Prova01B_2012_1_Gabarito

Prévia do material em texto

UnB - CÁLCULO I 
 
 
 
 
PROVA 01 – B (GABARITO) 
 
Aluno:__________________________________________ Matrícula:___________ Turma: ______ 
 
 
Questão 01 (3,0 pontos): Considere a função ݂: ℝ → ℝ, tal que: 
 
݂(ݔ) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
sen(2ݔ) + ܽ − 3ܾ, ݔ < 010ݔ଻ − 9ݔ଺ + 8ݔହ − 7ݔସ + 6ݔଷ − 5ݔଶ + 4ݔ − 3, ݔ = 02ݔ + 2ܽ − 3, 0 < ݔ < 21 − 3ݔ, ݔ ≥ 2 
 
em que ܽ e ܾ são constantes reais. Nessas condições, responda o que se pede: 
 
a) Determine )(lim
0
xf
x 
 e )(lim
0
xf
x 
 (1,0 ponto). 
b) Determine os valores de ܽ e ܾ para que a função seja contínua para (−∞, 2) (1,0 ponto). 
c) Esboce o gráfico de ݂(ݔ) utilizando os valores das constantes calculadas no item anterior 
(1,0 ponto). 
a) 
 
lim
௫→଴ି
݂(ݔ) = lim
௫→଴ି
sen(2ݔ) + ܽ − 3ܾ = ܽ − 3ܾ lim
௫→଴ା
݂(ݔ) = lim
௫→଴ା
2ݔ + 2ܽ − 3 = 2ܽ − 3 
 
 
 
b) Para ݂(ݔ) ser contínua no intervalo (−∞, 2), deve ser contínua em ݔ = 0. Para ser contínua em 
ݔ = 0, tem que estar definido ݂(0). Sendo assim, ݂(0) = −3. 
Para ser contínua em ݔ = 0, temos que lim௫→଴ ݂(ݔ) = ݂(0). Então, basta igualar os limites a 1: 
 
 
2ܽ − 3 = −3 → ܽ = 0 
ܽ − 3ܾ = −3 → 0 − 3ܾ = −3 → ܾ = 1 
 
c) Neste item, basta substituir os valores de a e b na função original. Veja: 
 
 
݂(ݔ) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
sen(2ݔ)− 3, ݔ < 0
−3, ݔ = 02ݔ − 3, 0 < ݔ < 21 − 3ݔ, ݔ ≥ 2 
 
DATA 
16/04/2012 
(0,50) 
(0,50) 
(0,25) 
(0,50) 
(0,50) 
* Nota máxima deste item: (1,00) 
(0,25) 
(0,25) 
Bola aberta: (0,25) 
(0,25) 
Bola fechada: (0,25) 
* Nota máxima deste item: (1,00) 
(0,25) 
Questão 02 (2,0 pontos): Considere as seguintes informações sobre ݂(ݔ): 
 
a) ܦ = {ݔ ∈ ℝ/ ݔ ≠ 2}, ܫ݉ = {ݕ ∈ ℝ/ ݕ ≥ −5} 
b) A função é uma senóide em (−∞, 0) 
c) 0)(lim
0


xf
x
 
d) 1)(lim
0


xf
x
 
e) ݂(0) = 3 
f) 1)(lim
1


xf
x
 
g) Cxf
x


)(lim
2
, onde C representa o número correspondente à primeira letra de seu 
sobrenome. 
 
h) A função é crescente para ݔ > 2 
 
Com base nessas informações sobre ݂(ݔ), faça dois possíveis esboços de seu gráfico. 
 
Os itens desta questão indicam algumas características do gráfico. Existem, portanto, infinitas 
soluções. A questão solicita que o estudante apresente duas com base em sua criatividade! 
Na letra (g), se a letra é “F”, então lim
௫→ଶ
݂(ݔ) = −6 
Seguem duas soluções possíveis: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
3 
f (0) = 3 (0,10) 
Qualquer senóide para 
x positivo: (0,10) 
Limite em x tendendo 
 a 0+ = 1: (0,10) 
Limite em x tendendo a 2 = C=6: (0,10) 
Não definida em x = 2: (0,10) 
1 
Imagem: y ≥ -5: (0,10) (Desconsiderar o 
caso de y não estar definido em y = -C) 
 
* Qualquer nota entre 0,80 e 1,10, considerar 
igual a 1,00. 
 
 
Repetir as mesmas considerações para o 
segundo gráfico. 
 
“Bola” aberta para função à 
direita de x=0: (0,10) 
Crescente para x ≥ 2: (0,10) 
“Bola” aberta para função 
à esquerda de x=0: (0,10) 
Limite em x tendendo 
a 0- = 0: (0,10) 
Limite em x tendendo a 1 = 1: (0,10) 
-5 
1 
3 
-5 
1 
Questão 03 (5,0 pontos): Determine os limites abaixo: 
 
a) 41 )1(
2lim


 x
xsen
x
 (1,0 ponto) 
 
Como o numerador é sempre positivo e o denominador tende 0 zero por valores positivos, segue 
que: lim
௫→ଵ
2 − ݏ݁݊√ݔ(ݔ − 1)ସ = +∞ 
 
 
 
b) 
54
25lim 2
2
5 

 xx
x
x
 (1,0 ponto) 
 lim
௫→ହ
25 − ݔଶ
ݔଶ − 4ݔ − 5 = lim௫→ହ (5 − ݔ)(5 + ݔ)(ݔ − 5)(ݔ + 1) = lim௫→ହ−(ݔ − 5)(ݔ + 5)(ݔ − 5)(ݔ + 1) = −106 = − 53 
 
 
 
 
c) 
t
tt
t 

 2
2
lim
2
2
 (1,0 ponto) 
 lim
௧→ଶ
|ݐଶ − 2ݐ|
√2 − √ݐ = lim௧→ଶ |ݐଶ − 2ݐ|√2 − √ݐ ∙ √2 + √ݐ√2 + √ݐ = lim௧→ଶ |ݐ||ݐ − 2|൫√2 + √ݐ൯−(ݐ − 2) = ? 
 
 
Para resolução de |ݐ − 2|, devemos trabalhar os limites laterais: 
 
i) Pela esquerda: lim
௧→ଶି
|ݐଶ − 2ݐ|
√2 − √ݐ = lim௧→ଶି |ݐ||ݐ − 2|൫√2 + √ݐ൯−(ݐ − 2) = lim௧→ଶି−|ݐ|(ݐ − 2)൫√2 + √ݐ൯−(ݐ − 2) = 4√2 
 
ii) Pela direita: lim
௧→ଶା
|ݐଶ − 2ݐ|
√2 − √ݐ = lim௧→ଶା |ݐ||ݐ − 2|൫√2 + √ݐ൯−(ݐ − 2) = lim௧→ଶା |ݐ|(ݐ − 2)൫√2 + √ݐ൯−(ݐ − 2) = − 4√2 
 
Como os limites laterais são diferentes, segue que: 
 lim
௧→ଶି
|ݐଶ − 2ݐ|
√2 − √ݐ = ∄ 
 
 
 
 
 
Erro de sinal: (-0,50) 
(1,00) 
(0,50) 
(0,50) 
Erro de sinal: (-0,25) 
(0,25) 
Divisão do problema para análise dos 
limites laterais: (0,25) 
 (0,25) 
 (0,25) 
 (0,25) 
* Nota máxima deste item: (1,00) 
d) 
35
102lim
5
2


 x
xx
x
 (1,0 ponto) 
 
lim
௫→ାஶ
2 + 10ݔ − ݔଶ5√ݔହ − 3 = lim௫→ାஶ 2 + 10ݔ − ݔଶ5ݔହଶ − 3 = lim௫→ାஶ ݔଶ ൬
2
ݔଶ + 10ݔݔଶ − ݔଶݔଶ൰
ݔ
ହ
ଶ ൭5ݔହଶ
ݔ
ହ
ଶ
−
3
ݔ
ହ
ଶ
൱
= 
 
 
 = lim
௫→ାஶ
2
ݔଶ + 10ݔ − 1
ݔ
ଵ
ଶ ቆ5 − 3
ݔ
ହ
ଶ
ቇ
= 0 
 
 
e) 
2
)1(lim 21 

 xx
xsen
x
 (1,0 ponto) 
 
 lim
௫→ଵ
ݏ݁݊(ݔ − 1)
ݔଶ + ݔ − 2 = lim௫→ଵ ݏ݁݊(ݔ − 1)(ݔ − 1)(ݔ + 2) = 13 
 
 
 
Na resolução acima, foi observado que lim௫→ଵ ௦௘௡(௫ିଵ)(௫ିଵ) = 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Boa Prova! 
 (0,50) 
 (0,50) 
 (0,50) 
 (0,50)