Relatório de Força Centrípeta

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Forc¸a Centr´ıpeta
Kauan da Rosa Paulino, Ricardo Martins de Oliveira
Departamento de F´ısica - Universidade Federal do Parana´
Centro Polite´cnico - Jd. das Ame´ricas - 81531-990 - Curitiba - PR - Brasil
email: kauan.paulino@ufpr.br
5 de Novembro de 2018
Resumo
O experimento realizado tem — por meio de um aparelho de dinaˆmica rotacional, diferentes massas e uma
mola — como objetivo medir a acelerac¸a˜o centr´ıpeta de um corpo em movimento circular. Para fins de
comparac¸a˜o esta´tica foi medida a forc¸a da mola (utilizando dois pesos de massa m1 e m2) . Atrave´s da
Segunda Lei de Newton e da Lei de Hooke foi poss´ıvel obter os valores da Forc¸a Centr´ıpeta e Forc¸a da Mola.
Dentro de um erro percentual menor que 1%, apesar das limitac¸o˜es e incertezas do experimento, os valores
obtidos sa˜o consistentes com as equac¸o˜es das leis f´ısicas
Palavras-chave: Forc¸a centr´ıpeta, movimento circular, Segunda Lei de Newton, Lei de Hooke
1 Introduc¸a˜o
A Primeira Lei de Newton diz que um objeto em mo-
vimento permanece em movimento com rapidez cons-
tante e em linha reta a na˜o ser que uma forc¸a externa
atue sobre o mesmo. Sabendo disso, para que um ob-
jeto descreva uma trajeto´ria circular e´ necessa´rio que
haja uma forc¸a direcionando o objeto ao centro do
circulo ou curvatura descrito, tal forc¸a e´ denominada
forc¸a centr´ıpeta.
A partir disso, um objeto descrevendo uma trajeto´ria
curva de raio r com velocidade v que e´ descrita em
termos de tempo T necessa´rio para uma volta com-
pleta, chamado per´ıodo. Esta part´ıcula sofre uma
acelerac¸a˜o direcionada ao centro deste caminho cha-
mada acelerac¸a˜o centr´ıpeta.
E´, antes de mais nada, necessa´rio atentar-se ao fato
de que a acelerac¸a˜o centr´ıpeta surge exclusivamente
em situac¸o˜es de movimento circular, sendo esta ace-
lerac¸a˜o uma componente perpendicular a velocidade
do corpo.
Sobre a Lei de Hooke, quando uma mola e´ esticada de
uma distaˆncia ~d paralela ao eixo x, a partir da posic¸a˜o
em que esta´ relaxada (em que a mola na˜o esta´ com-
primida ou alongada), verifica-se experimentalmente
que foi exercida uma forc¸a ~F . Essa forc¸a e´ obtida
pela equac¸a˜o obtida em [1]
Fx = −k · x, (1)
onde a constante k (chamada de constante ela´stica) e´
uma medida de rigidez da mola, como sera´ demons-
trada na sec¸a˜o de procedimentos experimentais. Con-
siderando que o alinhamento dos fios estava correto,
a forc¸a ela´stica deve ser numericamente igual a` forc¸a
centr´ıpeta.
Fazendo uso das leis de Newton (mais especificamente
a segunda adqurida atrave´s de [2]), temos as seguintes
equac¸o˜es utilizadas ao longo do experimento: Forc¸as
centr´ıpeta, ela´stica, peso, normal, tensa˜o, velocida-
des tangencial e angular, erro percentual e per´ıodo;
sendo as unidades todas de acordo com o Sistema
Internacional de medidas. Segue abaixo as equac¸o˜es
utilizadas e sua explicac¸a˜o:
~Fc = m · ~ac, (2)
Onde ~Fc e´ a forc¸a centr´ıpeta em Newtons (N), m e´ a
massa em kg do corpo e ~ac e´ a acelerac¸a˜o centr´ıpeta
dada em metros por segundo ao quadrado (m/s2). E´
poss´ıvel obter a acelerac¸a˜o centr´ıpeta pela equac¸a˜o
~ac =
v2
R
, (3)
onde v e´ a velocidade linear, dada em metros por se-
gundo (m/s), e R o raio do c´ırculo ou curvatura em
que o movimento esta´ sendo realizado, dado em me-
tros m. Substituindo a deduc¸a˜o em (3) na equac¸a˜o
(2) e´ poss´ıvel obter uma nova equac¸a˜o para Forc¸a
centr´ıpeta
~Fc = m · v
2
R
(4)
Entrementes, um fator a ser lembrado, no movimento
circular, e´ que a velocidade linear pode ser encon-
trada relacionando a velocidade angular deste ponto
e o raio de sua trajeto´ria, atrave´s da expressa˜o,
v = ω ·R (5)
1
em que ω e´ a velocidade angular dada em radianos
por segundo (rad/s). A velocidade angular pode ser
relacionada a` trajeto´ria circular — 2·pi — e ao per´ıodo
de rotac¸a˜o, resultando na expressa˜o,
ω =
2 · pi
T
. (6)
em que T e´ o per´ıodo de uma rotac¸a˜o, dado em se-
gundos (s).
Substituindo a velocidade angular encontrada em (6)
na equac¸a˜o (5) e substituindo a nova expressa˜o da
velocidade linear na equac¸a˜o (3) pode-se calcular a
componente centr´ıpeta em (2) atrave´s da fo´rmula
~Fc = m · 4 · pi
2 ·R
T 2
(7)
Esta e´ a base teo´rica f´ısica e matema´tica para se pos-
suir informac¸o˜es relevantes para um bom paraˆmetro
de comparac¸a˜o para com a realidade.
2 Materiais
Os materiais utilizados foram: Plataforma rotacional,
base em movimento circular uniforme, polia, mola,
corpos de massa M , m1 e m2, montados de acordo
com a Figura 1, cronoˆmetro com sensor o´ptico, n´ıvel
e balanc¸a.
Figura 1: Estrutura de Experimento
3 Procedimento Experimental
Determinando uma situac¸a˜o de contorno, onde antes
de realizar as medic¸o˜es e o experimento, foi necessa´rio
nivelar e alinhar o equipamento. O equipamento e´
calibrado para permanecer em equil´ıbrio esta´tico, ou
seja, somato´rio das forc¸as em x igual a zero, e so-
mato´rio das forc¸as em y igual a zero (
∑ ~Fx = 0 e∑ ~Fy = 0), isto e´, a trac¸a˜o da forc¸a peso de m e a
trac¸a˜o da forc¸a ela´stica sa˜o iguais.
Foi realizado o alinhamento dos fios (de de forma que
ficassem perpendiculares entre si para evitar compo-
nentes de forc¸a) em relac¸a˜o ao pilar lateral. Para esse
alinhamento foi utilizado uma re´gua comum. A base
indicadora anexada ao pilar central foi nivelada ao
disco pla´stico ligado a` mola.
Em dois momentos, um com o corpo de massa m1
e outro com m2, sendo as massas (503 ± 5) · 10−4kg
e (1000 ± 5) · 10−4kg respectivamente. Para cada
massa m, o pilar lateral precisa ser ajustado mais a`
esquerda ou mais a` direita na plataforma rotacional,
para que os fios que suspendem o corpo de massa
M mantivesem-se perpendiculares entre si, e o mar-
cador de pla´stico atrelado a mola permanecesse na
marcac¸a˜o do pilar central (Figura 2).
A distaˆncia entre o pilar lateral e o pilar central e´ o
raio (R) de rotac¸a˜o, tendo R1 atrelado a m1, e R2
com m2. Sendo R1(1300±5) ·10−4m e R2(1500±5) ·
10−4m. Como no diagrama de forc¸as abaixo.
Figura 2: Diagrama de Forc¸as
Removendo os corpos m1 e m2, a mola contrai e des-
loca o corpo de massa M , a` direita, ja´ que a trac¸a˜o
da forc¸a ela´stica da mola supera a componente em x
da trac¸a˜o (tx) do fio que suspende M verticalmente,
esta forc¸a tx e´ a u´nica que se opo˜em a trac¸a˜o ge-
rada pela forc¸a ela´stica da mola. Com a remoc¸a˜o dos
corpos m1 e m2, da´-se in´ıcio a parte dinaˆmica do ex-
perimento, onde rotacionamos a plataforma ao ponto
em que a acelerac¸a˜o centr´ıpeta em x (~acx) somou-se
a componente tx ate´ o momento em que novamente∑ ~Fx = 0.
Usando o cronoˆmetro com sensor o´ptico posicionado
na extremidade da plataforma rotacional, medimos o
tempo para uma rotac¸a˜o completa da plataforma so-
bre seu pro´prio eixo, o per´ıodo T , a fim de calcular a
velocidade angular ω e a forc¸a centr´ıpeta por meio da
velocidade tangencial (v), obtendo-se assim a tabela
da pro´xima sec¸a˜o.
4 Resultados e Ana´lise
Tendo em vista os dados do procedimento experimen-
tal anotados a seguir e fo´rmulas demonstradas an-
teriormente, podera´ notar-se que o mo´dulo da forc¸a
2
ela´stica da mola, para m1 e´ igual a 0, 550N . E Para
m2, 1, 037N . Este nota´vel aumento da magnitude da
forc¸a ela´stica esta´ diretamente ligado a diferenc¸a das
massas m1 e m2 , as quais geram pesos diferente e por
conseguinte trac¸o˜es diferentes, tais que agem sobre a
deformac¸a˜o da mola.
Por aux´ılio dos mate´riais citados em ep´ıgrafe, eis os
dados tabelados:
Raio (m) m (kg) M (kg) Per´ıodo (s) Per´ıodo me´dio (s)
1300± 5 · 10−4 562, 1± 5 · 10−4
1574± 5 · 10−4
1,219
1,2211,217
1,228
2077± 5 · 10−4
1,403
1,3961,394
1,390
2178± 5 · 10−4
1,412
1,4251,437
1,428
1500± 5 · 10−4 1060± 5 · 10−4 2178± 5 · 10−4
1,122
1,1191,125
1,112Tabela 1: Dados Coletados
As velocidades angulares esta˜o em func¸a˜o de r1 e dos
treˆs primeiros per´ıodos me´dios T (sendo contados de
cima para baixo) da tabela, sa˜o ω1 = 5, 15rad/s,
ω2 = 4, 50rad/s, ω3 = 4, 41rad/s.
No quarto caso, nota-se uma mudanc¸a da massa
m1 para massa m2, logo muda-se o r1 para o r2,
desta forma temos ω1 = 5, 62rad/s. Observando a
tabela, vemos que o per´ıodo me´dio aumenta con-
forme a massa m0 aumenta, por consequeˆncia da
frequeˆncia em Hz(rotac¸o˜es por segundo) diminuir.
Salvo per´ıodo 4, que diminui, em func¸a˜o do raio que
aumentou.
Pela configurac¸a˜o experimento o peso da do massa
suspensa medida e´ equivalente a` forc¸a da mola. A
forc¸a centr´ıpeta durante o experimento simulava o
peso da massa suspensa. Portanto podemos dizer
que a forc¸a da mola deveria ser equivalente a` forc¸a
centr´ıpeta. Logo calcular a forc¸a da mola e´ outro
me´todo para encontrar a forc¸a centr´ıpeta.
Pelo diagrama de forc¸as da figura 2 mostrada acima,
podemos evidenciar que a forc¸a da mola pode ser cal-
culada por m · g. Logo podemos calcular a forc¸a da
mola por
Fm = m · g, (8)
onde m e´ a massa do corpo, em (kg), e g e´ a ace-
lerac¸a˜o da gravidade, dada em metros por segundo
ao quadrado (m/s2). Os valores obtidos em sala para
o experimento da gravidade e das massas m suspen-
sas sa˜o:
m (kg) g (m/s2
0,0562 9,787604
0,106 9,787604
Obtendo os valores tanto da Forc¸a da mola pela
equac¸a˜o 8 para cada uma das massas iremos ob-
ter, respectivamente, os valores Fm1 = 0, 550N e
Fm2 = 1, 037N , dados inseridos na tabela
Forc¸a Centr´ıpeta (N) Forc¸a da Mola (N)
0,542
0,5500,547
0,550
1,030 1,037
Tabela 2: Resultado das Forc¸as
Para calcular a porcentagem de erro, levando em con-
siderac¸a˜o que Fm possui menor taxa de erro no expe-
rimento, por na˜o depender de tantos fatores para ser
obtida, sendo assim, para se calcular a porcentagem
de erro temos que:
∆% =
|Fm − Fc|
Fc
(9)
Assim teremos que
∆% =
|0, 550− 0, 550|
0, 550
= 0% (10)
∆% =
|1, 030− 1, 037|
1, 037
= 0, 6% (11)
Calculando a forc¸a centr´ıpeta, para cada um dos
per´ıodos discrepantes, percebemos uma ligeira seme-
lhanc¸a entre os mo´dulos desta e da forc¸a ela´stica da
mola. Apesar da grande proximidade, estes mo´dulos
na˜o sa˜o iguais, pois ha´ erros percentuais devido as
impreciso˜es na medida e propagac¸a˜o de erro. Pore´m,
se desconsiderarmos os erros percentuais, e por tanto
assumirmos que os mo´dulos sa˜o iguais, vemos que no
3
caso esta´tico as trac¸o˜es t1 e t3 (como no diagrama
da figura 2) possuem um valor absoluto e igual, e o
fio perpendicular a elas, com trac¸a˜o t2, na˜o possui
componentes em x.
No caso dinaˆmico, a trac¸a˜o gerada pela forc¸a ela´stica
e´ maior que a componente em x de t2(agora na˜o mais
perpendicular) enquanto parados. Ao rotacionarmos
a plataforma, a acelerac¸a˜o centr´ıpeta em x, soma-se a
componente x de t2, ate´ novamente o corpo de massa
m0 atingir equil´ıbrio.
5 Conclusa˜o
A conclusa˜o a ser tomada sobre o experimento e so-
bre os dados recolhidos e´ que pode-se observar que a
Segunda Lei de Newton e a Lei de Hooke se verificou,
pois os ca´lculos mostraram bons valores calculados a
partir de tais teorias.
O experimento em sua ı´ntegra foi realizado com o
aparelho de dinaˆmica rotacional; diferentes confi-
gurac¸o˜es sobre os discos de massa foram. Com o ex-
perimento e´ poss´ıvel determinar a forc¸a centr´ıpeta de
um corpo; forc¸a esta que mante´m o corpo em mo-
vimento circular. Para isso foi utilizado uma plata-
forma rotacional junto a diversos aparatos citados,
tambe´m foram calculadas as forc¸as tanto centr´ıpeta
quanto da mola.
Ao observar os resultados obtidos no experimento,
nota-se que esta˜o dentro do esperado teoricamente e
esta˜o em uma margem de erro aceita´vel. Os valores
calculados da forc¸a da mola chegam muito pro´ximos
aos valores calculados para a forc¸a centr´ıpeta.
Refereˆncias
[1] D Hallyday. Fundamentos de f´ısica – mecaˆnica.
[2] Paul A. Tipler. F´ısica para cientistas e engenhei-
ros.
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