Prova01A_2012_1_Gabarito

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UnB - CÁLCULO I 
 
 
 
 
PROVA 01 - A (GABARITO) 
 
Aluno:__________________________________________ Matrícula:___________ Turma: ______ 
 
 
Questão 01 (3,0 pontos): Considere a função ݂: ℝ → ℝ, tal que: 
 
݂(ݔ) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
cos (2ݔ) + 2ܽ − ܾ, ݔ < 02 − √ݔ + 1ఱ , ݔ = 0
ݔ + 2ܽ − 1, 0 < ݔ < 2
−2ݔ + 3, ݔ ≥ 2 
 
em que ܽ e ܾ são constantes reais. Nessas condições, responda o que se pede: 
 
a) Determine )(lim
0
xf
x 
 e )(lim
0
xf
x 
 (1,0 ponto). 
b) Determine os valores de ܽ e ܾ para que a função seja contínua para (−∞, 2) (1,0 ponto). 
c) Esboce o gráfico de ݂(ݔ) utilizando os valores das constantes calculadas no item anterior 
(1,0 ponto). 
a) 
 
lim
௫→଴ି
݂(ݔ) = lim
௫→଴ି
cos(2ݔ) + 2ܽ − ܾ = 1 + 2ܽ − ܾ lim
௫→଴ା
݂(ݔ) = lim
௫→଴ା
ݔ + 2ܽ − 1 = 2ܽ − 1 
 
 
 
b) Para ݂(ݔ) ser contínua no intervalo (−∞, 2), deve ser contínua em ݔ = 0. Para ser contínua em 
ݔ = 0, tem que estar definido ݂(0). Sendo assim, ݂(0) = 2 − √0 + 1ఱ = 2 − 1 = 1 → ݂(0) = 1 
Para ser contínua em ݔ = 0, temos que lim௫→଴ ݂(ݔ) = ݂(0). Então, basta igualar os limites a 1: 
 
 
2ܽ − 1 = 1 → ܽ = 1 1 + 2ܽ − ܾ = 1 → 1 + 2 − ܾ = 1 → ܾ = 2 
 
c) Neste item, basta substituir os valores de a e b na função original. Veja: 
 
 
݂(ݔ) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
cos (2ݔ), ݔ < 01, ݔ = 0
ݔ + 1, 0 < ݔ < 2
−2ݔ + 3, ݔ ≥ 2 
 
DATA 
16/04/2012 
(0,50) 
(0,50) 
(0,25) 
(0,50) 
(0,50) 
* Nota máxima deste item: (1,00) 
(0,25) 
(0,25) 
Bola aberta: (0,25) 
(0,25) 
Bola fechada: (0,25) 
* Nota máxima deste item: (1,00) 
(0,25) 
Questão 02 (2,0 pontos): Considere as seguintes informações sobre ݂(ݔ): 
 
a) ܦ = {ݔ ∈ ℝ/ ݔ ≠ 3}, ܫ݉ = {ݕ ∈ ℝ/ ݕ ≤ 5} 
b) A função é uma senóide em (−∞, 0) 
c) 0)(lim
0


xf
x
 
d) 3)(lim
0


xf
x
 
e) ݂(0) = 1 
f) 3)(lim
2


xf
x
 
g) Cxf
x


)(lim
3
, onde C representa o número correspondente à primeira letra de seu 
sobrenome. 
 
h) A função é decrescente para ݔ > 3 
 
Com base nessas informações sobre ݂(ݔ), faça dois possíveis esboços de seu gráfico. 
 
Os itens desta questão indicam algumas características do gráfico. Existem, portanto, infinitas 
soluções. A questão solicita que o estudante apresente duas com base em sua criatividade! 
Na letra (g), se a letra é “F”, então lim
௫→ଷ
݂(ݔ) = −6 
Seguem duas soluções possíveis: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
1 
3 
f (0) = 1 (0,10) 
Qualquer senóide para 
x positivo: (0,10) 
Limite em x tendendo a 0+ = 3: (0,10) 
Limite em x tendendo a 3 = -C=-6: (0,10) 
Não definida em x = 3: (0,10) 
- 6 
Imagem: y ≤ 5: (0,10) (Desconsiderar o caso 
de y não estar definido em y = -C) 
 
* Qualquer nota entre 0,80 e 1,10, considerar 
igual a 1,00. 
 
 
Repetir as mesmas considerações para o 
segundo gráfico. 
 
“Bola” aberta para função à 
direita de x=0: (0,10) 
Decrescente para x ≥ 3: (0,10) 
“Bola” aberta para função 
à esquerda de x=0: (0,10) 
Limite em x tendendo 
a 0- = 0: (0,10) 
Limite em x tendendo a 2 = 3: (0,10) 
3 
1 
3 
- 6 
 
Questão 03 (5,0 pontos): Determine os limites abaixo: 
 
a) 240 5
1)5(lim
xx
xsen
x 


 (1,0 ponto) 
 
Como o numerador é sempre negativo e o denominador tende 0 zero por valores positivos, segue 
que: lim
௫→଴
ݏ݁݊(5ݔ)− 1
ݔସ + 5ݔଶ = −∞ 
 
 
 
 
b) 
6
26lim 23 

 xx
x
x
 (1,0 ponto) 
 lim
௫→ଷ
6 − 2ݔ
ݔଶ − ݔ − 6 = lim௫→ଷ −2(ݔ − 3)(ݔ − 3)(ݔ + 2) = lim௫→ଷ −2ݔ + 2 = − 25 
 
 
 
c) 
1
22
lim
1 

 t
t
t
 (1,0 ponto) 
 lim
௧→ଵ
|2ݐ − 2|
√ݐ − 1 = lim௧→ଵ 2|ݐ − 1|√ݐ − 1 ∙ √ݐ + 1√ݐ + 1 = lim௧→ଵ 2|ݐ − 1|൫√ݐ + 1൯ݐ − 1 = ? 
 
 
Para resolução do módulo, devemos trabalhar os limites laterais: 
 
i) Pela esquerda: lim
௧→ଵି
|2ݐ − 2|
√ݐ − 1 = lim௧→ଵି 2|ݐ − 1|൫√ݐ + 1൯ݐ − 1 = lim௧→ଵି−2(ݐ − 1)൫√ݐ + 1൯(ݐ − 1) = − 4 
 
ii) Pela direita: lim
௧→ଵା
|2ݐ − 2|
√ݐ − 1 = lim௧→ଵା 2|ݐ − 1|൫√ݐ + 1൯ݐ − 1 = lim௧→ଵା 2(ݐ − 1)൫√ݐ + 1൯(ݐ − 1) = 4 
 
Como os limites laterais são diferentes, segue que: 
 lim
௧→ଵ
|2ݐ − 2|
√ݐ − 1 = ∄ 
 
 
 
 
 
(0,25) 
Divisão do problema para análise dos 
limites laterais: (0,25) 
 (0,25) 
 (0,25) 
 (0,25) 
(0,50) 
(0,50) 
* Nota máxima deste item: (1,00) 
Erro de sinal: (-0,25) 
Erro de sinal: (-0,50) 
(1,00) 
d) 
25
2
35
110lim
xx
xx
x 


 (1,0 ponto) 
 
A resposta correta para este problema é que não é possível calcular o limite, pois a função que 
estamos calculando o limite não está definida para valores negativos. 
Mesmo assim, é possível avaliar a questão considerando que o estudante não percebeu a exceção do 
domínio e continuou a resolução como se fosse ݔ → +∞. No caso do estudante ter continuado a 
resolução de outro modo, considerar a seguinte distribuição de pontos: 
 
lim
௫→ାஶ
10√ݔ − ݔଶ + 15√ݔହ − 3ݔଶ = lim௫→ାஶ 10ݔଵଶ − ݔଶ + 15ݔହଶ − 3ݔଶ = lim௫→ାஶ
ݔଶ ൭
10ݔଵଶ
ݔଶ −
ݔଶ
ݔଶ + 1ݔଶ൱
ݔ
ହ
ଶ ൭5ݔହଶ
ݔ
ହ
ଶ
−
3ݔଶ
ݔ
ହ
ଶ
൱
= 
 
 
 = lim
௫→ାஶ
10
ݔ
ଷ
ଶ
− 1 + 1ݔଶ
ݔ
ଵ
ଶ ቆ5 − 3
ݔ
ଵ
ଶ
ቇ
= 0 
 
 
e) 
1
)1(3lim 21 

 x
xsen
x
 (1,0 ponto) 
 
 lim
௫→ଵ
3 ݏ݁݊(ݔ − 1)
ݔଶ − 1 = lim௫→ଵ 3 ݏ݁݊(ݔ − 1)(ݔ − 1)(ݔ + 1) = 32 
 
 
 
Na resolução acima, foi observado que lim௫→ଵ ௦௘௡(௫ିଵ)(௫ିଵ) = 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Boa Prova! 
 (0,50) 
 (0,50) 
 (0,50) 
 (0,50) 
 (1,00)