Controle de Processos em Tempo DiscretoCap ́ıtulo 5

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PPGEPS/CCET/PUCPR Prof. Gustavo Henrique da Costa Oliveira
Controle de Processos em Tempo Discreto
Cap´ıtulo 5
Controle por Alocac¸a˜o de Po´los
( Abordagem Espac¸o de Estados )
Por: Gustavo Henrique da Costa Oliveira
v1 (1s/2006) 5-1
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Conteu´do
1 Introduc¸a˜o 4
2 Projeto por Alocac¸a˜o de Po´los: Parte 1 - projeto do controlador 5
2.1 Controlabilidade e Alcanc¸abilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Fo´rmula de Akermann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Projeto por Alocac¸a˜o de Po´los: Parte 2 - projeto do estimador 14
3.1 Observabilidade: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Sistema em Malha Fechada com Controlador e Estimador . . . . . 24
4 Caso Servo: O sinal de refereˆncia 29
5 Estudos de Caso 33
5.1 Motor DC (Ex. A2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2 Brac¸o Flex´ıvel de Roboˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
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6 Exerc´ıcios do livro Computer Controlled Systems: 50
7 Anexo A: 54
7.1 Revisa˜o e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
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1 Introduc¸a˜o
• Projeto de sistemas de controle onde o modelo do processo H e´ dado por:
 x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k)y(k) = Cx(k)
• O controle e´ feito atrave´s de realimentac¸a˜o de estados, i.e.,
u(k) = −Kx(k)
• Estrate´gia de projeto:
”Todos os po´los de malha fechada do sistema calculado sa˜o especificados a
priori”
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2 Projeto por Alocac¸a˜o de Po´los: Parte 1 -
projeto do controlador
• O problema de regulac¸a˜o: Consiste em levar todos os estados do sistema
para zero (x(∞) = 0) apo´s uma perturbac¸a˜o no estado inicial do sistema
(x(0) 6= 0).
• A soluc¸a˜o por alocac¸a˜o de po´los: Consiste em calcular a lei de controle
tal que a dinaˆmica da transic¸a˜o entre x(0) e x(∞) e´ determinada por po´los
selecionados a priori.
Assume-se:
Realimentac¸a˜o completa de estados, isto e´, todos os estados sa˜o mensura´veis.
• A lei de controle e´ dada por:
u(k) = −Kx(k)
onde K e´ o ganho de realimentac¸a˜o de estados.
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u(k) x(k) y(k)
x(k+1)=Ax(k)+Bu(k) C
-K
q-1
x(k+1)
• O sistema em malha fechada e´ dado por:

x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)
y(k) = Cx(k)
u(k) = −Kx(k)
ou  x(k + 1) = ( A−BK )x(k)y(k) = Cx(k)
• Os po´los de malha fechada sa˜o os autovalores de ( A−BK ), i.e., sa˜o as
ra´ızes de
| zI − (A−BK) | = 0
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• Na soluc¸a˜o por alocac¸a˜o de po´los,
K e´ o ganho tal que os autovalores de ( A−BK ) sa˜o iguais aos po´los
desejados de malha fechada
Exemplo:
• Seja um sistema cujo modelo e´ dado por:

x(k + 1) =
 1.5 −0.7
1 0
x(k) +
 1
0

y(k) =
[
1 0.9
]
x(k)
• Determine o controlador por realimentac¸a˜o de estados
u(k) = −Kx(k), onde K =
[
k1 k2
]
de tal forma que os po´los de malha fechada sejam 0.2 e 0.5.
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Soluc¸a˜o:
zI − (A−BK) =
 z 0
0 z
−
 1.5 −0.7
1 0
−
 1
0
[ k1 k2 ]

zI − (A−BK) =
 z 0
0 z
−
 1.5− k1 −0.7− k2
1 0

zI − (A−BK) =
 z − (1.5− k1) 0.7 + k2
−1 z

Para o determinante, tem-se:
|zI − (A−BK)| = z2 − (1.5− k1)z + 0.7 + k2
A equac¸a˜o caracter´ıstica de malha fechada e´:
z2 + (k1 − 1.5)z + (0.7 + k2) = 0
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Os po´los de malha fechada desejados sa˜o: 0.2 e 0.5, o que equivale a uma
equac¸a˜o caracter´ıstica de
z2 − 0.7z + 0.1 = 0
Por comparac¸a˜o, obte´m-se: k1 = 0.8 e k2 = −0.6
Logo, o controlador e´
u(k) = −
[
0.8 −0.6
]
x(k)
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2.1 Controlabilidade e Alcanc¸abilidade
• Controlabilidade
Um sistema e´ controla´vel se existir uma sequencia finita de sinais de controle
capaz de levar o estado x(k) de qualquer valor inicial para a origem
(x(∞) = 0) em tempo finito.
• Alcanc¸abilidade
Um sistema e´ alcanc¸a´vel se se existir uma sequencia finita de sinais de
controle capaz de levar o estado x(k) de qualquer valor inicial para qualquer
outro estado (x(∞) = xf ) em tempo finito.
obs:
Alcanc¸abilidade ⇒ Controlabilidade
• A matriz de Controlabilidade e´ definida como sendo:
Wc =
[
B AB A2B · · · An−1B
]
• Um sistema e´ alcanc¸a´vel se Wc for na˜o singular.
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Exemplo: x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k), com A =
 0 0
1 0

Alcac¸a´vel/Controla´vel se B = [ 1 0 ]T e somente Controla´vel se B = [ 0 1 ]T .
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2.2 Fo´rmula de Akermann
• Na soluc¸a˜o por alocac¸a˜o de po´los,
K e´ o ganho tal que os autovalores de ( A−BK ) sa˜o iguais aos po´los
desejados de malha fechada
• Teorema: Assuma que u(k) ∈ R e que o sistema e´ controla´vel. Enta˜o existe
uma matriz K de realimentac¸a˜o de estados tal que os autovalores de
( A−BK ) sa˜o as ra´ızes do polinoˆmio
PK(z) = zn + pK,1zn−1 + · · ·+ pK,n
Esta matriz e´ dada por
K =
[
0 0 · · · 0 1
]
W−1c PK(A)
• A equac¸a˜o para ca´lculo de K e´ conhecida como fo´rmula de Ackermann
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• Controle tipo dead-beat:
quando todos os po´los de malha fechada esta˜o na origem, isto e´,
PK(z) = zn
Esta estrate´gia faz com que todos os estados do sistema cheguem a zero em,
no ma´ximo, n per´ıodos de amostragem.
Se ∆t ↑ enta˜o |u(k)| ↓
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3 Projeto por Alocac¸a˜o de Po´los: Parte 2 -
projeto do estimador
• Em muitas aplicac¸o˜es, na˜o e´ poss´ıvel medir todos os estados de um sistema
dinaˆmico
⇒ usualmente, somente o sinal de sa´ıda e´ conhecido.
• O problema de observac¸a˜o (ou estimac¸a˜o):
Definido como sendo a reconstruc¸a˜o (ou estimac¸a˜o) do vetor de estados em
um dado instante k0 a partir a partir da informac¸a˜o dispon´ıvel ate´ k0, isto e´,
u(k) e y(k) para k ≤ k0.
• Isto significa que:
u(k) = −Kxˆ(k)
ou
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u(k) x(k) y(k)
x(k+1)=Ax(k)+Bu(k) C
-K
q-1
x(k+1)
u(k) y(k)
x(k)
Estimador de
Estados
• Estimac¸a˜o usando o modelo do processo
xˆ(k + 1) = Axˆ(k) +Bu(k)
com xˆ(0) = 0.
• Erro de estimac¸a˜o:
x˜(k) = x(k)− xˆ(k)
Portanto:
x˜(k + 1) = Ax˜(k)
Se A e´ esta´vel, x˜(k)→ 0, quando k →∞.
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3.1 Observabilidade:
Um sistema e´ observa´vel se existe um valor finito k tal que o conhecimento dos
sinas de entrada e sa´ıda ate´ o instante k − 1 e´ suficiente para se conhecer o
estado inicial do sistema.
• A matriz de Observabilidade e´ definida como sendo:
Wo =

C
CA
CA2
· · ·
CAn−1

• Um sistema e´ observa´vel se Wo for na˜o singular.
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• Estimac¸a˜o usando realimentac¸a˜o
xˆ(k + 1) = Axˆ(k) +Bu(k) + L (y(k)− Cxˆ(k))
• Usando a definic¸a˜o do erro de estimac¸a˜o, obte´m-se:
x˜(k + 1) = ( A− LC ) x˜(k)
• Portanto, os po´los do estimador (i.e, a dinaˆmica que determina o
comportamento do erro de estimac¸a˜o)sa˜o iguais aos autovalores da matriz
(A− LC).
• Na soluc¸a˜o por alocac¸a˜o de po´los:
L e´ o ganho tal que os autovalores da matriz (A− LC) sa˜o iguais aos
escolhidos a priori para o estimador.
• O problema de estimac¸a˜o e´ ana´logo ao problema de controle por alocac¸a˜o de
po´los.
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• Teorema: Assuma que u(k) ∈ R e que o sistema e´ observa´vel. Enta˜o existe
uma matriz L tal que os autovalores de ( A−LC ) sa˜o as ra´ızes do polinoˆmio
PL(z) = zn + pL,1zn−1 + · · ·+ pL,n
Esta matriz e´ dada por
L = PL(A)W−1o
[
0 0 · · · 0 1
]T
• Observador dead-beat: (idem controlador) → PL(z) = zn
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Exemplo: Seja um sistema em espac¸o de estados (tempo discreto) cujas
matrizes sa˜o:
A =
 1 1
−0.25 0
 B =
 1
−0.5
 C = [ 1 0 ]
(a) Verifique se este sistema e´ alcanc¸a´vel, controla´vel e observa´vel.
(b) Verifique se e´ poss´ıvel chegar ao ponto
[
−0.5 1
]T
a partir do ponto x(0)
igual a
[
2 2
]T
.
(c) Verifique se e´ poss´ıvel chegar ao ponto
[
0.5 1
]T
a partir do mesmo ponto
inicial x(0).
Soluc¸a˜o:
(a)
* Alcanc¸abilidade:
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Wc =
 1 0.5
−0.5 −0.25

O determinante de Wc e´ zero, portanto o sistema na˜o e´ alcanc¸a´vel.
* Observabilidade:
Wo =
 1 0
1 1

O determinante de Wo e´ diferente de zero, portanto o sistema e´ observa´vel.
* Controlabilidade:
Deve-se verificar se o sistema pode chegar na origem a partir de um estado inicial
qualquer
x(1) = Ax(0) +Bu(0)
x(2) = A2x(0) +Bu(1) +ABu(0)
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Sendo x(2) =
[
0 0
]T
e assumindo o estado inicial igual a x(0) =
[
a b
]T
,
tem-se:
−A2x(0) = Bu(1) +ABu(0)
 0.75 1
−0.25 −0.25
 a
b
 =
 1 0.5
−0.5 −0.25
 u(1)
u(0)

Na˜o e´ controla´vel, pois este sistema na˜o possui soluc¸a˜o para a e b quaisquer.
(b)
x(2) = A2x(0) +Bu(1) +ABu(0)
x(2)−A2x(0) = Bu(1) +ABu(0)
x(2)−A2x(0) =
[
B AB
] u(1)
u(0)

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Sendo x(2) =
[
−0.5 1
]T
e assumindo o estado inicial x(0) igual a
[
2 2
]T
,
tem-se:
 −4
2
 =
 1 0.5
−0.5 −0.25
 u(1)
u(0)

Este estado pode ser atingido a partir do ponto x(0) considerado.
Na verdade, qualquer estado final pertencente ao espac¸o formado pelo vetor base[
1 −0.5
]T
e´ um estado final va´lido.
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(c)
O estado final considerado na˜o pertence ao espac¸o formado pelo vetor base[
1 −0.5
]T
. Portanto, na˜o pode ser atingido.
Comprovac¸a˜o:
x(2)−A2x(0) =
[
B AB
] u(1)
u(0)

 −3
2
 =
 1 0.5
−0.5 −0.25
 u(1)
u(0)

Este sistema de equac¸o˜es na˜o possui soluc¸a˜o.
v1 (1s/2006) 5-23
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3.2 Sistema em Malha Fechada com Controlador e
Estimador
• No caso de realimentac¸a˜o de sa´ıda, tem-se:
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)
u(k) = −Kxˆ(k)
xˆ(k + 1) = Axˆ(k) +Bu(k) + L (y(k)− Cxˆ(k))
• Novo vetor de estados,
 x(k)
x˜(k)

• O sistema em malha fechada torna-se: x(k + 1)
x˜(k + 1)
 =
 A−BK BK
0 A− LC
 x(k)
x˜(k)

v1 (1s/2006) 5-24
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• Os po´los do sistema em malha fechada sa˜o os autovalores da matriz de
transic¸a˜o de estados. Sa˜o as ra´ızes de:
| zI − (A−BK) || zI − (A− LC) | = 0
• Os po´los de malha fechada sa˜o formados pela unia˜o dos po´los escolhidos para
o controlador e para o estimador.
v1 (1s/2006) 5-25
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Exemplo: Seja um sistema em espac¸o de estados (tempo discreto) cujas
matrizes sa˜o:
A =
 1.5 −0.7
1 0
 B =
 1
0
 C = [ 1 0.9 ]
Se K for
[
0.5 0.2
]
e L for
 2
1
, quais sera˜o os po´los do sistema em malha
fechada.
Soluc¸a˜o:
Os po´los de malha fechada sa˜o compostos pela soma dos po´los definidos pelo
controlador e pelo estimador.
Assim, os po´los definidos pelo controlador sa˜o os auto-valores de A−BK, ou as
ra´ızes de:
| zI − (A−BK) | = 0
v1 (1s/2006) 5-26
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∣∣∣∣∣∣ zI −
 1 −0.9
1 0
 ∣∣∣∣∣∣ = 0∣∣∣∣∣∣ z − 1 0.9−1 z
∣∣∣∣∣∣ = 0
z2 − z + 0.9 = 0
Os autovalores sa˜o 0.5± j0.8062.
Os po´los definidos pelo estimador sa˜o os auto-valores de A− LC, ou as ra´ızes de:
| zI − (A− LC) | = 0∣∣∣∣∣∣ zI −
 −0.5 −2.5
0 −0.9
 ∣∣∣∣∣∣ = 0
v1 (1s/2006) 5-27
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∣∣∣∣∣∣ z + 0.5 2.50 z + 0.9
∣∣∣∣∣∣ = 0
(z + 0.5)(z + 0.9) = 0
Os autovalores sa˜o -0.5 e -0.9.
Portanto, os po´los do sistema em malha fechada sa˜o: 0.5± j0.8062, -0.5 e -0.9.
v1 (1s/2006) 5-28
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4 Caso Servo: O sinal de refereˆncia
• O problema de regulac¸a˜o se caracteriza pelo ca´lculo da lei de controle tal que
o estado final e´ zero.
• Caso servo: seguimento de trajeto´ria
u(k) = −Kxˆ(k) +Kcw(k)
onde w(k) e´ o sinal de refereˆncia e Kc e´ um (outro) paraˆmetro de projeto.
u(k)
x(k) y(k)
x(k+1)=Ax(k)+Bu(k) C
-K
q-1
x(k+1)
u(k) y(k)
x(k)
Estimador de
Estados
w(k)
+ +
Kc
v1 (1s/2006) 5-29
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• O sistema em malha fechada e´:
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)
u(k) = −Kxˆ(k) +Kcw(k)
xˆ(k + 1) = Axˆ(k) +Bu(k) + L (y(k)− Cxˆ(k))
• Usando o erro de estimac¸a˜o: x˜(k)
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)
u(k) = −K(x(k)− x˜(k)) +Kcw(k)
x˜(k + 1) = (A− LC)x˜(k)
y(k) = Cx(k)
ou 
x(k + 1) = (A−BK)x(k) +BKx˜(k) +BKcw(k)
x˜(k + 1) = (A− LC)x˜(k)
y(k) = Cx(k)
v1 (1s/2006) 5-30
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• Func¸a˜o de transfereˆncia do sistema em malha fechada,
i.e., a relac¸a˜o entre os sinais w(k) e y(k): Hmf (z) =
[
C 0
] zI − (A−BK) −BK
0 zI − (A− LC)
−1  BKc
0

que e´ equivalente a:
Hmf (z) = C [zI − (A−BK)]−1BKc
• Os po´los de malha sa˜o iguais aos po´los projetados para o controlador e
os zeros de malha fechada sa˜o iguais aos zeros de malha aberta.
v1 (1s/2006) 5-31
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• Selec¸a˜o de Kc:
O ganho Kc e´ selecionado de forma que o ganho do sistema em malha
fechada (relac¸a˜o entre w e y) seja igual a 1.
• O ganho do sistema em malha fechada e´:
lim
z→1
Hmf (z) = 1
ou
Hmf (1) = C [I − (A−BK)]−1BKc
• Assim, Kc e´ selecionado tal que:
C [I − (A−BK)]−1BKc = 1
v1 (1s/2006) 5-32
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5 Estudos de Caso
5.1 Motor DC (Ex. A2)
• O sistema: y(k): sinal de sa´ıda (posic¸a˜o angular) e u(k): sinal de entrada
(tensa˜o), x1(k): velocidade angular e x2(k): posic¸a˜o angular
x(k + 1) =
 e−∆t 0
1− e−∆t 1
x(k) +
 1− e−dt
∆t− 1 + e−∆t
u(k)
y(k) =
[
0 1
]
x(k)
• Para ∆t = 0.15
x(k + 1) =
 0.8607 0
0.1393 1
x(k) +
 0.1393
0.0107
u(k)
y(k) =
[
0 1
]
x(k)
• Os autovalores sa˜o: 1 e 0.8607.
v1 (1s/2006) 5-33
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• A matriz de controlabilidade e´:
Wc =
 0.1393 0.1199
0.0107 0.0301
 e |Wc| = 0.0029
• Po´los de malha fechada desejados (controlador): 0.5 e 0.4
⇒ PK(z) = z2 − 0.9z + 0.2
• Assumindo o modelo sem mudanc¸a de estados, o ganho do controladore´:
K =
[
5.7933 14.3583
]
• Se fosse dead-beat... (po´los MF em 0 e 0)
K =
[
9.6790 47.8611
]
v1 (1s/2006) 5-34
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• Sistema em malha fechada: x(0) =
[
1 −1
]
Dead-beat: u(k) = −
[
9.6790 47.8611
]
x(k)
0 0.5 1 1.5 2 2.5
−2
0
2
4
6
Sinais de saida e estados
0 0.5 1 1.5 2 2.5
−40
−20
0
20
40
tempo [segundos]
Sinal de controle
x1 
y e x2 
v1 (1s/2006) 5-35
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Po´los em 0.4 e 0.5: u(k) = −
[
5.7933 14.3583
]
x(k)
0 0.5 1 1.5 2 2.5
−2
−1
0
1
2
Sinais de saida e estados
0 0.5 1 1.5 2 2.5
−2
0
2
4
6
8
10
tempo [segundos]
Sinal de controle
x1 
y e x2 
v1 (1s/2006) 5-36
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• Assuma que somente a posic¸a˜o e´ mensura´vel.
• Matriz de observabilidade e´:
Wo =
 0 1
0.1393 1
 e |Wo| = −0.1393
• Po´los de malha fechada desejados (estimador): 0.1 e 0.2
⇒ PK(z) = z2 − 0.3z + 0.02
• O ganho do estimador e´:
L =
[
3.6083 1.5607
]T
• Procedimento
a) medir y(k)
b) calcular u(k). u(k) e´ func¸a˜o de K e de xˆ(k) que, para k = 0, e´ igual a 0.
c) calcular xˆ(k + 1). xˆ(k + 1) e´ func¸a˜o das matrizes do modelo, de L e dos
sinais y(k), u(k) e xˆ(k).
d) voltar para (a).
v1 (1s/2006) 5-37
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• Sistema em malha fechada: x(0) =
[
1 −1
]
• Po´los em: 0.4 e 0.5 para controlador; 0.1 e 0.2 para estimador. u(k) = −Kxˆ(k)xˆ(k + 1) = Axˆ(k) +Bu(k) + L (y(k)− Cxˆ(k))
0 0.5 1 1.5 2 2.5
−5
−2.5
0
2.5
5
7.5
Es
ta
do
 1
0 0.5 1 1.5 2 2.5
−2
−1
0
1
Es
ta
do
 2
0 0.5 1 1.5 2 2.5
−20
0
20
40
Sinal de controle
tempo [segundos]
x 
x
est 
x 
x
est 
v1 (1s/2006) 5-38
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• Caso servo: refereˆncia em degrau unita´rio u(k) = −Kxˆ(k) +Kcw(k)xˆ(k + 1) = Axˆ(k) +Bu(k) + L (y(k)− Cxˆ(k))
Para
K =
[
5.7933 14.3583
]
e L =
[
3.6083 1.5607
]T
⇒ Kc = 14.3583
e
v1 (1s/2006) 5-39
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0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
1
2
Estados
0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
0.5
1
Sinal de Saida
0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
5
10
15
Sinal de Controle
Tempo [segundos]
v1 (1s/2006) 5-40
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5.2 Brac¸o Flex´ıvel de Roboˆ
Motor 1 2
w1 w2
v
u
phi1 phi2
• Os estados sa˜o: w1 e w2, velocidade angular; φ1 e φ2, posic¸a˜o angular; u,
entrada; v perturbac¸a˜o. 
x1(t) = φ1(t)− φ2(t)
x2(t) = w1(t)/w0
x3(t) = w2(t)/w0
onde w0 =
√
k(J1 + J2)/(J1J2)
v1 (1s/2006) 5-41
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• O processo e´ dado por

x˙1(t) = w0 (x2(t)− x3(t))
x˙2(t) = w0 ((α− 1)x1(t) + β1(x3(t)− x2(t)))
+ γu(t) + δv(t)
x˙3(t) = w0 (αx1(t) + β2(x2(t)− x3(t)))
y(t) = w0x3(t)
onde α = J1/(J1 + J2), β1 = d/(J1w0), β2 = d/(J2w0), γ = kI/(J1w0),
δ = 1/(J1w0).
e J1 = 10/9, J2 = 10, k = 1, d = 0.1 e kI = 1 ⇒ w0 = 1.
v1 (1s/2006) 5-42
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po´los e zeros de malha aberta (cont´ınuo)
−10 −8 −6 −4 −2 0
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Pole−Zero Map
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is
• As especificac¸o˜es sa˜o: Uma resposta em malha fechada com dinaˆmica
dominante perto de wn = 0.5 e ζ = 0.7.
• Per´ıodo de amostragem: ∆t = 0.5 seg. (ou wa = 12.6 rad/s)
selecionado em func¸a˜o da dinaˆmica esperada de malha fechada.
v1 (1s/2006) 5-43
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po´los e zeros de malha aberta (discreto)
−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Pole−Zero Map
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is
v1 (1s/2006) 5-44
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• Po´los do controlador
P (s) =
(
s2 + 2ζwns+ w2n
)
(s+ 2wn)
• K =
[
−0.3460 1.1537 0.7671
]
(∆t = 0.5)
• Po´los do estimador (2 × mais distantes)
P (s) =
(
s2 + 2ζ(2wn)s+ (2wn)2
)
(s+ 2(2wn))
• L =
[
3.5411 −4.5551 1.0241
]T
(∆t = 0.5)
• No caso ”servo”: Kc = 1.9207
• Sistema em malha fechada para refereˆncia em degrau e perturbac¸a˜o em
impulso (v(50) = −0.5).
v1 (1s/2006) 5-45
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0 20 40 60 80 100 120 140 160
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
sinal de saida
0 20 40 60 80 100 120 140 160
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
sinal de controle
iteraçoes
v1 (1s/2006) 5-46
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−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Root Locus
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is
• Po´los do controlador (ρ = 0.01)
P (z) = z3 − 2.1599z2 + 1.7668z − 0.5269
• Po´los do estimador (ρ = 0.001)
P (z) = z3 − 1.6769z2 + 1.1763z − 0.3065
v1 (1s/2006) 5-47
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• A partir destes dados, tem-se
K =
[
0.5207 1.1273 6.3154
]
L =
[
6.9274 −1.2416 1.0355
]T
Kc = 7.4427
v1 (1s/2006) 5-48
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• Sistema em malha fechada para refereˆncia em degrau e perturbac¸a˜o em
impulso (v(50) = −0.5).
0 20 40 60 80 100 120 140 160
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
sinal de saida
0 20 40 60 80 100 120 140 160
−2
0
2
4
6
8
sinal de controle
iteracoes
v1 (1s/2006) 5-49
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6 Exerc´ıcios do livro Computer Controlled
Systems:
• Exerc´ıcio 3.6 (CD-II)
Resposta: E´ alcanc¸a´vel (Wc tem rank 2) e na˜o observa´vel (Wo tem rank 1).
• Exerc´ıcio 3.7 (CD-II)
Resposta: O sistema e´ alcanc¸a´vel quando a entrada e´ u(k). Pore´m, quando a
entrada e´ u′(k) o sistema na˜o e´ alcanc¸a´vel.
• Exerc´ıcio 3.8 (CD-II)
Resposta: (a) uma sequencia poss´ıvel e´ u(0) = u(1) = u(2) = 0.
(b) O nu´mero mı´nimo de passos para alcanc¸ar a origem e´ 2
(c) O sistema na˜o e´ alcanc¸avel, portanto na˜o e´ poss´ıvel levar o sistema para
qualquer ponto do espac¸o a partir da origem dada. O exemplo, o ponto [1 1 1]′ na˜o
faz parte do espac¸o de pontos poss´ıveis de serem alcanc¸ados pelo sistema, partindo
da origem dada.
• Exerc´ıcio 3.13 (CD-II)
Resposta:
v1 (1s/2006) 5-50
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• Exerc´ıcio 3.18 (letras e e f , CD-II)
Respostas:
(e) Sim, caso (ii). (CD-II)
(f) Sim, caso (ii). (CD-II)
• Exerc´ıcio 3.19 (CD-II)
Resposta:
• Exerc´ıcio 4.2
Resposta: K =
h
0.75 0.1
i
• Exerc´ıcio 4.3
Resposta: ∆t < 2.21
• Exerc´ıcio 4.4 Somente letras (a) e (c). No caso da letra (c), calcule u(k), k = 0, 1 e
y(k), k = 0, 1
Resposta:
(a) K =
h
9.22 3.11
i
(c)
• Exerc´ıcio 4.5. Somente letra (b)
Resposta:
xˆ(k + 1) = (A− LC)xˆ(k) +Bu(k) + Ly(k), onde A, B e C sa˜o retiradas do modelo
v1 (1s/2006) 5-51
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e L =
h
2.77 1.78
iT
.
• Exerc´ıcio 4.6
Resposta:
L =
h
0.139 0.407
iT
• Exerc´ıcio 4.7. Neste exerc´ıcio, considere a equac¸a˜o do estimador apresentada em
classe (ou a 4.28). Naturalmente, a resposta do ”show that”vai mudar, pore´m a
ide´ia e´ a mesma.
• Exerc´ıcio 4.9. Somente letra (a)
Resposta:
K =
h
0.251 0.8962
i
• Exerc´ıcio 4.11. Na letra (b), considere dois problemas isoladamente. Variac¸a˜o
poss´ıvel (a´rea) dos paraˆmetros de K que garante a estabilidade do sistema em
malha fechada E a estabilidade do sistema emmalha fechada em func¸a˜o da
variac¸a˜o de cada paraˆmetro tomado individualmente.
Resposta
(a) K =
h
1.6 0.49
i
(b) As equac¸o˜es que determinam a a´rea sa˜o: (K =
h
k1 k2
i
)
v1 (1s/2006) 5-52
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8<: −1.63 < −0.7k1 + k20.37 > −0.7k1 + k2 e
8<: −1.7k1 + k2 > −3.23, se k1 > 1.60.3k1 + k2 > −0.03, se k1 < 1.6
• Exerc´ıcio 4.12 letras (a), (b) e (c). Na (b), determine a sequeˆncia de sinais de
controle e na (c) assuma que os po´los do estimador sa˜o iguais a 0.2
Resposta:
(a)
(b)
(c)
v1 (1s/2006) 5-53
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7 Anexo A:
7.1 Revisa˜o e Propriedades
• Neste texto, iremos utilizar tambe´m a nomenclatura
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)
• A ordem do sistema e´ igual a´ dimensa˜o da matriz A.
• A func¸a˜o de transfereˆncia do sistema em malha aberta e´ dada por:
H(z) = C ( zI −A )−1B
ou
H(z) =
Cadj ( zI −A )B
| zI −A |
• Os po´los sa˜o os autovalores da matriz A ou as ra´ızes de | zI −A | = 0.
v1 (1s/2006) 5-54
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• A soluc¸a˜o nume´rica das equac¸o˜es de estado e´:
x(k) = Akx(0) +
k−1∑
j=0
Ak−1−jBu(j)
• A matriz de transic¸a˜o de estados e´ definida como sendo Ψ(k) = Ak.
v1 (1s/2006) 5-55
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Formas Canoˆnicas
• Seja um sistema discreto dado por:
H(z) =
b1z
n−1 + · · ·+ bn
zn + a1zn−1 + · · ·+ an
• A forma canoˆmica controla´vel deste sistema e´ dada por:

x(k + 1) =

−a1 −a2 · · · −an
1 0 0
0 1 0
...
...
...
0 0 0

x(k) +

1
0
...
0
0

u(k)
y(k) =
[
b1 b2 · · · bn
]
x(k)
v1 (1s/2006) 5-56
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• A forma canoˆnica observa´vel e´:

x(k + 1) =

−a1 1 0 0
−a2 0 1 0
...
...
...
−an 0 0 · · · 0
x(k) +

b1
b2
...
bn
u(k)
y(k) =
[
1 0 · · · 0
]
x(k)
v1 (1s/2006) 5-57
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Na˜o-unicidade da representac¸a˜o de estados e invariaˆncia dos
autovalores
• Seja P ∈ Rn×n uma matriz na˜o singular.
• xn(k) pode ser calculado atrave´s da transformac¸a˜o
x(k) = Pxn(k)
• xn(k) e´ tambe´m um estado va´lido para o sistema dinaˆmico H.
• Neste caso, as matrizes que definem o modelo mudam, e.g.,
An = P−1AP
• Apesar das mudanc¸as no vetor de estados e nas matrizes do modelo, os po´los
(autovalores) do sistema continuam os mesmos.
| zI −A | = | zI − P−1AP |
• Diagonalizac¸a˜o da matriz de estados (quando todos os auto-valores sa˜o
distintos) e forma canoˆnica de Jordan.
v1 (1s/2006) 5-58
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Revisa˜o: Autovalor e Autovetor:
• Seja A uma matriz quadrada. Se existirem vetores v 6= 0 e λ tais que:
Av = λv
enta˜o v e´ um autovetor e λ e´ um autovalor de A.
Autovalores de A sa˜o as ra´ızes da equac¸a˜o: det(λI −A) = 0.
• Teorema: Autovetores associados a autovalores distintos sa˜o LI. Vetores LI
formam uma base de vetores.
• Teorema: Uma matriz A e´ diagonaliza´vel se existe uma base cujos
elementos sa˜o autovetores de A.
Exemplo: Seja A ∈ Re3×3, com autovetores distintos λ1, λ2eλ3 e
autovalores v1, v2ev3. Logo {v1, v2, v3} formam uma base de vetores e
P−1AP =

λ1 0 0
0 λ2 0
0 0 λ3
 , para
v1 (1s/2006) 5-59