Prova 1ºEE

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UFPE - A´lgebra Linear: 1a Avaliac¸a˜o- 2011.1
As respostas somente sera˜o aceitas com justificativa.
Na˜o e´ permitido qualquer tipo de consulta.
Questa˜o 1. Considere a matriz abaixo, onde a e b sa˜o nu´meros reais, como a
matriz ampliada de um sistema linear.


1 −2 3 −1
1 −3 −1 b
−2 5 a 1


a) (1.0) Determine para que valores de a e b o sistema na˜o possui soluc¸a˜o.
b) (1.0) Resolva o sistema para a = −2 e b = 0. Determine a nulidade da
matriz de coeficientes.
Questa˜o 2. Sejam as matrizes B =


1 0 1
0 2 0
1 0 3


e C =


3 0 1
0 2 0
1 0 1


.
a) (0.5) Ache os determinantes de B, C e BC.
b) (0.5) Determine se BC e´ invers´ıvel.
c) (1.0) Obtenha a inversa de BC, se invers´ıvel.
Questa˜o 3. Seja U = {(x, y, z) ∈ R3 / x+ y = 0}
a) (0.5) Mostre que U e´ subespac¸o do R3.
b) (1.0) Encontre uma base para U .
c) (0.5) Complemente esta base para uma base do R3.
Questa˜o 4. Considere U e W os subespac¸os de R4 definidos abaixo:
U = {(x, y, z, t) ∈ R4 / x+ y − z + 2t = 0} e
W = [(0, 1,−1,−1), (0, 1, 1, 0), (0, 3,−1,−2)].
a) (1.5) Determine bases para U e W , e indique as dimenso˜es.
b) (1.5) Determine as dimenso˜es de U ∩W e U +W .
Questa˜o 5. Seja V = P2 = {a0 + a1x + a2x
2 | ai ∈ R, i = 1, 2, 3} e β =
{1 + t, 1 + t+ t2, t+ t2} uma base de V .
a) (0.5) Determine para p(t) = t2 suas coordenadas na base β, isto e´ [p(t)]β .
Preprint submitted to Elsevier 8 de abril de 2011
b) (0.5) Dadas as coordenadas [q(t)]β =


1
−1
1


escreva explicitamente q(t).
Boa prova!!!