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Universidade Federal de Pernambuco CCEN - Departamento de Física Física Experimental 1 - 2013.1 1 o Exercício Escolar - Data: 12/08/2013 Nome: Turma: 1. Uma chapa de alumínio é cortada na forma de um triângulo equilátero. Mede-se o comprimento L de uma das arestas usando uma régua com resolução de 1 cm, conforme a Figura 1a. (a) (1,0) Indique a leitura da medida l e sua incerteza σl na forma L = l ± σL. (b) (1,0) Determine as expressões para a área AT do triângulo e sua incerteza, em função de L e σL. (c) (0,5) Calcule então, a área AT do triângulo e sua incerteza. Expresse o resultado na forma A1 = AT ±σAT . (d) (1,0) Um furo circular de área AF = (20 ± 4) cm2 é feito na chapa, como mostra a Figura 1b. Calcule a área restante de alumínio e sua incerteza. 0 5 10 15 Figura 1a Figura 1b (cm) 2. O histograma da �gura abaixo foi elaborado a partir de dados obtidos no experimento de pêndulo simples realizado no laboratório e refere-se a medidas do período de um pêndulo simples com um cronômetro digital de resolução igual a 0, 01 s. As medidas são efetuadas para uma única oscilação. 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,10 2,20 Período T(s) 0 5 10 15 20 25 30 Fr eq uê nc ia A bs ol ut a 1 (a) (0,5) Qual o número N de medidas realizadas pelos estudantes? (b) (0,5) Determine a fração das medidas no intervalo [1, 72s ; 1, 90s[ . (c) (1,0) Determine o valor médio 〈T 〉 das medidas do período. Indique a expressão matemática utilizada em seus cálculos de�nindo claramente todas as quantidades utilizadas. (d) (1,0) Suponha que o desvio padrão seja σT (não precisa calcular esta quantidade). Estime o número mínimo de medidas que deve ser realizado para que a incerteza estatística seja menor ou igual à incerteza instrumental. Deixe sua resposta em função de σT . 3. No experimento de colisões um estudante observou que, após colidir com a mesa, a esfera alcança uma altura h menor que a altura de saída da rampa, H = (31, 90 ± 0, 05) cm (ver Figura). A diferença deve-se à dissipação de energia no primeiro impacto com a mesa. O estudante realizou as seguintes medidas de X1 e X2: X1(cm) 31, 20± 0, 05 31, 30± 0, 05 31, 05± 0, 05 31, 40± 0, 05 31, 50± 0, 05 X2(cm) 36, 31± 0, 05 37, 00± 0, 05 35, 60± 0, 05 35, 55± 0, 05 36, 10± 0, 05 X 1 X 2 H h A B C D (a) (1,0) Obtenha os valores médios 〈X1〉 e 〈X2〉; e as incertezas estatísticas associadas a estas quantidades. (b) (1,5) Calcule a velocidade vx com que a bola deixa a rampa e sua incerteza. Escreva na forma vx ± σvx . (c) (1,0) A perda de energia pode ser mensurada pelo coe�ciente de restituição γ = √ mgh/mgH. Supondo que a velocidade vx não muda durante o movimento, o coe�ciente de restituição é γ = (X2/2X1). Calcule γ e sua incerteza. Formulário: Propagação de incerteza: σ2f = [ ∂f(x, y) ∂x σx ]2 + [ ∂f(x, y) ∂y σy ]2 Desvio padrão: σ2x = 〈x2〉 − 〈x〉2 ; Desvio padrão da média: σ〈x〉 = σx√ N 2 1o. Exercício Escolar - Física Experimental 1 - 01.2013 Gabarito 1. Chapa de alumínio em forma de um triângulo equilátero (a) (1,0) O resultado da medida contém um algarismo duvidoso cujo valor podemos estimar pelo fato do instrumento de medida ser �analógico�. A incerteza neste caso é metade da menor divisão: σL = 0, 5 cm. Da �gura L = 14, 7± 0, 5 cm . (b) (1,0) Conforme a �gura abaixo, a área do triângulo equilátero é AT = (B ×H)/2 = (L · L · sen60)/2 = L2 · √ 3 4 , cuja incerteza é σAT = 2 · L · σL · √ 3 4 = √ 3 2 · L · σL . H B 60 o L (c) (0,5) A área do triângulo será, portanto, AT = 93.569714...± 6, 36528... cm2 → AT = 94± 6 cm2 . (d) (1,0) A área do restante do triângulo após fazermos o furo é AR = AT −AF = 94− 20 cm2, e a incerteza nesta quantidade é σAR = √ σ2AT + σ 2 AF = √ 62 + 42 cm2 = 7, 21 cm2 → 7 cm2, de modo que a área restante do triângulo será AR = 74± 7 cm2 . 2. (a) (0,5) O número N de medidas realizadas pelos estudantes é a soma das frequências absolutas mostradas no histograma: N = 1 + 0 + 2 + 17 + 23 + 20 + 25 + 7 + 3 + 0 + 2 = 100 . (b) (0,5) A fração fintervalo das medidas no intervalo [1, 72s ; 1, 90s[ é fintervalo = Nintervalo N = 17 + 23 + 20 100 = 0, 6 . 3 (c) (1,0) O valor médio 〈T 〉 das medidas do período é dada por 〈T 〉 = N∑ i=1 fi · Ti , onde fi é a frequência com a qual o período Ti é medido. No caso, Ti será a mediana dos intervalos registrados, de modo que a média dos períodos será 〈T 〉 = (1, 57 · 0, 01 + 1, 63 · 0, 00 + 1, 69 · 0, 03 + 1, 75 · 0, 17 + 1, 81 · 0, 23 + 1, 87 · 0, 20 + 1, 93 · 0, 25 + 1, 99 · 0, 07 + 2, 05 · 0, 03 + 2, 11 · 0 + 2, 17 · 0, 02) s ⇒ 〈T 〉 = 1, 8640 s (d) (1,0) A incerteza estatística é o desvio padrão da média σ〈T 〉 = σT / √ N . Para que esta quantidade seja menor que a incerteza instrumental σinst, supondo que o desvio padrão seja constante, obtemos que o número mínimo de medidas a serem feitas é de�nida por σT / √ N = σinst ⇒ N = ( σT σinst )2 . Apesar de não solicitado na questão (2), podemos calcular o desvio padrão através da expressão σT = √ 〈T 2〉 − 〈T 〉2 = √√√√ N∑ i=1 fi · T 2i − ( N∑ i=1 fi · Ti )2 〈T 2〉 = (1, 572 · 0, 01 + 1, 632 · 0, 00 + 1, 692 · 0, 03 + 1, 752 · 0, 17 + 1, 812 · 0, 23 + 1, 872 · 0, 20 + 1, 932 · 0, 25 + 1, 992 · 0, 07 + 2, 052 · 0, 03 + 2, 112 · 0 + 2, 172 · 0, 02) s2 〈T 2〉 = 3, 48396 s2 ⇒ σT = √ 3, 48396− 1, 86402s = 0, 09730 s → σT = 0, 1 s A incerteza instrumental é dada pela resolução do cronômetro, que é σinst = 0, 01 s e o número de medidas necessárias para que a incerteza estatística seja menor que a incerteza instrumental será N = (0, 1/0, 01)2 = 100. Isto signi�ca que o conjunto de medidas realizadas neste experimento satisfaz esta condição. 3. (a) (1,0) Os valores médios podem ser calculados pelas equações 〈X〉 = 1 N N∑ i=1 Xi ; σ 2 X = 1 N − 1 N∑ i=1 (Xi − 〈X〉)2 ; σ〈X〉 = σX√ N efetuando este cálculos obtemos: 〈X1〉 = 31, 29 cm σX1 = 0, 1746 cm σ〈X1〉 = 0, 0781 cm ⇒ X1 = 31, 29± 0, 08 cm 〈X2〉 = 36, 112 cm σX2 = 0, 592849 cm σ〈X2〉 = 0, 265130 cm ⇒ X2 = 36, 1± 0, 3 cm (b) (1,5) Conhecendo o alcance X1 da esfera e a altura H da qual ela foi lançada, a velocidade horizontal é obitada das equações da cinemática H = 1 2 g t2q → tq = √ 2H g = 0, 2554 s ; vx tq = X1 ⇒ 〈vx〉 = 〈X1〉 tq = 〈X1〉 √ g 2H = 1, 2251 m/s 4 A incerteza no tempo de queda é σtq = 1 2 √ 2 g · σHH3/2 e a incerteza na velocidade vx (em m/s) será σvx = √( ∂vx ∂X1 · σX1 )2 + ( ∂vx ∂tq · σtq )2 = √( σX1 tq )2 + (〈X1〉 t2q · σtq )2 σvx = 0, 003m/s A velocidade, portanto, será: vx = (1, 225± 0, 003) m/s (c) (1,0) O coe�ciente de restituição é γ = 〈X2〉 2 · 〈X1〉 = 36, 1 2 · 31, 112 = 0, 5769 , e a sua incerteza σγ = √( ∂γ ∂〈X1〉 · σ〈X1〉 )2 + ( ∂γ ∂〈X2〉 · σ〈X2〉 )2 = √( − 〈X2〉 2 · 〈X1〉2 · σ〈X1〉 )2 + ( σ〈X2〉 2 · 〈X1〉 )2 = 0, 0005 Com isto o coe�ciente de restituição é γ = 0, 5769± 0, 0005 5
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