Gab 1ºEE( Q3 e Q7)

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UFPE – CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA II
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 4 - 2015.1
GABARITO DO 1o EXERCI´CIO ESCOLAR - TURMAS: Q3 e Q7
15 de abril de 2015
Atenc¸a˜o: Leia a prova com atenc¸a˜o, raciocine e justifique suas respostas.
1aQuesta˜o (1,0) Obtenha a soluc¸a˜o do problema de valor inicial
y
′
+ y = 1− t, y(0) = 0.
RESPOSTA: Calculamos o fator integrante dado por µ(t) = exp(
∫
dt) = et. A
soluc¸a˜o geral do problema sera´:
y(t) = [µ(t)]−1
[∫
(1− t)µ(t) dt+ C
]
= 2− t+ C e−t,
onde C e´ uma constante a ser determinada. Usando a condic¸a˜o inicial, obtemos que
C = −2, e a soluc¸a˜o do problema e´ dada por y(t) = 2− t− 2 e−t.
2aQuesta˜o (2,5) Encontre o fator integrante e resolva a seguinte equac¸a˜o
(3xy + y2) + (x2 + xy)y
′
= 0.
RESPOSTA: Aqui temos que M(x, y) = 3xy + y2 e N(x, y) = x2 + xy, e o fator
integrante sera´ µ(x) dado por
µ(x) = exp
[∫
My −Nx
N
dx
]
= exp
[∫
1
x
dx
]
= x.
Temos agora a seguinte equac¸a˜o exata para resolver: (3x2y + xy2) + (x3 + x2y)y
′
= 0.
Fazendo φx(x, y) = 3x
2y + xy2, temos que
φ = x3y + x2y2/2 + g(y).
Diferenciando φ com respeito a y e igualando a x3 + x2y, obtemos que g(y) e´ constante.
Como φ(x, y) = C, onde C e´ uma constante, obtemos a soluc¸a˜o impl´ıcita do problema:
x3y + x2y2/2 = C
3aQuesta˜o (2,5) Resolva a equac¸a˜o homogeˆnea
y
′
=
2x− 5y
2x+ 4y
.
RESPOSTA: Substituindo y = x v(x) na equac¸a˜o homogeˆnea, obtemos a seguinte
equac¸a˜o separa´vel para v(x):
dv
dx
=
2− 7v − 4v2
x(2 + 4v)
,
a qual, apo´s integrar, da´
lnx+ (1/3) ln(4v − 1) + (2/3) ln(v + 2) = C,
onde C e´ uma constante arbitra´ria. A soluc¸a˜o para v(x) pode ser escrita ainda como
x3(4v − 1)(v + 2)2 = K,
onde K = e3C . A soluc¸a˜o do problema original sera´ dada implicitamente por
(4y − x)(y + 2x)2 = K.
4aQuesta˜o (2,0) Resolva a seguinte equac¸a˜o de Bernoulli:
dy
dx
+
y
x
= 2 x3 y4.
RESPOSTA: Fazendo v = y1−4 = y−3, obtemos a seguinte equac¸a˜o linear para v:
v
′ − 3v
x
= −6x3,
a qual pode ser resolvida pelo me´todo do fator integrante. O fator integrante sera´ dado
por
µ(x) = exp
[
−3
x
dx
]
= x−3,
e a soluc¸a˜o para v(x) sera´
v(x) = x3
[∫
(−6x3)x−3 dx+ C
]
= −6x4 + Cx3.
A soluc¸a˜o do problema original sera´ dada por
y−3 = −6x4 + Cx3.
5aQuesta˜o (2,0) Determine a soluc¸a˜o geral para o problema de valor inicial
y
′′
+ y
′ − 2y = 0 ; y(0) = y0 ; y′(0) = v0.
Qual deve ser a relac¸a˜o entre y0 e v0 para que limt→+∞ y(t) = 0 ?
RESPOSTA: A equac¸a˜o caracter´ıtica associada ao problema e´ p2 + p− 2 = 0, cujas
soluc¸o˜es sa˜o p = −2 e p = 1. A soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial sera´ dada por
y(t) = Ae−2t +Bet,
onde A e B sa˜o constante a serem determinadas. Aplicando a primeira condic¸a˜o inicial,
obtemos que A + B = y0. A segunda condic¸a˜o da´ A − 2B = v0. Obtemos enta˜o que
A = (2y0 − v0)/3 e B = (y0 − v0)/3. A soluc¸a˜o do problema de valor inicial sera´
y(t) = (2y0 − v0)e−2t/3 + (y0 − v0)et/3.
Para que limt→+∞ y(t) = 0, devemos fazer A = 0, de modo que 2y0 = v0.