SERVO COMPENSAÇÃO

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COMPENSAÇÃO PELO 
MÉTODO DO LUGAR 
DAS RAÍZES
Profº. Robson Ramalho
SERVOMECANISMO 1
COMPENSAÇÃO
Profº. Robson Ramalho
 “Projetar usando o método do Lugar das raízes, significa
redesenhar o lugar das raízes do sistema pela adição de
pólos e de zeros na função de transferência de malha aberta
do sistema, forçando o novo lugar das raízes a passar pelos
pólos de malha fechada desejados no plano complexo”.
COMPENSAÇÃO
Profº. Robson Ramalho
 Compensação é a modificação da dinâmica de um sistema
para satisfazer determinadas especificações de desempenho.
 O dispositivo que será inserido no sistema com a finalidade
de satisfazer essas especificações, é chamado de
compensador.
 O compensador compensa a deficiência do sistema original.
 Os compensadores e controladores mais utilizados são os de
Avanço e Atraso de fase e os Controladores PID.
COMPENSAÇÃO
Profº. Robson Ramalho
 Compensação: Modificação do sistema de forma a satisfazer
especificações, por exemplo à precisão e velocidade de
resposta.
 Caso a especificação de desempenho forem dadas em
termos de medida de desempenho no domínio do tempo, tais
como tempo de subida, tempo de estabelecimento, margem
de fase, margem de ganho, largura de faixa, utiliza-se o
método do lugar das raízes.
COMPENSAÇÃO
Profº. Robson Ramalho
 Em nosso estudo será utilizado os compensadores em série.
 O ponto chave é a escolha dos polos e zeros do controlador
GC(s) de forma a alterar o lugar das raízes de forma que as
especificações sejam atendidas.
COMPENSAÇÃO
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 Ponto importante:
A adição de um pólo na função de transferência em malha
aberta tem o efeito de deslocar o lugar das raízes para a direita,
diminuindo a estabilidade relativa e tornando a resposta lenta.
COMPENSAÇÃO
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 Ponto importante:
A adição de um zero na função de transferência de malha aberta
tem o efeito de deslocar o lugar das raízes para a esquerda,
aumentando a estabilidade.
COMPENSAÇÃO
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Amplificadores operacionais
Também chamados abreviadamente de Amp-ops.
São utilizados para amplificar sinais em sensores de circuitos
Também são utilizados em filtros com a finalidade de compensação de 
sistemas.
onde as entradas e podem ser sinais cc ou ca e é o ganho 
diferencial (ganho de tensão).
O valor de é cerca de 105 a 106 para freqüências de até 10 Hz e torna-se 
aproximadamente unitário para freqüências entre 1 MHz e 50 MHz.
1e 2e
K
K
COMPENSAÇÃO
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COMPENSAÇÃO
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COMPENSAÇÃO
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       
21 Z
sEsE
Z
sEsE oi 
 ''
 
  1
2
Z
Z
sE
sE
i
o 
COMPENSAÇÃO
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COMPENSAÇÃO
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COMPENSAÇÃO
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Fazendo:
Ficamos com:
COMPENSAÇÃO
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Esta rede será de avanço de fase se: R1C1 > R2C2 ou α < 1
Esta rede será de atraso de fase se: R1C1 < R2C2 
COMPENSAÇÃO
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COMPENSAÇÃO
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Façamos:
O circuito abaixo é de avanço ou atraso de fase?
SE LIGA:
COMPENSAÇÃO
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Façamos: SOLUÇÃO
2
0
21
21)(0)(
1)(0)(
1
R
V
II
IRVV
I
Cs
VV
ssi
ssi



2
0
1
)(0)(
)(0)(
)(
)(
R
V
R
VV
CsVV
ssi
ssi 


COMPENSAÇÃO
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Façamos: SOLUÇÃO
21
1
)(
)(0
21
)(0
1
)(
2
0
1
)(0
)(0
1
)(
)(
2
0
1
)(0)(
)(0)(
/1/1
/1
)
11
()
1
(
)(
)(
RRCs
RCs
V
V
RR
CsV
R
CsV
R
V
R
V
CsV
R
V
CsV
R
V
R
VV
CsVV
si
s
ssi
s
s
si
si
ssi
ssi








)/1()/1(:
/1:
21
1
CRCRPolo
CRZero


COMPENSAÇÃO
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Façamos:
O circuito abaixo é de avanço ou atraso de fase?
SE LIGA:
COMPENSAÇÃO
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Façamos: SOLUÇÃO
)(
2
)(0
2
)(0
2
2
)(0
1
2
)(0
)(
)(2)(0
)()()(2)(1
)
1
(
1
)
1
()
1
(
)
1
(
)
1
(
1
si
sss
s
s
ss
sisss
V
Cs
R
V
Cs
Cs
R
V
R
Cs
R
V
R
Cs
R
V
I
I
Cs
RV
VI
Cs
IRIR










COMPENSAÇÃO
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Façamos: SOLUÇÃO
)/1(
)
1
(
)
1
()/1(
)
1
(
1
)
1
()
1
(
21
2
)(
)(0
2)(21)(0
)(
2
)(0
2
)(0
2
2
)(0
1
CsRR
Cs
R
V
V
Cs
RVCsRRV
V
Cs
R
V
Cs
Cs
R
V
R
Cs
R
V
R
si
s
sis
si
sss










)/1(:
)/(1:
2
21
CRPolo
CRRZero 
COMPENSAÇÃO
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 Considerar o seguinte projeto:
 Admite-se que o compensador por Avanço de Fase seja da
seguinte forma:
1
1
)(



s
s
cC
T
T
ksG


rcompensadodoGanhokc __
fasedeAvanço __10 
COMPENSAÇÃO
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IMAGINÁRIO
REAL
1J
1-1/Ts-1/αTs -1J
s
s
s
s
cC
Tpolo
Tzero
T
T
ksG



/1
/1
1
1
)(





Z
P
PZ  
0 PZ 
Contribuição angular positiva.

Contribuição do 
compensador.
COMPENSAÇÃO
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 Procedimento de projeto.
1 – Determinar a posição desejada dos pólos em malha
fechada.
2 – Verificar se é possível atender as especificações apenas
modificando o ganho.
3 – Determinar se os parâmetros α e T do compensador a partir
do avanço de fase de modo que a contribuição angular seja o
valor do ângulo γ necessário. Caso nenhum requisito atenda,
fazer α o maior possível.
4 – Determinar o ganho Kc. A partir do requisito de ganho de
malha aberta.
COMPENSAÇÃO
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 Exemplo:
1 – Considere a função transferência abaixo.
Projetar um compensador em malha fechada que:
A – Tenha um tempo de acomodação de 2 segundos;
B – Um sobre-sinal de 20%.
)2(
4
)()(


ss
sHsGC
COMPENSAÇÃO
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2
2
2
2
1/)(
1/)(
1/)(
1
)6,1(
1
6,1
)ln()2,0ln(
2,0
2
2
2



























e
e
eM P
45,0
56,256,2
1
56,2
222
2
22








34,4
46,0
4
2
4


n
n
n
sT



COMPENSAÇÃO
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 Polos:
8,32
8,32
46,0134,434,4.46,0
1
1
2,1
2
2,1
2
2,1
jS
jS
jS
jS nn



 
COMPENSAÇÃO
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IMAGINÁRIO
REAL
1J
1-2 -1J
S1 e S2 não pertencem ao lugar das raízes.
)2(
4
)()(


ss
sHsGC
8,322 jS 
8,321 jS 
COMPENSAÇÃO
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 Critério de ângulo.
Avaliar a fase de G1(s1), s1= -2 – 3,8j, s1 vai pertencer ao lugar
das raízes se:
...7,5,3,1º180.)1(1  rrsG
)2(
4
)8,32( 1


ss
jssGC
44,146,7
4
)8,3)(8,32(
4
)28,32)(8,32(
4






j
jjjj
COMPENSAÇÃO
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IMAGINÁRIO
REAL
1J
1-1J
º210
44,146,7
4



j
-7,6j
-14,44
º75,27
º75,207
º30º210º180 
Deficiência angular.
COMPENSAÇÃO
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Para pertencerao LGR o ângulo de Gs deveria 
ser igual a 180º, como o resultado foi 210º, não 
pertence.
Devemos inserir algo em que no ponto s1 
tenha um ângulo de 30º, assim o ponto s1 irá 
pertencer ao LGR.
COMPENSAÇÃO
Profº. Robson Ramalho
 Considerando um compensador:
bpoloazero
bs
as
G sC 


)(
pzpz
p
z 


 º30
COMPENSAÇÃO
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IMAGINÁRIO
REAL
1J
1-a-b -1J
PZ  
0 PZ 
Conribuição angular positiva.
PZ  
COMPENSAÇÃO
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Determine os pontos a e b de forma que a 
diferença entre suas contribuições angulares 
seja 30º.
COMPENSAÇÃO
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 O compensador por avanço de fase possui a seguinte FT:
10
1
1
)( 


  s
s
csC
T
T
kG
COMPENSAÇÃO
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 Determinando α e T.
1 – Marcar s = -2 + 3,8j
wn é obtido por pitágoras.
beta é obtido por tangente.
COMPENSAÇÃO
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 Determinando α e T.
2 – Desenhar a reta que passa por s1.
COMPENSAÇÃO
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 Determinando α e T.
3 – Traçar a bissetriz do ângulo (180-β)
COMPENSAÇÃO
Profº. Robson Ramalho
 Determinando α e T.
4 – Marcar os pontos -1/T e –(1/αT). A reta é azul é bissetriz do
ângulo ɸ.
COMPENSAÇÃO
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 Determinando α e T.
5 – Determinando T.
COMPENSAÇÃO
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 Determinando α e T.
5 – Determinando T.
COMPENSAÇÃO
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 Determinando α e T.
5 – Determinando -1/αT.
22
º180 


COMPENSAÇÃO
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)
2
º180
(180  
COMPENSAÇÃO
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Da trigonometria temos:
2
º180  





 





 






 






 
2
º180
2
º180
2
º180
/1
2
º180 



sen
sen
T
sen
T
sen
n
3415,0
º30
º60



T


COMPENSAÇÃO
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)
2
º180
(180  
COMPENSAÇÃO
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2
º180  





 





 






 






 
2
º180
2
º180
2
º180
/1
2
º180 





Tsen
sen
sen
T
sen n
n
5359,0
º30
º60






COMPENSAÇÃO
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 Determinando o ganho k.
 Condição de módulo
11830,0
13415,0
5359,0
1
1
)(






s
s
k
T
T
kG c
s
s
csC 
1)()()( sHsGsGC
COMPENSAÇÃO
Profº. Robson Ramalho
 Determinando o ganho k.
6837,41
)2(
4
11830,0
13415,0
5359,0 


cc k
sss
s
k
COMPENSAÇÃO
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 Função de transferência do sistema em malha aberta:
6837,41
)2(
4
11830,0
13415,0
5359,0 


cc k
sss
s
k
COMPENSAÇÃO
Profº. Robson Ramalho
4,5)/(1
9,2/1
5359,0
3415,0




T
T
T


 Função de transferência do sistema em malha aberta:
)2(
4
4,5
9,2
)()(



ss
x
s
s
KsGsG cC
COMPENSAÇÃO
Profº. Robson Ramalho
 O gráfico do LR compensado é dado por:
COMPENSAÇÃO
Profº. Robson Ramalho
 Gc(s), compensador, é dado por:
68,4
5359,0
3415,0



ck
T

11830,0
13415,0
48,2
11830,0
13415,0
5359,0.68,4
1
1
)(









s
s
s
s
T
T
kG
s
s
csC 
COMPENSAÇÃO
Profº. Robson Ramalho
Obrigado por sua atenção.
Profº. Robson Ramalho