Centro de Gravidade e Momentos de Inércia

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FACULDADE CATÓLICA DO TOCANTINS
CENTRO SUPERIOR POLITÉCNICO
ENGENHARIA AMBIENTAL E SANITÁRIA
RESISTÊNCIA DOS MATERIAS
LISTA 2 – Centro de Gravidade e Momentos de Inércia
PALMAS,
2018
CENTRO DE GRAVIDADE DE UM CORPO
Se um corpo for dividido em partículas mínimas, estas ficam sujeitas à ação da gravidade, isto é, em todas estas partículas está aplicada uma força vertical atuando de cima para baixo. A resultante de todas estas forças verticais e paralelas entre si constitui o peso do corpo. Mesmo mudando a posição do corpo aplicando-lhe uma rotação, ele permanecerá sempre sujeito à ação da gravidade. Isto significa que as forças verticais girarão em relação ao corpo, mas continuaram sempre paralelas e verticais. O ponto onde se cruzam as resultantes dessas forças paralelas, qualquer que seja a posição do corpo, chama-se Centro de Gravidade (CG).
O centro de gravidade pode ser definido também como o único ponto de um corpo ao redor do qual todas as partículas de sua massa estão igualmente distribuídas. O ponto através do qual a linha de ação do peso de um objeto atua, independentemente a posição do objeto. Local em um corpo onde é aplicado a resultante das forças peso, como se toda a massa do corpo estivesse concentrada neste ponto. 
O centro de gravidade de um corpo é o ponto onde pode ser considerada a aplicação da força da gravidade. Se as dimensões do corpo forem pequenas, em comparação ao tamanho da Terra, é possível demonstrar que o centro de gravidade praticamente coincide com o centro de massa. Conforme imagem abaixo.
Fig1: Centro de Gravidade 
O centro de massa coincide com o centro de gravidade do corpo humano pela razão posta em Propriedades e limitações dos conceitos de centro de massa e de centro de gravidade.
Fig2: Homem em posição ereta 
com braços pendentes ao lado do corpo.
A localização do centro de gravidade de um humano é relativa à forma como a pessoa se encontra, isto é, o centro de gravidade do nosso corpo pode ser facilmente deslocado conforme a postura que assumimos.
Um corpo pode ser considerado como sendo composto por pequenos segmentos, O peso resultante deste corpo corresponde ao somatório das forças peso que atuam em cada um deste segmentos, O local onde é aplicada a resultante das forças peso é o centro de gravidade.
MOMENTO DE INÉRCIA
O momento de inércia, ou momento de inércia de massa, expressa o grau de dificuldade em se alterar o estado de movimento de um corpo em rotação. Diferentemente da massa inercial (que é um escalar), o momento de inércia ou Tensor de Inércia também depende da distribuição da massa em torno de um eixo de rotação escolhido arbitrariamente. Quanto maior for o momento de inércia de um corpo, mais difícil será girá-lo ou alterar sua rotação. 
Sempre que uma carga distribuída atua perpendicularmente a uma área e sua intensidade varia linearmente, o cálculo do momento da distribuição de carga em relação a um eixo envolverá uma quantidade chamada momento de inércia de área.
RAIO DE GIRAÇÃO E MÓDULO DE RESISTÊNCIA DAS FIGURAS PLANAS
Define-se raio de giração como sendo a raiz quadrada da relação entre o momento de inércia e a área da superfície. A unidade do raio de giração é o comprimento. O Raio de Giração de uma área em relação a um eixo tem unidades de comprimento e é uma quantidade normalmente usada para projetos de coluna na mecânica estrutural. Se as áreas e momentos da inércia forem conhecidos os raios de giração serão determinados pelas seguintes fórmulas:
Fig3: Fòrmulas Raio de Giração
A forma dessas equações é facilmente lembrada, pois é semelhantes aquela usada para encontrar o momento de inércia para uma área diferencial em relação a um eixo. 
Define-se módulo resistente de uma superfície plana em relação aos eixos que contém o CG como sendo a razão entre o momento de inércia relativo ao eixo que passa pelo CG da figura e a distância máxima entre o eixo e a extremidade da seção estudada.
onde: ICG = momento de inércia da peça em relação ao CG da figura 
x, y = distância entre o eixo do CG da figura e a extremidade da peça.
A unidade do módulo resistente é [L]4/[L]=[L]3
O módulo resistente é utilizado para o dimensionamento de peças submetidas à flexão.
Para o retângulo, tem-se:
PRODUTO DE INÉRCIA
A propriedade de uma área chamada produto de inércia, é necessária para determinar os momentos de inércia máximos e mínimos para a área. Esses valores são propriedades importantes necessárias para projetar membros estruturais e mecânicos como vigas, colunas e eixos.
Como exemplo, mostraremos a definição do produto de inércia da figura a seguir:
O produto de inércia mede a anti-simetria da distribuição de massa de um corpo em relação a um par de eixos e em relação ao seu baricentro. A unidade de medida do produto de inércia, no SI, é: Kg/M2.
CÁLCULO DE MOMENTOS DE INÉRCIA DE CHAPAS PLANAS SIMPLES E COMPOSTAS, TEOREMAS DOS EIXOS PARALELOS OU TEOREMA DE STEINER.
Uma área composta consiste em uma série de partes ou formas mais simples conectadas, como retângulos, triângulos e círculos. Se o momento de inércia de cada uma dessas partes for conhecido ou puder ser determinado em relação a um eixo comum, então o momento de inércia da área composta em relação ao eixo é igual a soma algébrica dos momentos de inércia de todas as suas partes.
O momento de inércia para uma área composta em relação a um eixo de referência pode ser determinado assim:
Divida a área em suas partes compostas e indique a distância perpendicular ao centróide de cada parte até o eixo de referência. Se o eixo centroidal para cada parte não coincide com o eixo de referência, o teorema dos eixos paralelos (I=I+Ad2) deve ser usado para determinar o momento de inércia da parte em relação ao eixo de referência.
O teorema dos eixos paralelos pode ser usado para determinar o momento de inércia de uma área em relação a qualquer eixo que seja paralelo a um eixo passando pelo centróide e em relação ao momento de inércia é conhecido. 
O momento de Inércia para uma área em relação a um eixo é igual ao seu momento de inércia em relação a um eixo paralelo passando pelo centróide da área mais o produto da área e o quadrado da distância perpendicular entre os eixos.
REFERÊNCIAS
SILVA, Domiciano Correa Marques da. "Centro de gravidade (CG) "; Brasil Escola. Disponível em <https://brasilescola.uol.com.br/fisica/centro-gravidade-cg.htm>. Acesso em 25 de outubro de 2018.
SILVEIRA, Fernando Lang da. “Centro de gravidade do corpo humano“; Centro de Referencia para o Ensino de Física-CREF. Disponível em < https://www.if.ufrgs.br/novocref/?contact-pergunta=centro-de-gravidade-do-corpo-humano>. Acesso em 25 de outubro de 2018.