Equações Diferenciais Aula 03 EDO 1ª ordem Lineares (1)

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Equações Diferenciais - Aula 03 – EDO de 1ª Ordem: Lineares 
Atenção: Esta nota de aula aborda, de maneira resumida, conceitos e técnicas matemáticas que julgo serem os aspectos mais 
centrais e/ou aqueles em que estudantes de equações diferenciais mostraram maior dificuldade de entendimento. Desta 
maneira, minha sugestão para uma boa compreensão da disciplina seja primeiro fazer uma leitura do conteúdo do livro texto 
referente a esta aula, conforme descrito no documento que está no “site” da disciplina - “Roteiro de Estudos” - e depois estude 
o conteúdo desta nota de aula. Você também pode testar fazer o caminho inverso. Estude o conteúdo desta nota de aula e 
depois estude a seção correspondente do livro texto. Experimente os dois procedimentos para decidir qual deles melhor 
contribui para o seu entendimento do conteúdo. Anote suas dúvidas para poder esclarecê-las posteriormente com o professor. 
Uma boa compreensão de qualquer disciplina sempre envolve a leitura de um livro cuidadosamente elaborado e testado por 
várias edições do livro para este fim. 
 
1. EDO de 1ª Ordem 
 
Já estudamos as equações de primeira ordem: 
 
(i) Separáveis: 
Vamos dar continuidade ao estudo das EDO de 1ª ordem, considerando as equações lineares. 
(ii) Lineares: 
 
Uma EDO linear de primeira ordem pode ser representada pela seguinte expressão, 
 
 . 
 
Na equação acima, e são quaisquer funções apenas da variável independente . Observe que, para 
a equação diferencial ser uma equação linear na variável dependente , tanto a função quanto a sua 
primeira derivada, , aparecem na equação com expoente 1, por isso são estas equações chamadas de 
lineares na variável independente. A função e sua primeira derivada não podem aparecer com termos em cada 
parcela da EDO do tipo ou etc..., pois estas funções não são lineares na 
variável . Também não podem aparecer parcelas em que apareçam produtos entre a função e a derivada 
primeira, ou seja, , pois a EDO deixaria de ser linear na variável . Nas EDO lineares as funções e só 
podem aparecer em parcelas em que sejam multiplicadas por funções apenas da variável independente . 
 
Observe novamente a equação acima e identifique estas características da EDO linear de primeira 
ordem. Analise os exemplos abaixo, identificando a razão pela qual uma EDO é não linear e a outra é linear. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 É usual classificar as equações lineares como sendo homogêneas ou não homogêneas. As equações 
homogêneas são aquelas em que a função é nula, ou seja, . Caso seja uma função não nula, 
ou seja, , a EDO linear é uma equação não homogênea. 
 
 Quando a EDO é linear e homogênea, percebe-se que a equação pode ser resolvida por separação de 
variáveis, o que fora aprendido na aula anterior. Observe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Para entender o método que vamos desenvolver para a resolução das EDO lineares não homogêneas, 
considere resolver primeiro a seguinte equação: 
 
 
 
Esta equação é linear, mas não é separável (entenda este fato na equação proposta). No entanto é 
possível identificar que o lado esquerdo da EDO é a derivada do produto da função pela função . Ou seja: 
 
 
 
 
 
Desta maneira a equação diferencial pode ser reescrita na forma 
 
 
 
 
 
 
Para resolver a EDO, basta integrar os dois lados da equação em relação à variável , uma vez que é 
conhecida a relação entre a derivada de uma função e a integral: 
 
 
 . Resolvendo a EDO desde 
o início, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A resolução da EDO acima sugere uma técnica para encontrar a solução geral, a qual seria tentar 
escrever o lado esquerdo da EDO linear e não homogênea, como a derivada do produto. Assim, o método de 
resolução envolve primeiramente encontrar uma função que deve ser multiplicado por toda equação 
diferencial. Depois de ser multiplicado pela função o lado esquerdo da EDO linear, deve ser igual a 
derivada do produto de , para que a EDO se torne uma equação integrável. Por esse motivo, a 
função é chamada de fator integrante da equação diferencial. 
 
Para determinar o fator integrante, a equação diferencial deve estar escrita na forma 
 . O fator integrante é dado pela fórmula 
 
 
 
Resolve-se a equação diferencial com o fator integrante encontrado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Você pode verificar que a expressão do fator integrante envolve a exponencial de uma integral 
exatamente porque estamos forçando que a função quando multiplicada pela equação diferencial 
transforme o lado esquerdo da EDO na derivada do produto. Ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo: Resolver a equação diferencial 
 
- Primeiro verifica-se se a EDO é linear. A EDO é linear, pois são fatores lineares e estão multiplicados 
apenas por funções de : 
- Depois, deve-se reescrevê-la na forma e identificar a função 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Encontrar o fator integrante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Multiplicar toda a EDO pelo fator integrante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Interpretar o lado esquerdo da EDO como a derivada do de e integrar os dois lados da equação Exemplo: Resolver o PVI: 
 
- A equação diferencial tem solução geral: 
- Usando a condição inicial: 
- A solução particular para o PVI é: