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Gabarito EP1
Geometria Anal´ıtica I
Professora Lhaylla Crissaff
1. Considere os pontos A = (4, 0), B = (−3, 1), C = (0,−7), D = (1
2
, 0), E = (0,
√
3) e F = (0, 0).
(a) Decida quais pontos esta˜o sobre o eixo OX.
(b) Decida quais pontos esta˜o sobre o eixo OY .
Soluc¸a˜o.
Para resolver esta questa˜o, basta discutirmos se os pontos dados no enunciado possuem abscissa
ou ordenada iguais a 0. Os pontos que tiverem abscissa igual a 0 (ou a coordenada x igual a
0, ou a primeira coordenada igual a 0) esta˜o sobre o eixo OY . E os pontos que tiverem ordenada
igual a 0 (ou a coordenada y igual a 0, ou a segunda coordenada igual a 0) esta˜o sobre o eixo OX.
Deu pra entender ? E´ bem simples mesmo :)
(a) Como os pontos A,D, F possuem a segunda coordenada igual a 0, eles esta˜o sobre o eixo OX.
(b) Como os pontos C,E, F possuem a primeira coordenada igual a 0, eles esta˜o sobre o eixo OY .
Atenc¸a˜o: O ponto B na˜o esta´ sobre nenhum eixo ! E se localiza no segundo quadrante, certo ?
Se voceˆ ainda ficou com alguma du´vida, use a figura 1 para te ajudar a entender a questa˜o.
Figura 1: Exerc´ıcio 1.
2. Descubra qual quadrante esta´ localizado o ponto P em cada caso dado abaixo:
(a) P = (−7, 2);
(b) P = (
√
2,−5);
(c) P = (−1
2
,−2
3
);
(d) P = (−√2,√5− 2);
(e) P =
(√
3
3
, −1+
√
2
2
)
.
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Professora Lhaylla Crissaff
Soluc¸a˜o.
Para relembrar qual a ordem dos quadrantes, veja o material extra que esta´ na plataforma. Esta´
na pa´gina 7.
(a) Neste caso, x = −7 < 0 e y = 2 > 0. Enta˜o, A esta´ no 2o quadrante.
(b) Neste caso, x =
√
2 > 0 e y = −5 < 0. Enta˜o, B esta´ no 4o quadrante.
(c) Neste caso, x = −1
2
< 0 e y = −2
3
< 0. Enta˜o, C esta´ no 3o quadrante.
(d) Neste caso, x = −√2 < 0 e y = √5−2 ≡ 2.23−2 ≡ 0.23 > 0. Enta˜o, D esta´ no 2o quadrante.
(e) Neste caso, x =
√
3
3
> 0 e y = −1+
√
2
2
≡ −1+1.41
2
≡ 0.41
2
> 0. Enta˜o, E esta´ no 1o quadrante.
Observac¸a˜o: O s´ımbolo ≡ pode ser lido e interpretado como ”aproximadamente”.
Para conferir o que fizemos, deˆem uma olhada na figura 2.
Figura 2: Exerc´ıcio 2.
3. Se xy < 0, em quais quadrantes pode estar situado o ponto P = (x, y)?
Soluc¸a˜o.
Voltando aos tempos de Ensino Fundamental, vamos relembrar como o sinal dos nu´meros influ-
encia a multiplicac¸a˜o deles. Eu aprendi assim: ”A multiplicac¸a˜o de dois nu´meros com o mesmo
sinal (sejam os dois positivos ou negativos) resulta em nu´mero positivo. A multiplicac¸a˜o de dois
nu´meros com sinais opostos resulta em um nu´mero negativo”. Lembram disso ?
Voltando ao exerc´ıcio, temos que o nu´mero xy, dado pela multiplicac¸a˜o dos nu´meros x e y, e´ um
nu´mero menor que zero. Para que isso acontec¸a, utilizando a regrinha que relembramos acima, x e
y devem ter sinais opostos. Mas quem vai ser o positivo e quem vai ser o negativo ? Na˜o sabemos.
Por isso, vamos pensar nas duas possibilidades:
• se x e´ positivo e y e´ negativo, enta˜o o ponto P = (x, y) esta´ localizado no 4o quadrante;
• se x e´ negativo e y e´ positivo, enta˜o o ponto P = (x, y) esta´ localizado no 2o quadrante.
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4. Em cada caso, calcule x e y de modo que seja verdadeira a igualdade:
(a) (x, y) = (3, 0);
(b) (x, 1) = (−2, y);
(c) (2x, y + 3) = (10, 10);
(d) (x + y, x− y) = (5, 1).
Soluc¸a˜o.
Para resolver este exerc´ıcio, devemos utilizar o fato de que dois pontos sa˜o iguais se, e somente
se, suas coordenadas sa˜o iguais. Da´ı, basta igualar as coordenadas em todos os itens dados ;)
(a) Diretamente temos que x = 3 e y = 0.
(b) Mais uma vez, apenas igualando, sem nenhum ca´lculo, vemos que x = −2 e y = 1.
(c) Agora temos que 2x = 10 e y + 3 = 10. Logo, x = 5 e y = 7.
(d) Neste caso, x + y = 5 e x − y = 1. Enta˜o, precisamos encontrar valores para x e y que
satisfac¸am as duas equac¸o˜es ao mesmo tempo !!! Ou seja, temos um sistema para resolver. Da
primeira equac¸a˜o obtemos x = 5 − y. Substituindo x = 5 − y na segunda equac¸a˜o obtemos
(5− y)− y = 1⇐⇒ y = 2. Da´ı, x = 5− y = 5− 2 = 3. Esta´ resolvido !
5. Sejam A = (a, 0) e B = (0, a), com a > 0. Ache x de modo que o ponto C = (x, x) seja o terceiro
ve´rtice do triaˆngulo equila´tero ABC.
Soluc¸a˜o.
Um triaˆngulo e´ dito equila´tero se todos os seus lados possuem a mesma medida, portanto d(A,B) =
d(B,C) = d(C,A). Para calcular estas distaˆncias, podemos usar a fo´rmula da pa´gina 7 do material
extra que esta´ plataforma.
Vamos calcular estas distaˆncias:
d(A,B) =
√
(a− 0)2 + (0− a)2
=
√
a2 + a2
=
√
2a2;
OBS.: Notem que d(B,A) =
√
(a− 0)2 + (0− a)2 = √(0− a)2 + (a− 0)2 = d(A,B). Pensando
nas continhas, isso acontece porque cada parcela dentro da raiz quadrada esta´ elevada ao quadrado.
Pensando na geometria, a distaˆncia de Nitero´i ate´ Bom Jesus do Itabapoana e´ a mesma de Bom
Jesus do Itabapoana ate´ Nitero´i ne´ ?!
d(B,C) =
√
(x− 0)2 + (x− a)2
=
√
x2 + x2 − 2ax + a2
=
√
2x2 − 2ax + a2;
d(C,A) =
√
(a− x)2 + (0− x)2
=
√
a2 − 2ax + x2x2
=
√
2x2 − 2ax + a2.
Olhando para o ca´lculo das distaˆncias que fizemos acima, podemos perceber que d(B,C) = d(C,A)
para quaisquer que sejam os valores de x e a que usemos, pois as fo´rmulas obtidas sa˜o iguais ! Da´ı,
na˜o precisamos nos preocupar em igualar distaˆncias que ja´ sa˜o iguais ne´ ?! Vamos trabalhar com a
distaˆncia que ficou faltando, que e´ d(A,B) = d(B,C). Vejamos:
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d(A,B) = d(B,C)⇐⇒
√
2a2 =
√
2x2 − 2ax + a2.
O pro´ximo passo para resolver a equac¸a˜o que obtemos acima e´ elevar ao quadrado os dois lados
desta equac¸a˜o e fazer desaparecer esta raiz que na˜o nos deixa evoluir:
√
2a2 =
√
2x2 − 2ax + a2
2a2 = 2x2 − 2ax + a2
0 = 2x2 − 2ax− a2.
O objetivo da questa˜o e´ encontrar o valor de x, certo ? Enta˜o para finalizar, precisamos resolver
a equac¸a˜o do segundo grau que encontrar acima na varia´vel x. Note que o coeficiente de x2 e´ 2, o
coeficiente de x e´ −2a (o a faz parte do coeficiente e na˜o pode ser tirado!!!) e o termo independente
e´ −a2. Resolvendo a equac¸a˜o do segundo grau usando a fo´rmula de Ba´skara temos:
2x2 − 2ax− a2 = 0 ⇐⇒ x = −(−2a)±
√
(−2a)2 − 4(2)(−a2)
2× 2
⇐⇒ x = 2a±
√
4a2 + 8a2
4
⇐⇒ x = 2a±
√
12a2
4
Neste passo na˜o cometa o crime de cortar o 2 do 2a com o 4 do denominador hein ?! NA˜O
PODEEEE !
x =
2a±√12a2
4
⇐⇒ x = 2a± 2
√
3a
4
⇐⇒ x = 2(a±
√
3a)
4
Agora podemos simplificar o 2 do numerador com o 4 do denominador. Isso e´ poss´ıvel pois o
nu´mero 2 foi colocado em evideˆncia e com isso esta´ sendo multiplicado por todo o numerador.
No caso anterior (quando na˜o simplificamos), o 2 estava multiplicado apenas pelo a e na˜o pelo
numerador todo. Certo ?!
Voltando ao valor de x, temos
x =
a±√3a
2
.
6. Calcule o ponto me´dio do segmento de extremidades A = (3, 7) e B = (11,−1).
Soluc¸a˜o.
Para encontrar o ponto me´dio P do segmento AB, vamos utilizar a fo´rmula encontrada no exemplo
5 da pa´gina 10 do material extra que esta´ na plataforma. Vejamos:
P =
(
3 + 11
2
,
7− 1
2
)
=
(
14
2
,
6
2
)
= (7, 3).
7. Calcule as coordenadas do vetor −→v da figura 3.
Soluc¸a˜o.
Queremos calcular as coordenadas dos vetores que esta˜o na figura 3. Para isto, precisamos descobrir
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(a) 7a (b) 7b (c) 7c
(d) 7d (e) 7e (f) 7f
Figura 3: Questa˜o 7.
onde o vetor comec¸a e onde ele termina e usar a definic¸a˜o 1.3 da Aula 1 do mo´dulo. Em todos os
casos, vamos chamar de A o ponto inicial do vetor e de B o ponto final do vetor. Assim, −→v = −→AB.
(a) A = (0, 0) e B = (4, 3), enta˜o −→v = −→AB = (4−0, 3−0) = (4, 0). Noteque, sempre que o ponto
inicial do vetor for a origem, as coordenadas do vetor coincidem com as coordenadas do ponto
final do vetor.
(b) A = (0, 0) e B = (−4, 2), enta˜o −→v = −→AB = (−4− 0, 2− 0) = (−4, 2).
(c) A = (1, 2) e B = (6, 3), enta˜o −→v = −→AB = (6− 1, 3− 2) = (5, 1).
(d) A = (1, 4) e B = (5, 2), enta˜o −→v = −→AB = (5− 1, 2− 4) = (4,−2).
(e) A = (5, 1) e B = (1, 4), enta˜o −→v = −→AB = (1− 5, 4− 1) = (−4, 3).
(f) A = (7, 4) e B = (3, 2), enta˜o −→v = −→AB = (3− 7, 2− 4) = (−4,−2).
8. Dados os pontos A = (1, 0), B = (4, 2), C = (3, 4) e D = (0, 2), verifique que o quadrila´tero ABCD
e´ um paralelogramo.
Soluc¸a˜o.
Da Geometria Euclidiana, sabemos que um paralelogramo e´ um quadrila´tero que possui lados
opostos paralelos e congruentes. E o que tem isso com vetores ? TUDO !
Dizer que os lados opostos de um quadrila´tero sa˜o paralelos e congruentes e´ equivalente a dizer que
os lados opostos do quadrila´tero sa˜o segmentos equipolentes (mesmo tamanho, direc¸a˜o e sentido).
Isto e´,
ABCD e´ um paralelogramo ⇐⇒ AB ≡ DC ⇐⇒ AC e BD possuem o mesmo ponto me´dio.
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O ponto me´dio de AC e´
(
1 + 3
2
,
0 + 4
2
)
= (2, 2). E, o ponto me´dio de BD e´
(
4 + 0
2
,
2 + 2
2
)
=
(2, 2).
Como os pontos me´dios dos segmentos AC e BD sa˜o iguais, pela proposic¸a˜o 1.1 da pa´gina 11, os
segmento AB e DC sa˜o equipolentes. Logo, AB e DC possuem o mesmo tamanho e direc¸a˜o, o que
implica que ABCD e´ um paralelogramo.
OBS.: O enunciado disse que ABCD e´ um quadrila´tero, e por isso ja´ temos certeza de que os pontos
A,B,C e D na˜o sa˜o colineares. Se na˜o tive´ssemos essa informac¸a˜o, ter´ıamos que verificar que os
pontos A,B,C e D na˜o sa˜o colineares, ja´ que a proposic¸a˜o 1.1 (foi este resultado que usamos para
resolver a questa˜o ne´ ?!) vale mesmo que A,B,C e D sejam colineares. Vamos analisar melhor
este problema nas duas pro´ximas questo˜es.
9. Dados os pontos A = (2, 3), B = (4, 4) e D = (2, 1), determine C para que ABCD seja um
paralelogramo. Esboce este paralelogramo em um plano cartesiano.
Soluc¸a˜o.
Como queremos encontrar as coordenadas do ponto C, vamos ”colocar nomes” nelas. Seja C =
(x, y). Para que ABCD seja um paralelogramo, seguindo o mesmo racioc´ınio do exerc´ıcio anterior,
precisamos garantir que AC e BD possuam os mesmos pontos me´dios. Assim, igualando os pontos
me´dios temos: (
2 + x
2
,
3 + y
2
)
=
(
4 + 2
2
,
4 + 1
2
)
⇐⇒
{
2 + x = 6
3 + y = 5
.
Resolvendo o sistema acima, encontramos x = 4 e y = 2.
Figura 4: Exerc´ıcio 8.
Pela figura 9, vemos que ABCD realmente e´ um paralelogramo.
10. Dados os pontos A = (0, 1), B = (2, 3) e D = (3, 4), determine C para que ABCD seja um
paralelogramo. Esboce este paralelogramo em um plano cartesiano. Voceˆ realmente obteve um
paralelogramo?
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Soluc¸a˜o.
Analogamente ao que foi feito no exerc´ıcio anterior, consideremos C = (x, y). Para que ABCD seja
um paralelogramo, precisamos garantir que AC e BD possuam os mesmos pontos me´dios. Assim,
igualando os pontos me´dios temos:(
0 + x
2
,
1 + y
2
)
=
(
2 + 3
2
,
3 + 4
2
)
⇐⇒
{
0 + x = 5
1 + y = 7
.
Resolvendo o sistema acima, encontramos x = 5 e y = 6.
Pela figura 10, vemos que ABCD na˜o e´ um paralelogramo.
Figura 5: Exerc´ıcio 9.
OBS.: Viram a diferenc¸a dos exerc´ıcios 8 e 9 ? So´ mostrar que os segmentos AC e BD sa˜o
equipolentes na˜o e´ suficiente para que ABCD seja um paralelogramo, pois a proposic¸a˜o 1.1 vale
mesmo que A,B,C e D sejam colineares.
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