiva. 
4- O produto da reação L é altamente solúvel no líquido, o que leva a não 
influenciar o curso do processo difusivo. 
Das hipóteses 2 e 3, o fluxo molar de A é dado pela equação: 
 
 zB,zA,AAABzA,
zB,zA,A
A
ABzA,
N N
C
C
 
dz
dC
C
C.D
 N 
N N x 
dz
dx
C.D N 


  N N
C
C
 
dz
dC
D N 
ldesprezíve
zB,zA,
AA
ABzA,
  

 
dz
dC
D N AABzA, 
( 2 ) 
De posse da hipótese 2 e da reação, A + B  L, tem-se uma reação química 
homogênea irreversível de pseudoprimeira ordem ( CB  CA ): 
 Ck R Av
'''
A 
( 3 ) 
Levando as equações (2) e (3) em (1), bem como considerando a 
temperatura e pressão constantes: 
 Ck 
dz
dC
D
dz
d
 Av
A
AB 





 0 C
D
k
 
dz
Cd
 A
AB
v
2
A
2
 ( 4 ) 
( 6 ) 
A solução da equação (4) é da forma: 
 z)senh(C z)cosh(C (z)C 
21A
 ( 5 ) 
Condições de contorno: 
 
CC1: em z = 0; CA = CA0 
 
CC2: em z = ; CA = CA = 0 
 
D
k
 
AB
v Fi 
Aplicando as condições de contorno na equação (5), obtêm-se: 
 C C 
A01

 
δ)tgh(
C
 C A0
2 

( 7 ) 
( 8 ) 
Substituindo as equações (7) e (8) na equação (5), obtêm-se: 
( 9 ) 
δ)tgh(
z)senh(
 z)cosh( 
C
(z)C
 
A0
A





 

 
δ)tgh(
z)senh( z)δ)cosh(tgh(
 
C
(z)C
 
A0
A





 
 

δ)senh(
z)δ)senh(cosh( z)δ)cosh(senh(
 
C
(z)C
δ)cosh(
δ)senh(
δ)cosh(
z)δ)senh(cosh( z)δ)cosh(senh(
 
C
(z)C
δ)tgh(
δ)cosh(
z)δ)senh(cosh( z)δ)cosh(senh(
 
C
(z)C
δ)tgh(
z)senh( z)cosh(
δ)cosh(
δ)senh(
 
C
(z)C
A0
A
A0
A
A0
A
A0
A


























 












 















 z)δ)senh(cosh( z)δ)cosh(senh( z)] (δsenh[  
 
δ)senh(
z)] δ(senh[
 
C
(z)C
 
A0
A

 
( 10 ) 
Para a situação em que a reação química é lenta, tem-se kv  0, portanto 
pela equação (6),   0. Aplicando o teorema de L’Hopital na equação 
(10) para esta condição, temos: 





 





 






 δcosh(0)
z)cosh[0] δ(
lim 
δ)senh(
z)] δ(senh[
lim 
C
(z)C
lim 
0 0 
A0
A
0  
 
δ
z
 1 
δ
z) δ(
 
C
(z)C
 
A0
A 

 

( 11 ) 
( Solução final para kv  0 ) 
( Solução final ) 
Exemplo 3: Um certo gás é dissolvido em um líquido B contido 
em uma proveta. Na medida em que A difunde ele sofre reação 
química na forma A + B  L, até desaparecer completamente 
depois de penetrar a uma distância  desde a interface 
gás/líquido. Considerando: 
(a) a cinética de reação é de ordem zero com respeito a A; 
(b) reação química lenta ( kV  0 ); 
(c) a concentração do gás A dissolvido é pequena se comparada 
ao do líquido B; 
(d) o produto da reação L é altamente solúvel no líquido, o que 
leva a não influenciar na difusão do soluto A; obtenha 
expressões para: 
• A distribuição da concentração molar de A; 
• O fluxo global molar de A na interface gás/líquido; 
• A concentração média molar de A. 
 
 
Z = 0, CA = CA0 
 
Z = , CA = 0 
Gás A 
Líquido B 
 
 
 
NA,Z 
 
A + B  L 
a) Cálculo da concentração molar CA em função de z. 
 R 
N
 
N
 
N
 
t
C
 '''
A
zA,yA,xA,A 
















zyx
( 1 ) 
0 
t
CA 


z




zA,
A
N
 N.
v
'''
A k R 
Considerar: 
 
Regime permanente: 
 
Fluxo de A somente na direção de z: 
 
Reação homogênea irreversível de ordem zero: 
Portanto, a equação ( 1 ) fica: 
 k 
d
dN
 
v
zA, 
z
( 2 ) 
O fluxo total do reagente A até na superfície do catalisador é:  
  N N
C
C
 
dz
dC
C
C.D
 N 
 N N x 
dz
dx
C.D N 
zB,zA,
AAAB
zA,
zB,zA,A
A
ABzA,


  N N
C
C
 
dz
dC
D N 
zB,zA,
AA
ABzA,
 ( 3 ) 
Considerando que a concentração do reagente A é muito pequena em relação ao 
reagente B no meio reacional, podemos desprezar a contribuição convectiva no 
fluxo molar de A. Assim, a equação ( 3 ) fica: 
 
dz
dC
D N A
ABzA,
 ( 4 ) 
Substituindo a equação ( 4 ) na equação ( 2 ), temos: 
 k 
dz
dC
D
d
d
 
 k 
dz
dC
D
d
d
 
v
A
AB
v
A
AB













z
z
Considerando T e P constantes, temos: 
AB
vA
D
k
 
dz
dC
d
d






z 
D
k
 
AB
v ( 5 ) 
 
d
Cd
 
2
A
2

z
( 6 ) 
Beta 
Integrando a equação ( 6 ) duas vezes, temos: 

















dzC zdz dC
C z 
dz
dC
dz 
dz
dC
d
 
dz
dC
d
d
1A
1
A
A
A




z
 C zC 
2
z
 C 
21
2
A
  ( 7 ) 
Condições de contorno: 
CC1: Para z = 0, CA = CA0 ( na interface gás/líquido ) 
 C .0C 0 . C 
21A0
  C C 
A02

( 8 ) 
CC2: Para z = , CA = 0 ( o soluto A é totalmente consumido ) 
 C δC 
2
δ
 β 0 
21
2

Substituindo ( 8 ) na ( 9 ), temos: 
( 9 ) 
 C δC 
2
δ
 β 0 
A01
2
 
2
δ 
 C 
δ
1
 C 
2
A01 







( 10 ) 
Como se trata de reação química lenta, kv  0, como conseqüência   0 e a 
equação ( 11 ) torna-se: 
 
δ
z
 1C C 
A0A 





 ( 12 ) 
Substituindo as equações ( 8 ) e ( 10 ) na ( 7 ), temos: 
 C z
2
δ 
 C 
δ
1
 
2
z
 C 
A0
2
A0
2
A







( 11 ) 
( solução final ) 
b) Cálculo do fluxo molar NA,z na superfície gás/líquido ( z = 0 ). 
 
O fluxo molar de A é obtido pela equação ( 4 ): 
 
dz
dC
D N A
ABzA,
 ( 4 ) 
Derivando a equação ( 11 ) em relação a z, temos: 
 
2
δ 
 C 
δ
1
 z 
dz
dC
 
2
A0
A









( 13 ) 
Como se deseja conhecer o fluxo de A na interface gás/líquido, ou seja, em z = 0, temos: 
 
2
δ 
 C 
δ
1
 
dz
dC
 
2
A0
0 z
A











( 14 ) 
Substituindo a equação ( 14 ) na ( 4 ) para o fluxo de A em z = 0, temos: 
 δ 
2
1
 C
δ
D
 N 2A0
AB
0 zzA,








( 15 ) 
Como se trata de reação química lenta, kv  0, como conseqüência   0 e a equação 
( 15 ) torna-se: 
 
δ
CD
 N A0AB
0 zzA,


( 16 ) 
c) Cálculo da concentração molar média de A. 
 
dz
dzC
 C 
 z
0 z
 z
0 z
A
A








( 17 ) 
Substituindo a equação ( 11 ) na ( 17 ), temos: 
 
dz
dz C z
2
δ 
 C 
δ
1
 
2
z
 
 C 
 z
0 z
 z
0 z
A0
2
A0
2
A
























 


 zC 
2
δ 
 C 
2δ
z
 
6
z
 
δ
1
 C 
δ z
0 z
A0
2
A0
23
A



















 
6
δ 
 C 
2
1
 C 
2
A0A 






( 18 ) 
Como se trata de reação química lenta, kv  0, como conseqüência   0 e a equação 
( 18 ) torna-se: 
 
2
C
 C A0A  ( 19 )