AP3 GAI 2018.1 Gabarito

Prévia do material em texto

Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP3 – Geometria Anal´ıtica I – 2018.1
Considere a reta r : 3x+ 4y = 13 para responder a`s questo˜es 1, 2, 3 e 4.
Questa˜o 1 (1,0 ponto): Encontre um vetor ~u paralelo e um vetor ~v perpendicular a` reta r.
Questa˜o 2 (0,5 ponto): A reta r e´ crescente ou decrescente? Por queˆ?
Questa˜o 3 (1,0 ponto): Determine a equac¸a˜o cartesiana da reta s1 que passa pelo ponto A = (6, 4)
e e´ perpendicular a` reta r.
Questa˜o 4 (1,0 ponto): Determine as equac¸o˜es parame´tricas das retas s2 e s3 que sa˜o paralelas
a reta r e distam 5 da reta r.
Soluc¸a˜o:
(1) Como 3x + 4y = 13 e´ a equac¸a˜o cartesiana da reta r, o vetor ~v = (3, 4) e´ perpendicular a r e
portanto ~u = (−4, 3) e´ paralelo a r.
(2) Para determinar se a reta r e´ crescente ou decrescente, encontraremos a equac¸a˜o reduzida da
reta r:
3x+ 4y = 13⇐⇒ 4y = −3x+ 13⇐⇒ y = −34x+
13
4 .
Como o coeficiente angular de r e´ −34 < 0, a reta r e´ decrescente.
(3) Se s1 ⊥ r, enta˜o s1 ‖ ~v = (3, 4) e s1 ⊥ ~u = (−4, 3). Logo, s1 e´ da forma
−4x+ 3y = c,
para algum c real. Como A = (6, 4) ∈ s1 temos
−4 · 6 + 3 · 4 = c⇐⇒ −12 = c.
Portanto s1 : −4x+ 3y = −12.
(4) Como s2, s3 ‖ r, enta˜o s2, s3 ⊥ ~v = (3, 4), o que implica que s2 e s3 sa˜o da forma:
s2, s3 : 3x+ 4y = c,
onde c assumira´ um valor real diferente para cada reta. Como d(s2, r) = 4 temos
|c− 13|√
32 + 42
= 4⇐⇒ |c− 13| = 20⇐⇒ c = 33 e c = −7.
Portanto, 3x+ 4y = −7 e 3x+ 4y = 33 sa˜o as equac¸o˜es cartesianas de s2 e s3, respectivamente.
Para determinar as equac¸o˜es parame´tricas de s2 e s3, basta notar que o vetor ~u = (−4, 3) e´ paralelo
as retas s2 e s3. Ale´m disso, o ponto (1,−5/2) ∈ s2 e o ponto (1, 15/2) ∈ s3. Logo temos as
seguintes equac¸o˜es parame´tricas:
s2 :
{
x = −4t+ 1
y = 3t− 52
; t ∈ R e s3 :
{
x = −4t+ 1
y = 3t+ 152
; t ∈ R.
Geometria Anal´ıtica I AP3 2
Considere a coˆnica C dada por suas equac¸o˜es parame´tricas
C :
{
x = t3
y = t6 − 4t3 ; t ∈ R
para responder a`s questo˜es 5, 6 e 7.
Questa˜o 5 (1,0 ponto): Verifique que C sa˜o equac¸o˜es parame´tricas de uma para´bola.
Questa˜o 6 (1,0 ponto): Encontre todos os elementos da coˆnica C (centro, ve´rtice, foco, diretriz
e retas focal).
Questa˜o 7 (1,0 ponto): Fac¸a um esboc¸o da coˆnica C contendo todos os seus elementos em um
sistema de eixos coordenados OXY .
Soluc¸a˜o:
(5) Repare que a equac¸a˜o y = t6 − 4t3 pode ser escrita da forma
y = (t3)2 − 4(t3).
Substituindo x = t3 na equac¸a˜o de y encontrada anteriormente temos
y = x2 − 4x⇐⇒ y + 4 = (x− 2)2,
que e´ a equac¸a˜o de uma para´bola.
(6) A partir da equac¸a˜o da para´bola encontrada na questa˜o anterior, temos:
• p = 14 ;
• reta focal: x = 2;
• ve´rtice: V = (2,−4);
• foco: F = (2,−4 + 1/8) = (2,−15/8);
• ass´ıntota: ` : y = −4− 1/4 = −17/4.
(7) O esboc¸o da para´bola C pode ser visto na figura 1.
Questa˜o 8 (1,5 pontos): Seja r a reta paralela ao vetor ~v = (3, 2) e que passa pelo ponto
A = (3, 1). Encontre a a´rea do triaˆngulo cujos ve´rtices sa˜o P = (−1,−1), Q e R, sendo Q e R os
pontos de intersec¸a˜o de r com os eixos OX e OY .
Soluc¸a˜o:
Se ~v = (3, 2) e´ uma vetor paralelo a` reta r, enta˜o ~u = (2,−3) e´ um vetor perpendicular a` reta r.
Logo, r e´ da forma
2x− 3y = c,
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Geometria Anal´ıtica I AP3 3
Figura 1: Para´bola C.
para algum c real. Como A = (3, 1) e´ um ponto da reta r, temos que A satisfaz a equac¸a˜o da reta
r, e assim
2 · 3− 3 · 1 = c⇐⇒ c = 3.
Portanto, a equac¸a˜o da reta r e´ 2x− 3y = 3.
Com a equac¸a˜o da reta r, podemos encontrar sua intersec¸a˜o com os eixos OX e OY substituindo
y = 0 e x = 0, respectivamente, na equac¸a˜o de r. Fazendo y = 0, encontramos x = 3/2 e assim
Q = (3/2, 0). Agora, fazendo x = 0, obtemos y = −1, e assim, R = (0,−1).
Como P = (−1,−1), Q = (3/2, 0) e R = (0,−1), enta˜o −→PQ = (5/2, 1) e −→PR = (1, 0). Logo,
utilizando a fo´rmula para ca´lculo da a´rea do triaˆngulo atrave´s de vetores, temos:
Area(PQR) = 12
√
‖−→PQ‖2 · ‖−→PR‖2 −< −→PQ,−→PR >2
= 12
√
29
4 −
25
4
= 12 .
Questa˜o 9 (2,0 pontos): Esboce a regia˜o R do plano representada pelo seguinte sistema de
inequac¸o˜es:
R :

x2 + y2 > 4
x2
4 −
y2
16 < 1
y ≤ 2x
,
e identifique as curvas que delimitam a regia˜o R.
Observac¸a˜o: Na˜o se esquec¸a de fazer o esboc¸o em um sistema de eixos coordenados OXY e de marcar os
pontos de intersec¸a˜o entre as curvas que delimitam a regia˜o .
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Geometria Anal´ıtica I AP3 4
Soluc¸a˜o:
(9) Queremos encontrar a regia˜o R dada pela intersec¸a˜o das regio˜es R1, R2 e R3, onde
R1 : x2 + y2 > 4,
R2 : x
2
4 −
y2
16 < 1,
R3 : y ≤ 2x.
A regia˜o R1 e´ limitada pela curva C1 : x2 + y2 = 4, que e´ um c´ırculo centrado na origem e raio
2. Este c´ırculo divide o plano em duas partes (uma interior e outra exterior ao c´ırculo), sendo uma
delas a regia˜o R1. Para descobrir qual regia˜o e´ a procurada, vamos substituir as coordenadas de um
ponto pertencente a umas das regio˜es para verificar se ele pertence a regia˜o. Vejamos se o ponto
(0, 0) pertence a regia˜o R1:
02 + 02 > 4⇐⇒ 0 > 4.
Como 0 < 4, a regia˜o que procuramos na˜o e´ a que conte´m (0, 0), ou seja, e´ a exterior ao c´ırculo. E
tambe´m podemos notar que o c´ırculo na˜o pertence a` regia˜o R1.
A regia˜o R2 e´ limitada pela curva C2 : x
2
4 −
y2
16 = 1, que e´ uma hipe´rbole centrada na origem cuja
reta focal coincide com o eixo OX, ve´rtices sa˜o (2, 0) e (−2, 0), e ve´rtices imagina´rios sa˜o (0, 4)
e (0,−4). C2 divide o plano em duas partes, sendo uma contendo o centro da hipe´rbole e a outra
contendo seus focos(formada por duas regio˜es). Vejamos enta˜o se a regia˜o R2 conte´m o centro da
hipe´rbole. Substituindo as coordenadas (0, 0) do centro de C2 na inequac¸a˜o x
2
4 −
y2
16 < 1 obtemos:
02
4 −
02
16 < 1⇐⇒ 0 < 1.
Como 0 < 1, conclu´ımos que o centro da hipe´rbole pertence a regia˜o procurada. Tambe´m podemos
ver que a hipe´rbole C2 na˜o pertence a` regia˜o R2.
A regia˜o R3 e´ limitada pela curva C3 : y = 2x, que e´ uma reta crescente que passa pela origem.
E´ fa´cil ver que esta reta e´ uma das ass´ıntotas da hipe´rbole C2 e portanto, na˜o intercepta a reta C3.
A reta C3 divide o plano em duas regio˜es, sendo uma delas a regia˜o R3. Para descobrir qual regia˜o
e´ a procurada, vamos substituir as coordenadas de um ponto pertencente a umas das regio˜es para
verificar se ele pertence a regia˜o. Vejamos se o ponto (2, 0) pertence a regia˜o R3:
0 ≤ 2 · 2⇐⇒ 0 ≤ 4.
Como 0 ≤ 4, a regia˜o que procuramos e´ a que conte´m (2, 0). E tambe´m podemos notar que a reta
pertence a` regia˜o R3.
Para finalizar, precisamos encontrar os pontos de intersec¸a˜o P1 e P2 entre as curvas C1 e C3. Para
isso e´ necessa´rio resolver o seguinte sistema:{
x2 + y2 = 4
y = 2x.
Resolvendo o sistema acima encontramos os pontos P1 =
(
2√
5 ,
4√
5
)
e P2 =
(
− 2√5 ,− 4√5
)
, que esta˜o
marcados na figura acima.
Como ja´ foi dito anteriormente, na˜o existe intersec¸a˜o entre C2 e C3, pois C3 e´ ass´ıntota da hipe´rbole
C2.
Na figura a seguir, destacamos em azul mais escuro a regia˜o R dada pela intersec¸a˜o das regio˜es R1,
R2 e R3.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Geometria Anal´ıtica I AP3 5
Figura 2: Regia˜o R.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ