4928 EP4 CIV 2008 2 tutor

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Ca´lculo IV – EP4 – Tutor
Exerc´ıcio 1: Seja
I =
∫∫∫
W
f(x, y, z) dV =
∫
1
−1
∫
1
x2
∫
1−y
0
f(x, y, z)dzdydx .
Reescreva a integral como uma integral iterada equivalente na ordem
a) dzdxdy b) dydzdx c) dydxdz d) dxdzdy e) dxdydz
Soluc¸a˜o: Temos que
W =
{
(x, y, z) | −1 ≤ x ≤ 1 , x2 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1− y} .
Enta˜o W e´ um so´lido cuja projec¸a˜o no plano xy e´ a regia˜o Dxy :
{
−1 ≤ x ≤ 1
x2 ≤ y ≤ 1 e esta´ limitado
inferiormente pelo plano z = 0 e esta´ limitado superiormente pelo plano z = 1 − y. Com esta
descric¸a˜o podemos esboc¸ar W :
x
y
z
W−1
1
1
1
x
y
Dxy
x = −√y x = √y
−1 1
1
a) Para reescrever I na ordem dzdxdy, devemos descrever Dxy como uma regia˜o do tipo II:
Dxy :
{
0 ≤ y ≤ 1
−√y ≤ x ≤ √y .
Enta˜o:
I =
∫
1
0
∫ √y
−
√
y
∫
1−y
0
f(x, y, z) dzdxdy .
Ca´lculo IV EP4 – Tutor 2
b) Para reescrever I na ordem dydzdx, devemos projetar W no plano xz. De y = x2 e z = 1− y,
temos z = 1−x2 (para´bola no plano xz) que consiste na projec¸a˜o da intersec¸a˜o do cilindro parabo´lico
y = x2 com o plano z = 1 − y, sobre o plano xz. Portanto, o esboc¸o de Dxz, projec¸a˜o de W no
plano xz esta´ representado na figura que se segue.
x
z
Dxz
z = 1− x2 ⇒ x2 = 1− z ⇒ x = ±√1− z
−1 1
1
Considerando um ponto (x, y, z) no interior de W e trac¸ando por ele uma reta paralela ao eixo y,
vemos que esta reta intercepta a fronteira de W inicialmente na superf´ıcie y = x2 e em seguida no
plano y = 1− z. Logo, x2 ≤ y ≤ 1− z e definimos W por:
W =
{
(x, y, z) | (x, z) ∈ Dxz e x2 ≤ y ≤ 1− z
}
.
Descrevendo Dxz como regia˜o do tipo I, temos:
Dxz :
{
−1 ≤ x ≤ 1
0 ≤ z ≤ 1− x2 .
Enta˜o:
I =
∫∫
Dxz
∫
1−z
x2
f(x, y, z) dydxdz =
∫
1
−1
∫
1−x2
0
∫
1−z
x2
f(x, y, z) dydzdx .
c) Descrevendo Dxz como tipo II, temos:
Dxz :
{
0 ≤ z ≤ 1
−√1− z ≤ x ≤ √1− z .
Logo:
I =
∫
1
0
∫ √
1−z
−
√
1−z
∫
1−z
x2
f(x, y, z) dydxdz .
d) Agora, projetando W no plano yz, encontramos a regia˜o Dyz representado na figura a seguir.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV EP4 – Tutor 3
y
z
Dyz
y + z = 1 ⇒
{
z = 1− y
y = 1− z
1
1
Por um ponto (x, y, z) no interior de W trac¸amos uma reta paralela ao eixo x, que intercepta a
fronteira lateral de W , na superf´ıcie de equac¸a˜o y = x2, donde x = ±√y. Logo, −√y ≤ x ≤ √y.
Enta˜o:
W = {(x, y, z) | (y, z) ∈ Dyz e −√y ≤ x ≤ √y} .
Descrevendo Dyz como tipo I, temos:
Dyz :
{
0 ≤ y ≤ 1
0 ≤ z ≤ 1− y .
Enta˜o:
I =
∫
1
0
∫
1−y
0
∫ √y
−
√
y
f(x, y, z) dxdzdy .
e) Descrevendo Dyz como tipo II, temos:
Dyz :
{
0 ≤ z ≤ 1
0 ≤ y ≤ 1− z .
Logo:
I =
∫
1
0
∫
1−z
0
∫ √y
−
√
y
f(x, y, z) dxdydz .
Exerc´ıcio 2: Calcule o volume do so´lido W limitado pelas superf´ıcies z = −y, y = x2 − 1 e z = 0.
Soluc¸a˜o: Primeiramente, esboc¸amos o cilindro parabo´lico y = x2 − 1. Em seguida, desenhamos
o plano bissetor z = −y, destacando alguns pontos comuns: A = (0,−1, 1), B = (1, 0, 0) e
C = (−1, 0, 0). Ligamos esses pontos por uma curva que representa a intersec¸a˜o das duas superf´ıcies.
Considerando que o so´lido e´ limitado pelo plano z = 0, temos o so´lido W representado na figura que
se segue.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV EP4 – Tutor 4
x
y
z
W
z = −y
z = 0
A
B
C
−1 −1
1
1
x
y
y = 0
y = x2 − 1
Dxy
−1
−1 1
Projetando W sobre o plano xy, encontramos a regia˜o Dxy :
{
−1 ≤ x ≤ 1
x2 − 1 ≤ y ≤ 0 . Por um ponto
(x, y, z) no interior de W , trac¸amos uma reta paralela ao eixo z. Essa reta intercepta a fronteira
inferior de W no plano xy onde z = 0 e intercepta a fronteira superior no plano z = −y. Logo,
0 ≤ z ≤ −y. Assim:
W = {(x, y, z) | (x, y) ∈ Dxy , 0 ≤ z ≤ −y} .
Enta˜o:
V (W ) =
∫∫∫
W
dV =
∫∫
Dxy
∫ −y
0
dzdxdy =
∫∫
Dxy
(−y) dxdy = −
∫
1
−1
∫
0
x2−1
y dydx =
= −
∫
1
−1
[
y2
2
]0
x2−1
dx =
1
2
∫
1
−1
(
x2 − 1)2 dx = 1
2
∫
1
−1
(
x4 − 2x2 + 1) dx = 1
2
[
x5
5
− 2x
3
3
+ x
]1
−1
=
=
1
2
(
2
5
− 4
3
+ 2
)
=
8
15
u.v.
Exerc´ıcio 3: Calcule
∫∫∫
W
24z dxdydz, onde W e´ o so´lido limitado por x + y + z = 2, x = 0,
y = 0, z = 0 e z = 1.
Soluc¸a˜o: Em primeiro lugar, trac¸amos o plano x+y+z = 2 e em seguida esboc¸amos o plano z = 1.
Considerando que W e´ limitado pelos planos x = 0 e y = 0, temos o esboc¸o de W na figura que se
segue.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV EP4 – Tutor 5
x
y
z
W
y = 0
y = 2− x− z
1
2
2
2
x
z
Dxzx = 0
x+ z = 2
x = 2− z
1
1 2
2
Projetando W sobre o plano xz temos a regia˜o Dxz dada por:
Dxz :
{
0 ≤ z ≤ 1
0 ≤ x ≤ 2− z .
Considerando uma paralela ao eixo y por um ponto (x, y, z) no interior de W , vemos que essa
paralela intercepta a fronteira de W no plano xz onde y = 0 e depois no plano x+ y + z = 2 onde
y = 2− x− z. Logo, 0 ≤ y ≤ 2− x− z. Assim:
W = {(x, y, z) | (x, z) ∈ Dxz e 0 ≤ y ≤ 2− x− z} .
Enta˜o:∫∫∫
W
24z dV = 24
∫∫
Dxz
∫
2−x−z
0
z dydxdz = 24
∫∫
Dxz
z(2− x− z)dxdz =
= 24
∫
1
0
∫
2−z
0
(
2z − xz − z2)dxdz = 24∫ 1
0
[
2zx− x
2z
2
− z2x
]2−z
0
dz =
= 24
∫
1
0
[
2z(2− z)− (2− z)
2z
2
− z2(2− z)
]
dz = 24
∫
1
0
(
4z − 2z2 − 4z − 4z
2 + z3
2
− 2z2 + z3
)
dz =
= 12
∫
1
0
(
8z − 4z2 − 4z + 4z2 − z3 − 4z2 + 2z3) dz = 12∫ 1
0
(
4z − 4z2 + z3) dz =
= 12
[
2z2 − 4z
3
3
+
z4
4
]1
0
= 12
(
2− 4
3
+
1
4
)
= 11 .
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV EP4 – Tutor 6
Exerc´ıcio 4: Determine a massa e o centro de massa do so´lidoW limitado pelas superf´ıcies z = 1−y2,
x+ z = 1, x = 0 e z = 0, sendo a densidade dada por δ(x, y, z) = 4.
Soluc¸a˜o: Em primeiro lugar, trac¸amos o cilindro parabo´lico z = 1 − y2. Em seguida esboc¸amos o
plano x+z = 1, destacando alguns pontos comuns a`s duas superf´ıcies: A = (0, 0, 1), B = (1,−1, 0)
e C = (1, 1, 0). Liguemos estes treˆs pontos por uma curva que representa a intersec¸a˜o das duas
superf´ıcies. Considerando que W e´ limitado por x = 0 (plano yz) e z = 0 (plano xy), temos o
esboc¸o de W na figura que se segue.
x y
z
W
x = 0
x = 1− z
A
B
C
−1
1
11
y
z
Dyz
−1 1
1
Projetando W sobre o plano yz temos:
Dyz :
{
−1 ≤ y ≤ 1
0 ≤ z ≤ 1− y2 .
Por (x, y, z) no interior de W , trac¸amos uma reta paralela ao eixo x, que corta o plano yz em x = 0
e corta o plano x+ z = 1 em x = 1− z. Enta˜o 0 ≤ x ≤ 1− z.
Assim, definimos W por:
W = {(x, y, z) | (y, z) ∈ Dyz e 0 ≤ x ≤ 1− z} .
Como a massa M e´ dada por M =
∫∫∫
W
δ(x, y, z) dV enta˜o:
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV EP4 – Tutor 7
M = 4
∫∫∫
W
dV
= 4
∫∫
Dyz
∫
1−z
0
dxdydz
= 4
∫∫
Dyz
(1− z) dydz
= 4
∫
1
−1
∫
1−y2
0
(1− z) dzdy
= 4
∫
1
−1
[
z − z
2
2
]1−y2
0
dy
= 4
∫
1
−1
(
1− y2 − 1− 2y
2 + y4
2
)
dy
= 2
∫
1
−1
(
2− 2y2 − 1 + 2y2 − y4) dy
= 2
∫
1
−1
(
1− y4) dy
= 2
[
y − y
5
5
]1
−1
= 2
(
2− 2
5
)
=
16
5
u.m.
Como a densidade δ(x, y, z) = 4 (constante) e o so´lido W tem simetria em relac¸a˜o ao plano xz, o
centro de massa esta´ no plano xz. Logo, y = 0,
Mx =
∫∫∫
W
xδ(x, y, z) dV
e
Mz =
∫∫∫
W
zδ(x, y, z) dV .
Ca´lculode
∫∫∫
W
xδ(x, y, z) dV = 4
∫∫∫
W
x dV
Temos:
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV EP4 – Tutor 8
∫∫∫
W
x dV =
∫∫
Dyz
∫
1−z
0
x dxdydz
=
∫∫
Dyz
[
x2
2
]1−z
0
dydz
=
1
2
∫∫
Dyz
(1− z)2dydz
=
1
2
∫
1
−1
∫
1−y2
0
(1− z)2dzdy
=
−1
2
∫
1
−1
[
(1− z)3
3
]1−y2
0
dy
=
−1
6
∫
1
−1
[(
1− 1 + y2)3 − 1] dy
=
−1
6
∫
1
−1
(
y6 − 1) dy
=
−1
6
[
y7
7
− y
]1
−1
=
−1
6
(
2
7
− 2
)
=
2
7
.
Logo, ∫∫∫
W
xδ(x, y, z) dV =
8
7
,
donde
16
5
x =
8
7
ou
x =
5
14
.
Ca´lculo de
∫∫∫
W
zδ(x, y, z) dV = 4
∫∫∫
W
z dV
Temos:
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV EP4 – Tutor 9
∫∫∫
W
z dV =
∫∫
Dyz
∫
1−z
0
z dxdydz
=
∫∫
Dyz
(1− z)z dydz
=
∫
1
−1
∫
1−y2
0
(z − z2) dzdy
=
∫
1
−1
[
z2
2
− z
3
3
]1−y2
0
dy
=
∫
1
−1
(
1− 2y2 + y4
2
− 1− 3y
2 + 3y4 − y6
3
)
dy
=
1
6
∫
1
−1
(
1− 3y4 + 2y6) dy
=
1
6
[
y − 3y
5
5
+
2y7
7
]1
−1
=
1
3
(
1− 3
5
+
2
7
)
=
8
35
.
Logo, ∫∫∫
W
zδ(x, y, z) dV =
32
35
donde
16
5
z =
32
35
ou
z =
2
7
.
Assim, o centro de massa localiza-se em
(
5
14
, 0,
2
7
)
.
Exerc´ıcio 5: Determine a massa e o momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao eixo z do so´lido W no
primeiro octante, limitado pelas superf´ıcies x2 + y2 = 1, y = z, x = 0 e z = 0, sendo a densidade
dada por δ(x, y, z) = 1 + x.
Soluc¸a˜o: No primeiro octante trac¸amos o cilindro x2 + y2 = 1. Depois, o plano bissetor y = z,
obtendo os pontos comuns A = (1, 0, 0) e B = (0, 1, 1). Ligando A e B por uma curva que
representa a intersec¸a˜o do cilindro com o plano e considerando que W e´ limitado pelos planos x = 0
e z = 0, obtemos o esboc¸o do so´lido W na figura que se segue.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV EP4 – Tutor 10
x
y
z
W
z = y
z = 0
A
B
1
1
1
Projetando W sobre o plano xy, encontramos Dxy:
x
y
Dxy
1
1
Por um ponto (x, y, z) no interior de W trac¸amos uma reta paralela ao eixo z, vemos que a reta
intercepta a fronteira inferior no plano xy onde z = 0 e intercepta a fronteira superior no plano
z = y. Logo, 0 ≤ z ≤ y. Enta˜o:
W = {(x, y, z) | (x, y) ∈ Dxy e 0 ≤ z ≤ y} .
Temos que a massa M e´ dada por
M =
∫∫∫
W
δ(x, y, z) dV
ou
M =
∫∫∫
W
(1 + x) dV =
∫∫
Dxy
∫ y
0
(1 + x) dzdxdy =
∫∫
Dxy
(1 + x)y dxdy .
Passando para coordenadas polares, temos:
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV EP4 – Tutor 11
M =
∫∫
Drθ
(1 + r cos θ)r sen θr drdθ
=
∫∫
Drθ
(
r2 sen θ + r3 cos θ sen θ
)
drdθ
=
∫
1
0
∫ pi/2
0
(
r2 sen θ + r3 cos θ sen θ
)
dθdr
=
∫
1
0
[
−r2 cos θ + r
3 sen2 θ
2
]pi/2
0
dr
=
∫
1
0
(
r2 +
r3
2
)
dr
=
[
r3
3
+
r4
8
]1
0
=
11
24
u.m.
O momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao eixo z e´ dado por:
Iz =
∫∫∫
W
(
x2 + y2
)
δ(x, y, z) dV
=
∫∫∫
W
(
x2 + y2
)
(1 + x) dV
=
∫∫
Dxy
∫ y
0
(
x2 + y2
)
(1 + x) dzdxdy
=
∫∫
Dxy
(
x2 + y2
)
(1 + x)y dxdy
=
∫∫
Drθ
r2(1 + r cos θ)r sen θr drdθ
=
∫∫
Drθ
(
r4 sen θ + r5 cos θ sen θ
)
drdθ
=
∫
1
0
∫ pi/2
0
(
r4 sen θ + r5 cos θ sen θ
)
dθdr
=
∫
1
0
[
−r4 cos θ + r
5 sen2 θ
2
]pi/2
0
dr
=
∫
1
0
(
r4 +
r5
2
)
dr
=
[
r5
5
+
r6
12
]1
0
=
17
60
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV EP4 – Tutor 12
Exerc´ıcio 6: Mostre que o momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao eixo z de um so´lido homogeˆneo W
limitado pelas superf´ıcies x2 +z2 = a2, a > 0, y = −L/2 e y = L/2 e´ igual a Iz = 1
12
M (3a2 + L2),
onde M e´ a massa do so´lido.
Soluc¸a˜o: O esboc¸o de W esta´ representado na figura a seguir.
x
y
z
W
y = −L/2
y = L/2
−L/2
L/2
a
a
x
z
Dxz
a
a
Temos que:
W =
{
(x, y, z) | (x, z) ∈ Dxz : x2 + z2 ≤ a2 e − L/2 ≤ y ≤ L/2
}
.
O momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao eixo z e´ dado por:
Iz =
∫∫∫
W
(
x2 + y2
)
δ(x, y, z) dV = k
∫∫∫
W
(
x2 + y2
)
dV = k
∫∫
Dxz
∫ L/2
−L/2
(
x2 + y2
)
dydxdz =
= k
∫∫
Dxz
[
x2y +
y3
3
]L/2
−L/2
dxdz = k
∫∫
Dxz
(
x2L+
L3
12
)
dxdz =
= k
∫
2pi
0
∫ a
0
(
r2 cos2 θL+
L3
12
)
r drdθ = k
∫
2pi
0
∫ a
0
(
r3 cos3 θL+
L3
12
r
)
drdθ =
= k
∫
2pi
0
(
a4
4
L cos2 θ +
a2L3
24
)
dθ = k
(
a4
4
Lpi +
a2L3pi
12
)
=
ka2Lpi
12
(
3a2 + L2
)
.
Mas,
M =
∫∫∫
W
δ(x, y, z) dV = k
∫∫∫
W
dV = kV (W ) = kpia2L .
Logo:
Iz =
M
12
(
3a2 + L
)
como quer´ıamos mostrar.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ