Aula 3 - Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem - Teoria

Prévia do material em texto

Equações Diferenciais e Séries 
Professor Hans 
Aula 3: Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem - Teoria 
 
Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem 
 
A forma geral para uma equação 
diferencial linear de ordem n como, 
 
 
1
1 1 01
( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )
n n
n nn n
d y d y dy
a x a x a x a x y g x
dx dx dx

 
    
 
 
A linearidade significa que todos os 
coeficientes são funções de x somente e que y 
e todas suas derivadas são elevadas à primeira 
potência. Agora, quando 
1n 
, obtemos uma 
equação linear de primeira ordem: 
 
 
1 0( ) ( ) ( )
dy
a x a x y g x
dx
 
 
 
 
Dividindo pelo coeficiente 
1( )a x
, 
obtemos uma forma mais útil de uma equação 
linear 
 
( ) ( )
dy
P x y f x
dx
 
 
 
Que é conhecida por uma equação 
diferencial linear de 1ª ordem, onde P e f são 
funções dadas, contínuas e definidas num 
mesmo intervalo I. Nesse caso, tanto a 
variável dependente como sua derivada 
ocorrem com grau 1. 
 
 
 
 
 
 
 
Método Resolutivo 
 
1º) Para resolver uma equação linear de 
primeira ordem, primeiro coloque-a na forma: 
 
( ) ( )
dy
P x y f x
dx
 
 
 
Ou seja, faça com que o coeficiente de 
dy
dx
 seja unitário. 
 
2º) Identifique 
( )P x
 e encontre as 
integrais 
 
( )P x dx 
e 
( )
( )
P x dx
f x e dx
 
 
3º) Se a equação tiver solução ela será da 
forma: 
 
 
( ) ( ) ( )
( )
P x dx P x dx P x dx
y ke e f x e dx
      k