2006.2 ED AP1 Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP1 de Equações Diferenciais – 2006-2 – Gabarito
Questão 1 [2,5 pt]
Resolva o problema de valor inicial{
xy′ + 2y = sen(x)
y(pi/2) = 1
Solução: Escrevendo a equação na forma normal temos
y′ +
2
x
y =
sen(x)
x
(1)
A solução geral de (1) é dada por
y(x) = e−
∫
(2/x) dx
∫ e
∫
(2/x)dxsen(x)
x
dx+ c

Ou seja
y(x) = x−2[
∫
x sen(x) dx+ c] =
sen(x)− x cos(x) + c
x2
Impondo a condição inicial, temos
1 = y(pi/2) =
sen(pi/2) + c
(pi/2)2
,
de onde calculamos
c =
pi2
4
− 1.
A solução do problema de valor inicial é
y(x) =
sen(x)− x cos(x) + (pi2
4
− 1)
x2
Questão 2 [2,5 pt] ,
Determine a solução geral de
dy
dx
=
y(b1 + b2x)
x(a1 + a2y)
,
sendo a1, a2, b1, b2 constantes.
Solução: Observamos que a equação dada pode ser reescrita sob a forma
(a1 + a2y) dy
y
=
(b1 + b2x) dx
x
,
Equações Diferenciais AP1 – Gabarito de Equações Diferenciais – 2006-2 2
a partir da qual podemos identificá-la como sendo uma equação separável.
Esta última equação ainda pode ser posta sob a forma(
a1
y
+ a2
)
dy =
(
b1
x
+ b2
)
dx.
Integrando obtemos a expressão que define as soluções y(x) implicitamente:
a1 ln(y) + a2 y − b1 ln(x)− b2 x = c
Questão 3 [2,5 pt]
Resolva a equação de Bernoulli
dy
dx
+
1
x
y = xy2
Solução:
Identificamos p(x) = 1/x, q(x) = x e n = 2. Logo, a mudança de variáveis w = y−1 nos dá a
equação diferencial linear de primeira ordem
dw
dx
− 1
x
w = −x,
cuja solução geral é w = −x2 + cx.
Como w = y−1, então y = 1/w ou
y =
1
−x2 + cx.
Questão 4 [2,5 pt]
Resolva a equação de coeficientes homogêneos
e
y
x + y′ − y
x
= 0
Solução: Fazendo a mudança de variáveis v = y/x obtemos y′ = v + xv′.
Substituindo na equação obtém-se
ev + (v + xv′)− v = 0,
que, depois de simplificada, dá a equação separável
−e−v dv = dx/x.
A solução geral desta última é e−v − ln(x) = c.
Portanto as soluções y(x) da equação proposta são definidas implicitamene pela fórmula
e−
y
x − ln(x) = c.
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