Prova com Gab - 1ºEE

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA 2
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 4
GABARITO DO PRIMEIRO EXERC´ICIO ESCOLAR
PRIMEIRO SEMESTRE DE 2010
12 de abril de 2010
1a Questa˜o: Resolva as seguintes equac¸o˜es diferenciais:
(a) (5x− y)dx+ 3xdy = 0. (2,0 pt.)
(b)
(
2xy2
(1− 2x2)2 − 1
)
dx+
(
y
1− 2x2 − e
y
)
dy = 0. (2,0 pt.)
Soluc¸a˜o: (a) A equac¸a˜o pode ser reescrita na forma y′ − 1
3x
y = −5
3
, que e´ uma equac¸a˜o
linear. O fator integrante e´ dado por:
exp(
∫
− 1
3x
dx) = exp(−1
3
∫
1
x
dx) = exp(−1
3
lnx) = exp(ln x−
1
3 ) = x−
1
3 .
Desse modo, apo´s multiplicar a equac¸a˜o pelo fator integrante, a equac¸a˜o dada se
transforma em, (
x−
1
3y
)′
= −3
5
x−
1
3 .
Assim,
x−
1
3y =
∫
−3
5
x−
1
3dx+ C = −5
2
x
2
3 + C,
logo,
y = −5
2
x+ Cx
1
3 .
(b) Mostremos inicialmente que a equac¸a˜o dada e´ do tipo exata.
M =
2xy2
(1− 2x2)2 − 1 ∴ My =
4xy
(1− 2x2)2
N =
y
1− 2x2 − e
y ∴ Nx =
4xy
(1− 2x2)2 ,
portanto My = Nx, e a equac¸a˜o e´ de fato exata. Enta˜o, a soluc¸a˜o desta equac¸a˜o
e´ da forma Φ(x, y) = C, com a func¸a˜o Φ satisfazendo Φx = M e Φy = N .
Temos enta˜o:
Φ(x, y) =
∫
N(x, y)dy+α(x) =
∫ (
y
1− 2x2 − e
y
)
dy+α(x) =
y2
2(1− 2x2)−e
y+α(x).
Enta˜o, M =
2xy2
(1− 2x2)2 − 1 = Φx =
2xy2
(1− 2x2)2 + α
′(x), donde α′(x) = −1, ou
seja, α(x) = −x. Assim, Φ(x, y) = y
2
2(1− 2x2) − e
y − x, e a soluc¸a˜o da equac¸a˜o e´
�
�
�
�
�
�
�
y2
2(1− 2x2) − e
y − x = C.
2a Questa˜o: Dada a equac¸a˜o diferencial ydx+(2x−yey)dy = 0, ache um fator integrante para
a mesma, e verifique, apo´s multiplicac¸a˜o pelo fator encontrado, que a equac¸a˜o
resultante e´ de fato exata. (Na˜o e´ necessa´rio resolver a equac¸a˜o!!!) (2,0 pts)
Soluc¸a˜o: Vimos em classe que afora raras excec¸o˜es, os casos em que podemos calcular um
fator integrante para uma equac¸a˜o na˜o exata, com facilidade, sa˜o os casos em
que a equac¸a˜o admite um fator integrante que depende so´ da varia´vel x, ou so´
da varia´vel y. No primeiro caso, a expressa˜o
My −Nx
N
depende apenas de x, e o
fator integrante µ = µ(x) e´ dado por
µ′
µ
=
My −Nx
N
, e, no outro caso,
Nx −My
M
depende apenas de y, e o fator integrante µ = µ(y) e´ dado por
µ′
µ
=
Nx −My
M
.
No caso em questa˜o, M = y e N = 2x− yey, portanto Nx −My
M
=
1
y
, e portanto
temos um fator integrante dependendo apenas da varia´vel y, e e´ dado por
µ′
µ
=
1
y
,
e portanto µ(y) = y e´ um fator integrante para a equac¸a˜o dada. E´ imediato
verificar que a equac¸a˜o obtida da equac¸a˜o dada por multiplicac¸a˜o por µ(y) = y,
y2dx+ (2xy + y2ey)dy = 0,
e´ de fato exata.
3a Questa˜o: Determine as trajeto´rias ortogonais da famı´lia y = Cx3. (2,0 pts)
Soluc¸a˜o: Inicialmente determinemos a equac¸a˜o diferencial que tem como soluc¸a˜o a famı´lia
dada. Derivando a famı´lia temos: y′ = 3Cx2, donde, xy′ = 3Cx3, e portanto,
xy′ = 3y. Trocando nesta u´ltima equac¸a˜o, y′ por −1/y′ obtemos − x
y′
= 3y, ou
seja, 3yy′ = −x. Resolvendo esta equac¸a˜o diferencial obtemos: 3
2
y2 = −x
2
2
+C1,
ou seja,
x2 + 3y2 = K, (K = 2C1).
4a Questa˜o: Dado o problema de valor inicial 4y′′ − y = 0, y(0) = 2, y′(0) = a, a ∈ R,
(a) Encontre a soluc¸a˜o y(x) deste problema; (1,0 pt.)
(b) Determine o valor de a para que lim
x→∞
y(x) = 0. (1,0 pt.)
Soluc¸a˜o: (a) O polinoˆmio caracter´ıstico desta equac¸a˜o diferencial e´ 4λ2 − 1, e suas ra´ızes
sa˜o r1 = 1/2 e r2 = −1/2, donde a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial dada e´
y = C1e
x/2 + C2e
−x/2. Usando as condic¸o˜es iniciais teremos que C1 + C2 = 2 e
C1−C2 = 2a, o que nos da´ C1 = 1+a e C2 = 1−a. Enta˜o a soluc¸a˜o do problema
de valor inicial dado e´:
y = (1 + a)ex/2 + (1− a)e−x/2.
(b) Vemos na soluc¸a˜o em (a) que se a 6= −1 a primeira parcela tende para ∞
quando x → ∞, e que a segunda parcela tende para 0. Logo, se a = −1 a
primeira parcela se anula e a segunda tendo para 0 quando x→∞.