AD2 Questão 4 2018 2 Gabarito Métodos Determinísticos I

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
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Gabarito da Questa˜o 4 da AD 2 – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-2
Questa˜o 4 (2,5 pontos) No sistema abaixo, a e´ um nu´mero real constante, escolhido de forma
que o sistema admita, em sua soluc¸a˜o, apenas um valor para y:{
x2 + 2y − 2 = 0
x2 + y2 + y = a.
Nestas condic¸o˜es,
(a) Determine o valor de a. Dica: tente encontrar o valor de y e estude a equac¸a˜o quadra´tica que
aparecera´.
(b) Com o valor de a obtido no item (a), deˆ o valor de y.
(c) Com o valor de a obtido em (a), determine o(s) ponto(s) (x, y) que sa˜o soluc¸a˜o do sistema
Soluc¸a˜o:
(a) Pela primeira equac¸a˜o, temos
x2 + 2y − 2 = 0 ∴ x2 = −2y + 2.
Substituindo x2 na segunda igualdade, temos, portanto
(−2y + 2) + y2 + y = a ∴ y2 − y − a + 2 = 0.
Para que esta equac¸a˜o tenha apenas uma soluc¸a˜o, isto e´, seja satisfeita por apenas um valor de
y, devemos ter ∆ = 0, isto e´,
(−1)2 − 4(1)(−a + 2) = ∆ = 0 ∴ 1 + 4a− 8 = 0 ∴ a = 7
4
.
(b) Para a =
7
4
, utilizando a u´ltima equac¸a˜o obtida acima, temos
y2 − y − 7
4
+ 2 = 0 ∴ y2 − y + 1
4
= 0 ∴ y = −(−1)±
√
0
2 · 1 ∴ y =
1
2
.
(c) Para y =
1
2
, temos
x2 = −2y + 2 ∴ x2 = −2 · 1
2
+ 2 ∴ x2 = 1 ∴ x = −1 ou x = 1.
Assim, os pontos que satisfazem o sistema sa˜o
(
−1, 1
2
)
e
(
1,
1
2
)
.