gabarito aula 21

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Geom. Anal´ıtica I Respostas do Mo´dulo I - Aula 21 1
Geometria Anal´ıtica I
29/04/2011
Respostas dos Exerc´ıcios do Mo´dulo I - Aula 21
Aula 21
1. a. Trata-se da hipe´rbole de centro na origem, semi-eixo real vertical de
comprimento a = 4 e semi-eixo imagina´rio horizontal de comprimento
b = 3. Assim, o gra´fico e´
b. Trata-se da hipe´rbole de centro na origem, semi-eixo real vertical de
comprimento a = 4 e semi-eixo imagina´rio horizontal de comprimento
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b = 5. Assim, o gra´fico e´
c. Trata-se da hipe´rbole de centro na origem, semi-eixo real vertical de
comprimento a = 2 e semi-eixo imagina´rio horizontal de comprimento
b = 6. Assim, o gra´fico e´
d. Trata-se da hipe´rbole de centro em (1,−2), semi-eixo real vertical de
comprimento a = 3 e semi-eixo imagina´rio horizontal de comprimento
b = 2. Assim, o gra´fico e´
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Como
−9(x + 2)2 + 4(y − 3)2 = 36⇔ −(x + 2)
2
22
+
(y − 3)2
32
= 1,
trata-se da hipe´rbole de centro em (−2, 3), semi-eixo real vertical de
comprimento a = 3 e semi-eixo imagina´rio horizontal de comprimento
b = 2. Assim, o gra´fico e´
Como
−4(x + 2)2 + 16(y − 1)2 = 4⇔ −(x + 2)
2
12
+
(y − 1)1
(1/2)2
= 1,
trata-se da hipe´rbole de centro em (−2, 1), semi-eixo real vertical de
comprimento a = 1/2 e semi-eixo imagina´rio horizontal de compri-
mento b = 1. Assim, o gra´fico e´
2. Uma vez conhecidos a e b, podemos encontrar c utilizando a relac¸a˜o c2 =
a2 + b2, que, reescrita, nos da´ c =
√
a2 + b2. Como todas as hipe´rboles
do exerc´ıcio anterior teˆm eixo real vertical, os focos sera˜o dados por F1 =
(x0, y0 − c) e F2 = (x0, y0 + c), onde C = (x0, y0) e´ o centro. Da mesma
forma, os ve´rtices sera˜o V1 = (x0, y0−a), V2 = (x0, y0+a). A excentricidade
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sera´ dada por c/a.
a. c =
√
42 + 32 = 5. Assim,
• Focos: F1 = (0,−c) = (0,−5), F2 = (0, c) = (0, 5),
• Ve´rtices: V1 = (0,−a) = (0,−4), V2 = (0, a) = (0, 4).
• Excentricidade e = c/a = 5/4.
b. c =
√
42 + 52 =
√
41. Assim,
• Focos: F1 = (0,−
√
41), F2 = (0,
√
41),
• Ve´rtices: V1 = (0,−4), V2 = (0, 4).
• Excentricidade e = c/a = √41/4.
c. c =
√
22 + 62 =
√
40 = 2
√
10. Assim,
• Focos: F1 = (0,−2
√
10), F2 = (0, 2
√
10),
• Ve´rtices: V1 = (0,−2), V2 = (0, 2).
• Excentricidade e = c/a = 2√10/2.
d. c =
√
32 + 22 =
√
13. Assim,
• Focos: F1 = (1,−2−
√
13), F2 = (1,−2 +
√
13),
• Ve´rtices: V1 = (1,−2− 3) = (1,−5), V2 = (1,−2 + 3) = (1, 1).
• Excentricidade e = c/a = √13/3.
e. c =
√
32 + 22 =
√
13. Assim,
• Focos: F1 = (−2, 3−
√
13), F2 = (−2, 3 +
√
13),
• Ve´rtices: V1 = (−2, 0), V2 = (−2, 6)
• Excentricidade e = c/a = √5/3.
f. c =
√
(1/2)2 + 12 =
√
5/2. Assim,
• Focos: F1 = (−2, 1−
√
5/2), F2 = (−2, 1 +
√
5/2),
• Ve´rtices: V1 = (−2, 1/2), V2 = (−2, 3/2)
• Excentricidade e = c/a = (√5/2)/1/2) = √5.
3. a. O centro sera´ o ponto me´dio dos focos ou dos ve´rtices, o que da´ na
mesma. Assim, o centro e´ (−2, 0). A distaˆncia entre os focos e´ 2c =
d((−2,−5), (−2, 5)) = 10, logo c = 5. A distaˆncia entre os ve´rtices e´
2a = d((−2,−3), (−2, 3)) = 6, logo a = 3. Assim, 52 = 32 + b2, logo
b = 4. Como o eixo real e´ vertical , a equac¸a˜o da hipe´rbole sera´ enta˜o
y2
32
− (x + 2)
2
42
= 1.
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b. O centro e´ o ponto me´dio dos extremos de cada eixo, logo, o cen-
tro e´ dado por (6, 1) (ponto me´dio de (3, 1) e (9, 1), ou de (6,−1)
e (6, 3)). O comprimento dos eixos sa˜o 2b = d((3, 1), (9, 1)) = 6 e
2a = d((6,−1), (6, 3)) = 4, logo, b = 3, a = 2. Assim a equac¸a˜o sera´
−(x− 6)
2
22
+
(y − 1)2
32
= 1.
c. Como os comprimentos dos eixos real e imagina´rio sa˜o, respectiva-
mente, 2a = 10 e 2b = 6, temos a = 5, b = 3. Assim, como o centro e´
(2,−3) e o eixo real e´ vertical,
−(x− 2)
2
32
+
(y + 3)2
52
= 1.
d. O centro e´ o ponto me´dio dos ve´rtices (−1,−4) e (−1, 4), logo o centro
e´ (−1, 0). A distaˆncia entre os ve´rtices e´ 2a = d((−1,−4), (−1, 4)) = 8,
logo, a = 4. Ale´m disso, o comprimento do eixo imagina´rio e´ 2b = 8,
logo b = 4. Como o centro e´ (−1, 4) e o eixo real vertical, temos
−(x + 1)
2
42
+
y2
42
= 1.
e. O centro e´ (−1, 1), e um dos focos e´ (−1, 7/2), logo, c = d((−1, 1), (−1, 7/2)) =
5/2. Como o centro e o foco dado esta˜o em uma mesma reta vertical,
o eixo real sera´ vertical, logo temos como ass´ıntotas as retas
(x + 1) = ± b
a
(y − 1)⇔ x = ± b
a
y ∓ b
a
− 1.
Uma destas ass´ıntotas e´ paralela a` reta y = 3
4
x, que e´ equivalente a
x = 4
3
y. Assim,
b
a
=
4
3
∴ b = 4
3
a.
(Um erro comum aqui e´ concluir que b = 4 e a = 3, o que na˜o e´
necessariamente verdade!)
Como c2 = a2 + b2, temos(
5
2
)2
= a2 +
(
4
3
a
)2
∴ 25a
2
9
=
25
4
∴ a = 3
2
,
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logo b = 2. Com isso, a equac¸a˜o da hipe´rbole e´
−(x + 1)
2
22
+
(y − 1)2
(3/2)2
= 1.
4. a. Como
4x2 − y2 + 8x + 6y + 11 = 0⇔ 4(x2 + 2x)− (y2 − 6y) + 11 = 0⇔
⇔ 4(x2+2x+1)−(y2−6y+9)+11−4+9 = 0⇔ 4(x+1)2−(y−3)2 = −16⇔
−(x + 1)
2
22
+
(y − 3)2
42
= 1.
temos a hipe´rbole de eixo real vertical, centro (−1, 3), a = 4, b = 2,
c = 2
√
5. Assim, os focos sa˜o F1 = (−1, 3− 2
√
5), F2 = (−1, 3 + 2
√
5).
Os ve´rtices sera˜o (−1,−1), (−1, 7). As ass´ıntotas sera˜o
(x + 1) = ±1
2
(y − 3),
e os eixos de simetria sera˜o as retas horizontal e vertical contendo o
centro, dadas por
x = −1 e y = 3.
b. Como
−9x2 + 16y2 − 90x + 32y − 353 = 0⇔ c : (y + 1)
2
32
− (x + 5)
2
42
= 1,
temos a hipe´rbole de eixo real vertical, centro (−5,−1), focos F1 =
(−5,−6), F2 = (−5, 4), ve´rtices (−5, 2), (−5,−4), ass´ıntotas
(x + 5) = ±4
3
(y + 1)
e eixos de simetria
x = −5 e y = −1.
c. Como
−4x2 + 9y2 − 32x− 36y − 64 = 0⇔ d : (y − 2)
2
22
− (x + 4)
2
32
= 1
temos a hipe´rbole de eixo real vertical, centro (−4, 2), focos F1 =
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(−4, 2−√13), F2 = (−4, 2 +
√
13), ve´rtices (−4, 0), (−4, 4), ass´ıntotas
(x + 4) = ±3
2
(y − 2)
e eixos de simetria
x = −4 e y = 2.
d. Como
x2 − 4y2 + 6x + 24y − 31 = 0⇔ d : (x + 3)
2
22
− (y − 3)
2
12
= 1,
temos a hipe´rbole de eixo real horizontal, centro (−3, 3), focos F1 =
(−3− sqrt5, 3), F2 = (−3 +
√
5, 3), ve´rtices (−5, 3), (−1, 3), ass´ıntotas
(y − 3) = ±1
2
(x + 3)
e eixos de simetria
x = −3 e y = 3.
5.
x2 − 4y2 = 4 :
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9x2 − y2 = 9 :
x2 − y2 = 1 :
Note que neste u´ltimo caso, as retas a e b da construc¸a˜o coincidem.
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