Mecanismos e Máquinas: Breve História e Aplicações

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Adalberto Nunes de Siqueira 
 Agosto - 2016 
 
 
Capítulo 1 : Mecanismos articulados 
Apresentação da disciplina 
 
• Plano de ensino/Ementa; 
• Filme (motores a combustão) 
Nomenclatura e Notação 
Nomenclatura e Notação 
Nomenclatura e Notação 
Nomenclatura e Notação 
Nomenclatura e Notação 
Nomenclatura e Notação 
Breve História da Cinemática 
 Mecanismos e máquinas vêm sendo criados pelas pessoas desde os 
primórdios da história. Há indícios de que a origem da roda e da polia tenha 
sido na Mesopotâmia, entre 3000 e 4000 a.C. Os primeiros desenvolvimentos 
de máquinas foram direcionados às aplicações militares como artefatos de 
guerra (catapultas, equipamentos para escalar muros, etc.). Uma evidente 
antecipação da ciência moderna pode ser encontrada nos trabalhos de 
Arquimedes (287-212 a.C.). Uma de suas invenções mais famosa é, sem 
dúvida, o parafuso sem fim, também conhecido como parafuso de Arquimedes 
(Fig. 1.5a). 
 
 A engenharia mecânica teve início com o projeto de máquinas, uma vez que a 
revolução industrial necessitava de soluções mais sofisticadas e complexas 
para problemas de controle de movimentos. James Watt (1736-1819) 
provavelmente merece o título de primeiro estudioso da cinemática pela 
criação de mecanismos que proporcionavam movimentos em linha reta para 
guiar os pistões de longo curso nos seus motores a vapor (Fig. 1.5b). 
Breve História da Cinemática 
Breve História da Cinemática (outras aplicações antigas) 
Breve História da Cinemática (outras aplicações antigas) 
Breve História da Cinemática (outras aplicações antigas) 
Breve História da Cinemática (outras aplicações antigas) 
Introdução 
 
Com o avanço da automação e industrialização nos dias de hoje, o estudo dos 
mecanismos tornou-se fundamental nos projetos mecânicos e eletro-mecânicos. 
 
Mecanismo pode ser definido como a parte de projeto de máquinas relacionadas 
com o projeto cinemático de sistemas articulados, cames, engrenagens e trens de 
engrenagens. 
 
O projeto cinemático se baseia nos requisitos relativos ao movimento, diferindo do 
projeto baseado em requisitos de resistência. 
Os moinhos de vento podem ser 
aplicados à elevação ou 
bombeamento de água. Neste caso, 
a energia que chega à base do 
moinho através do seu eixo central 
é utilizada para fazer rodar um 
Parafuso de Arquimedes 
Eles foram muito utilizados na Holanda 
para drenagem dos pôlderes (terras 
baixas). Atualmente a maior parte das 
bombas tipo parafuso são acionadas por 
energia elétrica em vez da energia eólica. 
Aplicação do parafuso de 
Arquimedes na Holanda 
Introdução 
A Fig. 1.1 representa o esboço de um mecanismo conhecido por mecanismo cursor 
manivela. 
 
A peça 1 é o suporte e é estacionária, a peça 2 é a manivela, a peça 3 é a biela e a 
peça 4 o 
cursor. 
Figura 1.1 Mecanismo cursor-manivela, 
Mabie & Reinholtz - Mecanismos e Dinâmica das Máquinas. 
Introdução 
A fig. 1.2a mostra a aplicação de um mecanismo no motor de combustão interna, 
onde o pistão é a peça 4. Essa figura também demonstra quão difícil pode ser para 
discernir o dispositivo cinemático básico quando se olha para uma fotografia ou um 
desenho de uma máquina completa. 
Figura 1.2a Motor V-8 onde se vê o mecanismo 
biela-manivela, Mabie & Reinholtz - Mecanismos 
e Dinâmica das Máquinas. 
Introdução 
As figuras 1.2b e c mostram o diagrama cinemático do mecanismo cursor-manivela, 
correspondente ao conjunto manivela-biela-pistão do lado esquerdo da fotografia 
1.2a. 
 
O diagrama cinemático facilita o trabalho e permite ao projetista separar as 
considerações 
cinemáticas do problema maior referente ao projeto da máquina. 
Figura 1.2b Diagrama cinemático do 
mecanismo do motor, Mabie & Reinholtz - 
Mecanismos e Dinâmica das Máquinas. 
Figura 1.2c Desenho de um conjunto 
manivela-biela-pistão. 
Introdução 
As figuras 1.3a e b mostram o esboço de uma came com seguidor. 
A came gira a uma velocidade angular constante e o seguidor se movimenta para 
cima e para baixo, em movimento alternativo. 
 
A elevação do seguidor é comandada pelo excêntrico e o retorno por ação da 
gravidade ou de uma mola. 
 
As cames são usadas em muitas máquinas e um dos empregos mais comuns aparece 
no motor de automóvel, onde são empregadas duas cames em cada cilindro para 
acionar as válvulas de admissão e de escapamento, também mostradas na Fig. 1.2a. 
Figura 1.3a Came bidimensional, 
Mabie & Reinholtz. 
Figura 1.3b Came bidimensional 
Introdução 
As figuras 1.3c e d mostram um exemplo de aplicação de uma came com seguidor. 
Figura 1.3c Aplicação de um Came 
bidimensional. 
Figura 1.3d Eixo comando de válvulas. 
Introdução 
Uma came tridimensional é apresentada na Fig. 1.4. 
Nesse mecanismo, o movimento do seguidor depende não somente da rotação da 
came, mas, também de seu movimento axial. 
Figura 1.4 Came tridimensional, 
Mabie & Reinholtz - Mecanismos e Dinâmica das Máquinas 
Introdução 
As engrenagens são usadas em muitas aplicações para transmitir movimento entre 
eixos com uma razão de velocidades angulares constante. 
As Fig. 1.5 e 1.6a mostram algumas engrenagens comumente empregadas. 
Figura 1.5 Engrenagens, Mabie & Reinholtz – 
Mecanismos e Dinâmica das Máquinas. 
Figura 1.6a Trem de Engrenagens, Mabie & Reinholtz – 
Mecanismos e Dinâmica das Máquinas. 
Introdução 
As Fig. 1.6b e c mostram algumas engrenagens comumente empregadas 
Figura 1.6b. Trem de Engrenagens 
Figura 1.6c. Trem de Engrenagens 
Introdução 
Em dispositivos tais como instrumentos e controles automáticos, a obtenção do 
movimento correto é de suma importância. 
 
A potência transmitida pelos elementos pode ser muito pequena, chegando a ser 
desprezível, o que permite que os componentes sejam dimensionados inicialmente 
apenas por seu aspecto cinemático, passando a ter importância secundária o 
problema da resistência das peças. 
 
Há outras máquinas, entretanto, onde a análise cinemática é somente uma fase do 
projeto. 
 
Depois que for determinado como as diversas peças da máquina funcionarão para a 
realização do trabalho desejado, as forças que atuam nessas peças devem ser 
analisadas, permitindo em seguida o dimensionamento de seus elementos. 
 
Uma máquina operatriz é um bom exemplo: sua resistência e sua rigidez são mais 
problemáticas do que os movimentos desejados. 
Definições Básicas – Mecanismo Máquina 
No estudo de mecanismos esses termos serão empregados repetidamente e podem 
ser definidos da seguinte maneira: 
 
Mecanismo é uma combinação de corpos rígidos ou resistentes de tal modo 
compostos e ligados que se movem entre si com movimento relativo definido. 
 
Um exemplo é o sistema cursor-manivela de um motor de combustão interna 
mostrado esquematicamente na Fig. 1.1. 
 
Máquina é um mecanismo, ou conjunto de mecanismos, que transmite força de uma 
fonte de potência para a resistência a ser superada. Um exemplo é o motor de 
combustão interna. 
Figura 1.1 Mecanismo cursor-manivela, 
Mabie & Reinholtz - Mecanismos e Dinâmica das Máquinas. 
Definições Básicas – Tipos de Movimentos 
Tratando-se de estudo de mecanismos, é necessário definir os vários tipos de 
movimentos produzidos por estes mecanismos. 
 
Movimento plano. TRANSLAÇÃO. Um corpo tem movimento de translação quando 
uma reta, definida por dois pontos quaisquer desse corpo, fica constantemente 
paralela a si mesma. 
 
1. Translação retilínea. Todos os pontos do corpo têm como trajetórias retas 
paralelas. 
Quando o corpo se move desta forma, de um lado para o outro, diz-se que tem 
movimento alternativo. Isto está ilustrado na Fig. 1.7, ondea peça 4 desliza 
alternadamente entre os limites B' e B". 
Figura 1.7 Mabie & Reinholtz – Mecanismos e Dinâmica 
das Máquinas. 
Definições Básicas – Mecanismo Máquina 
2. Translação curvilínea. As trajetórias dos pontos são curvas idênticas, paralelas a 
um plano fixo. 
 
A Fig. 1.8 mostra o mecanismo que era usado na ligação das rodas motrizes de uma 
locomotiva a vapor. 
 
Neste mecanismo a barra 3 tem translação curvilínea e todos os seus pontos 
determinam trajetórias cicIoidais durante o movimento de rolamento das rodas 2 e 4 
sobre o trilho 1. A peça 5 se move em translação retilínea. 
Figura 1.8 Mabie & Reinholtz – Mecanismos e Dinâmica das Máquinas. 
Definições Básicas – Mecanismo Máquina 
Rotação pura 
Se cada ponto de um corpo rígido, em movimento plano, permanece a uma distância 
constante de um eixo fixo, normal ao plano de movimento, diz-se que esse corpo tem 
movimento de rotação (Fig. 2.5b). Se o corpo gira de um lado para outro dentro de 
m determinado ângulo, o movimento é oscilação (ex. mecanismo manivela-balancim 
de uma serra, Fig. 2.5c). 
Fig. 2.5 (b e c) - Mecanismos típicos com movimentos combinados 
Movimento intermitente 
É uma sequência de movimentos e tempos de espera. Um tempo de espera é um 
período no qual o elo de saída se mantém em estado estacionário, enquanto o elo de 
entrada continua se movendo. Existem muitas aplicações que exigem esse 
movimento (Fig. 2.6). 
Fig. 2.6 - Mecanismos de movimentos intermitentes: (a) Genebra; (b) Catraca. 
Definições Básicas – Mecanismo Máquina 
No estudo de mecanismos esses termos serão empregados repetidamente e podem 
ser definidos da seguinte maneira: 
 
Mecanismo é uma combinação de corpos rígidos ou resistentes de tal modo 
compostos e ligados que se movem entre si com movimento relativo definido. 
 
Um exemplo é o sistema cursor-manivela de um motor de combustão interna 
mostrado esquematicamente na Fig. 1.1. 
 
Máquina é um mecanismo, ou conjunto de mecanismos, que transmite força de uma 
fonte de potência para a resistência a ser superada. Um exemplo é o motor de 
combustão interna. 
Figura 1.1 Mecanismo cursor-manivela, 
Mabie & Reinholtz - Mecanismos e Dinâmica das Máquinas. 
Definições Básicas – Mecanismo Máquina 
ROTAÇÃO. Se cada ponto de um corpo rígido, em movimento plano, permanece a 
uma distância constante de um eixo fixo, normal ao plano do movimento, diz-se que 
esse corpo tem movimento de rotação. 
 
Se o corpo gira de um lado para o outro dentro de um determinado ângulo, o 
movimento é de oscilação. Isto é mostrado na Fig. 1.9 onde a manivela 2 gira e a 
barra 4 oscila entre as posições B' e B". 
Figura 1.9 Mabie & Reinholtz – Mecanismos e Dinâmica das Máquinas. 
Definições Básicas – Mecanismo Máquina 
ROTAÇÃO E TRANSLAÇÃO. Muitos corpos têm movimento que é uma combinação de 
rotação e translação. A biela 3 na Fig. 1.7, as rodas 2 e 4 na Fig. 1.8 e a barra 3 na Fig. 
1.9 
 
são exemplos deste tipo de movimento. 
 
Movimento helicoidal. Quando um corpo rígido se move de modo que seus pontos 
tenham movimento de rotação em torno de um eixo fixo e ao mesmo tempo possua 
uma translação paralela a esse eixo, diz-se que o corpo tem movimento helicoidal. 
Um exemplo deste movimento é o de uma porca sendo atarraxada a um parafuso. 
 
Movimento esférico. Quando um corpo rígido se move de modo que todos os seus 
pontos girem em torno de um ponto fixo, mantendo uma distância constante desse 
ponto, diz-se que o corpo tem movimento esférico. 
 
Movimento espacial. Um corpo se movendo com rotação sobre três eixos não 
paralelos e translação em três direções independentes é dito como estando em 
movimento espacial geral. 
Definições Básicas – Mecanismo Máquina 
Pares de Elementos. São as formas geométricas pelas quais dois membros de um 
mecanismo são articulados de modo que o movimento relativo entre estes dois 
membros seja coerente. 
 
Se o contato entre os dois membros for uma superfície tal como um eixo e um 
mancal, essa articulação é denominada de par inferior. 
 
Se o contato for realizado segundo um ponto ou ao longo de uma linha tal como em 
um rolamento de esferas ou entre dois dentes de engrenagens em contato, essa 
articulação é chamada de par superior. 
 
Um par que permite somente rotação relativa é chamado de par rotativo e o que 
permite somente deslizamento é um par deslizante. 
 
Um par rotativo pode ser inferior ou superior dependendo da articulação empregada, 
se um eixo e um mancal ou rolamento de esferas. 
 
Um exemplo de par deslizante inferior é o existente entre o pistão e as paredes do 
cilindro de um motor. 
Definições Básicas – Mecanismo Máquina 
Peça, Cadeia Cinemática. Uma peça é um corpo rígido que tem dois ou mais pares de 
elementos pelos quais pode ser ligada a outros corpos para transmitir força ou 
movimento. 
 
Geralmente uma peça é um elemento rígido que pode ser ligada em cada 
extremidade a dois ou mais outros elementos. 
 
Isto pode ser estendido de modo a incluir três, quatro ou mais articulações. 
 
As Figuras 1.10a, b e c mostram esses arranjos. 
 
Talvez o caso extremo de uma peça com articulações múltiplas seja a biela mestra de 
um motor radial de nove cilindros apresentada na Fig. 1.10d. 
Figura 1.10 Mabie & Reinholtz – Mecanismos e Dinâmica das Máquinas.. 
Definições Básicas – Mecanismo Máquina 
Um exemplo bem conhecido de uma peça com três articulações é a alavanca 
mostrada nas Figuras 1.11a e b. Esta peça é usada geralmente para redução de 
movimento e pode ser dimensionada para uma determinada relação de 
deslocamentos com um mínimo de distorção desses movimentos. 
Figura 1.11 Mabie & Reinholtz – Mecanismos e Dinâmica das Máquinas. 
Quando um número de peças for ligado através de pares, o sistema resultante é 
chamado de cadeia cinemática. Se as peças forem ligadas de tal maneira que não 
seja possível haver movimento, esse sistema será denominado de estrutura. Obtém-
se uma cadeia restrita quando as peças forem ligadas de modo que o movimento 
relativo entre as peças seja sempre o mesmo, independendo do número de ciclos 
realizados. É possível também a ligação de peças de modo a resultar uma cadeia livre, 
o que significa que o tipo de movimento irá variar dependendo do atrito existente 
nas articulações. Se fixarmos uma das peças de uma cadeia restrita, o resultado será 
um mecanismo. 
Definições Básicas – Mecanismo Máquina 
Inversão. Em um mecanismo, se for liberada uma peça que originalmente era fixa e a 
outra peça passar a ser fixa, diz-se que esse mecanismo está invertido. 
 
A inversão de um mecanismo não altera o movimento relativo entre suas peças, 
entretanto modifica seus movimentos absolutos. 
 
Transmissão de Movimento. No estudo de mecanismos é necessário investigar o 
método pelo qual o movimento pode ser transmitido de um membro para outro. 
 
Pode-se transmitir movimento de três maneiras: 
 
(a) contato direto entre dois corpos, tal como entre um excêntrico e um seguidor ou 
entre duas engrenagens; 
(b) através de um elemento rígido intermediário ou uma biela; 
(c) por uma ligação flexível, como uma correia ou uma corrente. 
Definições Básicas – Mecanismo Máquina 
Pode-se determinar a razão de velocidades angulares para o caso de dois corpos em 
contato. A Fig. 1.12 mostra a came 2 e o seguidor 3 em contato no ponto P. A came 
gira no sentido horário e a velocidade do ponto P, considerado como um ponto da 
peça 2, é representada pelo vetor PM2. A linha NN' é a normal às duas superfícies no 
ponto P e é conhecida por normal comum, linha de transmissão ou linha de ação. A 
tangente comum é representada por TT’. 
Figura 1.12 Mabie & Reinholtz – Mecanismos e Dinâmica das Máquinas. 
Definições Básicas – Mecanismo Máquina 
O vetor PM2 é decomposto em duas componentes Pn ao longo da normalcomum e 
Pt2, ao longo da tangente comum. A came e o seguidor são corpos rígidos e devem 
permanecer em contato, por isso, a componente da velocidade de P, considerado 
como um ponto da peça 3, deve ser igual à componente normal da velocidade de P, 
considerado como pertencente à peça 2. 
Figura 1.12 Mabie & Reinholtz – Mecanismos e Dinâmica das Máquinas. 
Definições Básicas – Mecanismo Máquina 
Portanto, conhecendo-se a direção do vetor velocidade P como pertencente à peça 3 
e sabendo-se que ela é perpendicular ao raio O3P, e conhecendo-se também sua 
componente normal, é possível a determinação do vetor velocidade PM3, conforme 
mostrado na Fig. 1.12. A partir desse vetor, pode-se determinar a velocidade angular 
do seguidor através da relação V = Rω, onde V é a velocidade linear de um ponto que 
se move ao longo de uma trajetória de raio R e ω é a velocidade angular do raio R. 
Figura 1.12 Mabie & Reinholtz – Mecanismos e Dinâmica das Máquinas. 
Definições Básicas – Mecanismo Máquina 
Nos mecanismos em que há contato direto, é necessário determinar a velocidade de 
deslizamento. Da figura pode-se ver que a velocidade de deslizamento é a diferença 
vetorial entre as componentes tangenciais das velocidades dos pontos em contato. 
Essa diferença é dada pela distância t2t3 porque a componente Pt3 tem direção 
contrária à de Pt2. 
Se t2 e t3 estiverem do mesmo lado de P, a velocidade relativa será dada pela 
diferença dos segmentos Pt3 e Pt2. Se o ponto de contato estiver na linha de centros, 
os vetores PM2 e PM3 serão iguais e, em conseqüência, terão a mesma direção. 
Portanto, as componentes tangenciais serão iguais e a velocidade de deslizamento 
será nula. As duas peças terão, portanto, um movimento de rolamento puro. Assim 
pode-se dizer que a condição para que exista rolamento puro é que o ponto de 
contato permaneça sobre a linha de centros. 
Figura 1.12 Mabie & Reinholtz – Mecanismos e Dinâmica das Máquinas. 
Definições Básicas – Mecanismo Máquina 
Para o mecanismo da Fig. 1.12, o movimento entre a came e o seguidor será uma 
combinação de rolamento e deslizamento. O rolamento puro somente poderá 
ocorrer quando o ponto de contato P cair sobre a linha de centros. Entretanto, o 
contato nesse ponto poderá não ser possível devido às proporções do mecanismo. 
Também poderá ocorrer deslizamento puro entre a came 2 e o seguidor 3. Para tal 
acontecer, um ponto de uma das peças, dentro dos limites de seu curso, deverá 
entrar em contato com todos os pontos sucessivos da superfície ativa da outra peça. 
Figura 1.12 Mabie & Reinholtz – Mecanismos e Dinâmica das Máquinas. 
Definições Básicas – Mecanismo Máquina 
É possível determinar uma relação de modo que a razão de velocidades angulares de 
duas peças em contato direto possa ser calculada sem a necessidade da construção 
geométrica delineada acima. A partir dos centros O2 e O3 baixam-se perpendiculares 
à normal comum cruzando-a nos pontos e e f, respectivamente. As seguintes relações 
são obtidas da Fig. 1.12: 
ω2 = PM2 / O2P e ω3 = PM3 / O3P 
Logo, ω3 / ω2 = ( PM3 / O3P ) x ( O2P/ PM2 ), Como os triângulos PM2n e O2Pe são 
semelhantes, PM2 / O2P = Pn / O2e e Também os triângulos PM3n e O3Pf são 
semelhantes; portanto, PM3 / O3P = Pn / O3f Assim, 
ω3 / ω2 = ( Pn / O3f ) x ( O2e / Pn ) = O2e / O3f 
Figura 1.12 Mabie & Reinholtz – Mecanismos e Dinâmica das Máquinas. 
ω3 
ω2 
ω3 / ω2 = O2e / O3f 
 
Definições Básicas – Mecanismo Máquina 
Com a normal comum cruzando a linha de centros no ponto K, os triângulos O2Ke e 
O3Kf são semelhantes também e, portanto, 
ω3 / ω2 = O2e / O3f = O2K / O3K (1.1) 
Assim, para um par de superfícies curvas em contato direto, as velocidades angulares 
são inversamente proporcionais aos segmentos determinados na linha de centros por 
sua intersecção com a normal comum. Conclui-se então que, para haver uma razão 
de velocidades angulares constante, a normal comum deve cruzar a linha de centros 
em um ponto fixo. 
Figura 1.12 Mabie & Reinholtz – Mecanismos e Dinâmica das Máquinas. 
ω3 / ω2 = O2K / O3K 
ω3 
ω2 
Definições Básicas – Mecanismo Máquina 
É possível também a obtenção das relações acima para a transmissão de movimento 
através de uma peça intermediária ou biela e para a transmissão de movimento por 
elemento flexível. As Figuras 1.13 e 1.14 mostram os dois casos, respectivamente, 
onde a velocidade é dada por: 
ω4 / ω2 = O2K / O4K (1.2) 
 
Na Fig. 1.14 a razão ω4/ω2 independe da distância entre centros O2O4. 
Figura 1.13 Mabie & Reinholtz – 
Mecanismos e Dinâmica das Máquinas. Figura 1.14 Mabie & Reinholtz – 
Mecanismos e Dinâmica das Máquinas. 
Exemplo_02: (Prob. Do capítulo 1 Livro: Mabie & Ockvirk) 
 
 Na Fig. 1.23, se ω2 = 20 rad/min, calcular a velocidade angular da peça 3. 
Definições Básicas – Mobilidade ou número de graus de liberdade 
Analisar a cinemática de mecanismos requer que desenhemos de forma simplificada 
o diagrama esquemático dos elos e juntas que o compõem. As Figs. 2.1 e 2.2 
mostram as notações esquemáticas recomendadas para elos binários, terciários, e de 
ordem superior, e para juntas móveis e fixas de liberdade rotacional e translacional, 
junto com um exemplo de suas combinações. 
Fig. 2.1 – Notação esquemática para diagramas cinemáticos. (Norton, 2010) 
Figura 1.12 Mabie & Reinholtz – Mecanismos e Dinâmica das Máquinas. 
Fig. 2.2 – Juntas ou pares cinemáticos de vários tipos. (Norton, 2010) 
Note que no projeto de mecanismos cinemáticos, esses podem ser representados 
através de blocos básicos interligados por elos ou barras e juntas. As juntas ou pares 
cinemáticos podem ser classificados de diferentes maneiras: Em função do tipo de 
contato (linha, ponto ou superfície), número de graus de liberdade (ex. rotação pura 
ou translação pura, M=1 e a união de rotação e translação, M=2). 
Definições Básicas – Mobilidade ou número de graus de liberdade 
Graus de Liberdade ou Mobilidade (M) 
A mobilidade de um sistema mecânico pode ser classificada de acordo com o número 
de graus de liberdade do mesmo. Os GDL do sistema são iguais ao número de 
parâmetros independentes necessários para definir uma única posição no espaço em 
qualquer instante de tempo (Norton, 2010). 
 
Para determinar o GDL geral de qualquer mecanismo, devemos considerar o número 
de elos e juntas, bem como as interações entre eles. Qualquer elo em um plano 
possui 3 GDL. Entretanto, um sistema de L elos desconectados em um mesmo plano 
terá 3L GDL, como na Fig. 2.3a, na qual os dois elos desconectados têm 6 GDL. 
Quando esses elos são unidos por uma junta completa na Fig. 2.3b, são removidos 2 
GDL, deixando 4 GDL. Além disso, quando um elo é fixado a estrutura de referência, 
todos os 3 GDL serão removidos. Esse raciocínio leva a equação de Gruebler: 
Considerando que em qualquer mecanismo real, mesmo se mais de um elo da cadeia 
cinemática estiver fixado, o efeito líquido será criar um elo fixo maior, de ordem 
superior, por poder ter somente um plano fixo. Assim, G será sempre igual a 1, e a 
equação de Gruebler fica: 
O valor de J nas Eqs. (2.1) e (2.2) deve indicar o valor de todas as juntas. Isto é, meias 
juntas contam como ½ porque removem apenas 1 GDL. Então podemos utilizar a 
modificação de Kutzbach na equação de Grueber, como: 
onde, J1= número de juntas com 1 GDL (completa); 
J2= número de juntas com 2 GDL (meia junta). 
Uma peça simples limitada a se mover com movimento plano, como mostrado na 
Fig.1.15a, possui três graus de liberdade. As coordenadas x e y do ponto P ao longo do 
ângulo q formam um conjunto de três parâmetros independentes descrevendo sua 
posição. Duas peças desconectadas com movimento plano são mostradas na Fig. 15b. 
Figura 1.15 Mabie & Reinholtz – Mecanismos e Dinâmicadas Máquinas. 
Se as duas peças estão conectadas por um pino como uma junta de rotação, conforme 
mostrado na Fig. 1.15c, o sistema de duas peças possui quatro graus de liberdade. 
Quatro parâmetros independentes descrevendo a posição das duas peças poderiam, 
por exemplo, ser as coordenadas x e y do ponto P1, o ângulo q1, e o ângulo q2. 
Existem muitos outros parâmetros que poderiam ser utilizados para especificar a 
posição dessas peças, mas apenas quatro podem ser independentes. 
Figura 1.15 Mabie & Reinholtz – Mecanismos e Dinâmica das Máquinas. 
O exemplo a seguir ilustra um caso de um mecanismo de 8 elos, e de apenas um grau 
de liberdade (Fig. 2.4), devido ao número total de 10 juntas, onde se observa que 
existe uma junta múltipla que liga 3 elos no mesmo ponto. Substituindo os valores na 
Eq. (2.3), obtemos 
Fig. 2.4 – Mecanismo com juntas completas e múltiplas. 
Figura 1.18 Mecanismos com juntas completas, múltiplas e meias juntas,Norton, L. Robert. 
Apenas quatro tipos de juntas são normalmente encontrados em mecanismos 
planos. Essas são as juntas de rotação, prismáticas, e de contato de rolamento (cada 
uma com um grau de liberdade), e as juntas de came ou engrenagens (com dois 
graus de liberdade). Essas juntas são mostradas na Fig. 1.19. As seguintes definições 
são aplicadas para a mobilidade de um dispositivo: 
M ≥ 1: o dispositivo é um mecanismo de M graus de liberdade 
M = 0: o dispositivo é uma estrutura estaticamente determinada 
M ≤ –1: o dispositivo é uma estrutura estaticamente indeterminada 
Figura 1.19 Mabie & Reinholtz – Mecanismos e Dinâmica das Máquinas. 
Existem três ligações, duas juntas de rotação com um grau de liberdade e uma junta 
tipo par superior com dois graus de liberdade. Na junta tipo par superior, as duas 
peças de contato podem transladar ao longo da linha de tangência comum ou 
rotacionar sobre o ponto de contato, resultando em dois graus de liberdade. A 
mobilidade é dada por 
 
M = 3(3 – 1) – 2(2) – 1(1) 
M = 1 
Esse é um mecanismo de um grau de liberdade. 
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