Lista - Momento Angular e Torque

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0.1 Problemas correspondentes ao Capítulo 11 1
0.1 Problemas correspondentes ao Capítulo 11
Momento angular e torque
1. Uma partícula de massa m se move sobre uma superfície horizontal lisa com uma velo-
cidade ~v0. Ela está presa a uma das extremidades de um fio ideal de comprimento ℓ cuja
outra extremidade está fixa no pontoO. Inicialmente, o fio não está esticado e a partícula
descreve uma trajetória retilínea cuja distância ao pontoO é b, como indica a figura. Num
dado instante, o fio irá se esticar. Suponha que a partir desse instante a partícula passe a
descrever um movimento circular uniforme de raio ℓ.
(a) Considere as grandezas da partícula: momento linear, momento angular relativo ao
ponto O e energia mecânica. Quais, dentre elas, são conservadas desde um instante
em que o fio está frouxo até um outro em que o fio está esticado? Justifique.
(b) Determine o módulo da velocidade da partícula quando ela estiver em movimento
circular uniforme. Calcule o período desse movimento, isto é, o intervalo gasto para
ela dar uma volta completa.
b
O
~v0
ℓ
2. Considere o movimento de um projétil de massa m que é lançado, no instante t0 = 0,
a partir de um ponto P situado no solo com uma velocidade ~v0. Seja ~g a aceleração da
gravidade e despreze, nesta questão, a força de resistência do ar.
(a) Calcule o momento angular ~L do projétil em relação ao ponto P em um instante
qualquer t entre o inicial e aquele no qual o projétil toca o solo pela primeira vez.
Escreva a sua resposta em função de t e dos vetores ~v0 e ~g.
0.1 Problemas correspondentes ao Capítulo 11 2
(b) Calcule o torque da força total que atua sobre o projétil em relação ao ponto P no
instante genérico t.
(c) Verifique a validade do Teorema do Momento Angular e Torque.
(d) O vetor-posição do projétil varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais? Justi-
fique sua resposta.
Conservação do momento angular e energia mecânica
3. Considere um pêndulo cônico formado por um fio ideal e uma pequena esfera de massa
m que descreve um movimento circular uniforme de raio R, como ilustra a figura.
R
Q
m
h
O
X
Y
Z
No sistema de eixos escolhido, o vetor posição da esfera é dada por
~r = R
[
cos(ωt) ıˆ+ sen(ωt) ˆ
]
, (0.1)
onde R e ω são constantes positivas.
(a) Calcule o momento angular da esfera relativo à origem num instante qualquer.
(b) Calcule o torque total sobre a esfera relativo à origem num instante de tempo qual-
quer e verifique a validade do Teorema do Momento Angular e Torque.
(c) Supondo que o ponto de suspensão, ponto Q, esteja a uma altura h da origem (veja
a figura), calcule o o momento angular da esfera relativo ao ponto Q num instante
de tempo qualquer.
0.1 Problemas correspondentes ao Capítulo 11 3
(d) Calcule o torque total sobre a esfera relativo ao ponto Q num instante de tempo
qualquer e verifique, novamente, a validade do Teorema do Momento Angular e
Torque.
4. Um satélite de massa m gira em torno da Terra em uma órbita circular de raio r sob a
ação apenas da força gravitacional terrestre.
(a) Encontre a expressão da energia mecânica E e do módulo do momento angular L
do satélite em função apenas do raio r e das seguintes constantes: a massa M da
Terra, a massam do satélite e a constante gravitacional G
(b) Suponha que motores no satélite sejam acionados até que ele passe para uma nova
órbita circular de raio 2r. Denotando por E ′ e L ′ os novos valores de sua energia
mecânica e do módulo de seu momento angular, calcule as razões E ′/E e L ′/L.
5. A primeira lei de Kepler afirma que as trajetórias dos planetas em torno do Sol são elípti-
cas, com o Sol em um de seus focos. A figura abaixo mostra a trajetória elíptica de uma
partícula de massa m em torno de uma outra, de massa M , com a qual interage apenas
gravitacionalmente. Por hipótese, a partícula de massa M está fixa num referencial iner-
cial e sua posição coincide com a origem do sistema de eixos cartesianos. Nessa figura,
estão mostrados ainda os pontos A e P , assim como as respectivas distâncias ra e rP
desses pontos à origem.
M
P rP
ArA
m
(a) Explique sucintamente porque a energia mecânica da partícula, E, e o seu momento
angular ~L, em relação à origem, são quantidades conservadas no problema em con-
sideração.
0.1 Problemas correspondentes ao Capítulo 11 4
(b) Aplicando as leis de conservaçao de E e de ~L às posições A e P , mostre que a
energia mecânica da partícula é dada por
E = −
GMm
rA + rP
= −
GMm
2a
,
onde a é o semi-eixo maior da elipse.
6. Dois patinadores sobre gelo, de mesma massa m se aproximam um do outro com velo-
cidades em relação ao solo de mesmo módulo v0, segundo trajetórias paralelas separadas
por uma distância r. Ao chegarem na situação de maior aproximação eles se dão as mãos
e começam a girar mantendo sempre a distância r entre eles. Despreze o atrito dos patins
com o gelo e considere os patinadores como partículas nesse problema.
(a) Calcule o momento angular do sistema relativo ao seu centro de massa e a veloci-
dade angular de rotação ω que os patinadores adquirem após se darem a mãos.
(b) Suponha, neste item, que depois de estarem em rotação com velocidade ω, os pa-
tinadores diminuam para r/2 a distância que os separa. Nessa situação, calcule a
nova velocidade de rotação do sistema dos dois patinadores?