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 TURMAS: 2ª SÉRIE – ENGENHARIA CIVIL E ENGENHARIA MECÂNICA– 2015.2 
 PROFESSOR: Ms. Miguel Aquino de Lacerda Neto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 UNIDADE 1. O ESTUDO DO CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL 
 
1. LIMITES 
 Queremos determinar o que acontece com f(x) à medida que x se aproxima indefinidamente de . 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
À medida que x se aproxima de 2, f(x) se aproxima de 4. 
Exemplo: O que acontece com f(x) quando x se aproxima de 0,da função ( ) 
 
√ 
. 
 
 x - 0,01 - 0,001 -0,0001 0,0001 0,001 0,01 
 f(x) 1,994987 1,999500 1,999950 2,000050 2,00500 2,0049 
 
Neste caso, dizemos que a função ( ) 
 
√ 
 . Ainda podemos ler como .
 
√ 
 / . 
 
2.DEFINIÇÃO DE LIMITE. 
 
 Se os valores de f(x) podem ser definidos tão perto de L quanto possível ao tomarmos x arbitrariamente próximos de 
 , dizemos que: ( ) 
 
 Onde lemos: ‗limite de f(x) quando x tende a x inicial‘ 
 
 
3. DEFINIÇÃO RIGOROSA DE LIMITE 
TEOREMA: 
 Seja I um intervalo aberto ao qual pertence um número real a. Seja f uma função definida para * +. Dizemos 
que o limite de ( ), quando x tende a a, é L e escrevemos ( ) , se para todo , existir 
tal que se | | então | ( ) | Ou seja: 
 ( ) | | | ( ) | 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde (épsilon) e ( delta minúsculo) são valores arbitrários dados. 
 
3 
 
Exemplos: 
1). Seja f uma função tal que ( ) Se ( ) , encontre um para tal que 
 | | | ( ) | 
 Resp. . 
 
2). Dado ,determinar um valor positivo tal que |( ) | sempre que | ( )| . 
 Resp. . 
 
3). Dada a função f tal que ( ) Determine um número para de modo que 
 | | | ( ) | , sabendo que ( ) 
 Resp. 
4). Usando a definição, demonstre que: . 
 
 
4. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LIMITES. 
 
 Vamos usar a definição de limite para provar que um dado número era limite de uma função. É um processo 
relativamente simples para funções lineares. A seguir introduziremos propriedades que podem ser usadas para achar 
muitos limites sem apelar para a pesquisa do número que aparece na definição do item anterior. 
 
1.Se f é a função definida por f(x)=C onde C ,para todo x real,então, . 
 
2.Se e ( ) então , , ( )- ( ) 
 
3. Se ( ) e ( ) ,então, ( ) ( )= 
 
4. Se ( ) e ( ) ,então, ( )( ) 
 
5. Se ( ) então, ( 
 ) ( ) , 
 
6. Se ( ) e ( ) ,então, .
 
 
/ ( ) 
 
 
 
 
7. Se ( ) então,√ ( )
 
 √ 
 
,com e ou e n é ímpar. 
 
8. Se , ( )- , ( )-,se ( ) 
 
9. ( )=( ( )) 
 
10. 
 ( ) ( ) 
 
 
5. LIMITE DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL 
 Para se resolver alguns limites de uma função polinomial, usaremos algumas técnicas de fatoração e alguns 
artifícios. Veja: 
1).Fator comum: ( ) 
 
2).Diferença de quadrados: ( ) ( ) 
 
3).Soma e Produto: 
 
4).Quadrado da soma e Quadrado da diferença:( ) e ( ) 
 
4 
 
5). Cubo e Quarta Potência 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 
Exemplos: Calcular os seguintes limites: 
a) 
 
 
 resp.4 
 
b) 
 
 
 resp. 1/3 
 
6. POLINÔMIOS DE GRAU 3 E MAIOR QUE 3. 
 
 Para resolver este tipo de limite, usaremos um dispositivo prático chamado de BRIOT RUFFINI e o TEOREMA 
D’ALEMBERT. Vejamos: 
 
 
1. Dispositivo prático de BRIOT RUFFINI: 
 Consiste em dividir uma equação polinomial de grau maior ou igual a 3,da seguinte forma: 
 
 ( ) , por ,obtemos um quociente ( ) 
e resto r. 
 
 2. Teorema D’ALEMBERT: 
 Um polinômio P(x) é divisível por se, e somente se, P(x)=0. 
 
→ Exemplos: Calcular os limites usando o dispositivo prático. 
 
 a) 
 
 
 
 
 
 b) 
 
 
 
 
 
 c) 
 
 
 
 
 
→Exemplos: Calcular os seguintes limites usando a fatoração: 
 a) 
 
 
 b) 
 
 
 c) 
 
 
 
 
 
 
 3.Calculando limites usando o conjugado. 
→Exemplos: Calcular os limites usando o conjugado. 
a) 
√ 
 
 resp. 1/4 b) 
√ 
√ 
 resp. 9/8. 
 
7. LIMITES LATERAIS. 
 
Observando o gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 • ( ) , é chamado de limite lateral à direita da a. 
 • ( ) , é chamado de limite lateral à esquerda de a. 
5 
 
 
→Exemplo 1: É dada a função definida por ( ) {
 
 
,calcular se existir: 
 
a) ( ) b) ( ) ( ) 
 
→Exemplo 2: Dada a função definida por ( ) 
| |
 
 , para todo , calcule ,se existir: 
 
a) ( ) b) ( ) c) ( ) 
 
OBS.: 
 Lembramos a definição de função modular: 
 
 | | {
 
 
 
 
→EXEMPLOS 
►Calcular os limites laterais, caso existam em cada situação dada: 
1.Dada ( ) 
| |
 
 definida em * +.Calcular : 
 
a) ( ) b) ( ) c) ( ) 
 
 
2.Dada ( ) 
| |
 
 definida em { 
 
 
}.Calcular: 
 
a) 
 
 
 
 ( ) b) 
 
 
 
 ( ) c) 
 
 
 
 ( ) 
 
3.Dada ( ) 
 
| |
 definida em * +. Calcular: 
 
a) ( ) b) ( ) c) ( ) 
 
4.Dada ( ) 
 
| |
 definida em * +.Calcular: 
 
a) ( ) b) ( ) c) ( ) 
 
5.Dada a função ,definida por: 
 
 
 ( ) {
 
 
 
 
 
Determine a para que exista ( ). 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
8. LIMITES INFINITOS 
 
•TEOREMA 
 Sejam f e g funções tais que ( ) ( ) . Então: 
I) 
 ( )
 ( )
 
 ( )
 ( )
 quando x está próximo de a. 
II) 
 ( )
 ( )
 
 ( )
 ( )
 quando x está próximo de a. 
 
•NOTAS: 
 → INEQUAÇÕES NA FORMA DE POTÊNCIA. 
 Considerando as seguintes funções: 
a) ( ) Possui raiz igual a 3,então: 
 
 + 
 3 
 Como n é impar (n=5), segue o sinal. 
 
 
b) ( ) Possui raiz igual a – 1, então: 
 
 
 -1 
 Como n é par (n =4), os sinais nunca sãonegativos. 
c) ( ) Possui raiz igual a 6, então: 
 
 
 
 6 
 Como n é par (n = 8), os sinais nunca são negativos. 
 
→EXEMPLOS: 
a) 
 
( ) 
 RESP: b) 
 
( ) 
 RESP: 
 
c) 
 
 
 RESP: d) 
 
( ) 
 RESP: 
 
e)Mostre pela definição que 
 
 
 
 
 
►LIMITES ENVOLVENDO O INFINITO. 
 
TEOREMA 
 Se n é um número inteiro e positivo, então: 
 (i) 
 
 (ii) 
 {
 
 
 
 
 TEOREMA 
 Se n é um número inteiro positivo, então: 
 (i) 
 
 
 
 (ii) 
 
 
 
7 
 
 
→EXEMPLOS: 
Encontre: 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
√ 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
 
►Alguns limites envolvendo infinito: 
 
1. 
 
 
 = 0 2. 
 
 
 = 0 3. 
 
 
 = 4. 
 
 
= 
 
 
►Limites de uma função polinomial para . 
 
* ( ) 
 * ( ) 
 
 
 
 
 
NOTA 1: Quando o polinômio de maior grau ficar no denominador, o limite é zero. 
a) 
 
 
 
 
NOTA 2: Quando os polinômios do numerador e denominador, têm o mesmo grau, o resultado é uma constante não 
nula. 
b) 
 
 
 
 
 
NOTA 3: Quando um polinômio de maior grau fica no numerador, o limite é infinito. 
c) 
√ 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
9. LIMITES TRIGONOMÉTRICOS. 
 
 O que já devemos saber sobre trigonometria: 
 
1). Relação Fundamental da Trigonometria: 
 
 1. 6. 
 
 2. 7. 
 
 3. 8. 
 
 
 
 
 4. 
 
 
 9. 
 
 
 
 
 5. 
 
 
 10. 
 
 
2). Ciclo trigonométrico: 
 
 Para se calcular os limites trigonométricos, devemos calcular no sentido horário e ou anti-horário. Vejamos o ciclo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Limite trigonométrico fundamental: 
 
 
 
 
 
 
 Visualizando o gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vejamos alguns exemplos de limites trigonométricos: 
Calcular os limites trigonométricos: 
9 
 
 
a) 
 
 
 b) 
 
 
 c) 
 
 
 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
►Com o auxílio das fórmulas complementares da trigonometria, calcular os seguintes limites: 
 
a) 
 
 
 b) 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
√ 
 
 d) 
 
 
 
 
e) Mostre que: 
 ( ) 
 
 
 
 
 UNIDADE 2. O ESTUDO DAS DERIVADAS 
 
A linguagem do movimento 
 
 Galileu, ao descrever pela primeira vez uma função que relacionava o espaço com o tempo na 
queda dos corpos, deixou em aberto a necessidade do Cálculo Diferencial, o cálculo com 
derivadas. A derivada expressa o ritmo da mudança instantânea em qualquer fenômeno que envolva 
funções. Mas, quando se trata de corpos em movimento, esta interpretação é especialmente precisa e 
interessante. De fato, historicamente, foi o que deu origem ao estudo das derivadas. 
 
A lei da queda dos corpos 
 
 A tentativa de Galileu de demonstrar que todos os corpos caem com a mesma aceleração esbarrou na falta de um 
instrumento matemático - as derivadas. Quem foi capaz de completar a tarefa de Galileu?... Isaac Newton e W.G. 
Leibniz, ambos separadamente e quase ao mesmo tempo, o que originou uma forte disputa entre eles. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gottfried Wilhelm Von Leibniz 
(Leipzig, 1 de julho de 1646 — Hanôver, 14 de Novembro de 1716) 
 
 
Sir Isaac Newton 
(Woolsthorpe, 4 de Janeiro de 1643 — Londres, 31 de Março de 1727) 
 
 Newton e Leibniz iniciaram o Cálculo Diferencial e, ao medir o ritmo de mudança dos fenómenos físicos, 
naturais e inclusivamente sociais, abriram as portas ao espectacular desenvolvimento científico e tecnológico que 
10 
 
transformou o mundo em 3 séculos tanto ou mais que em toda a história anterior. Parecia que por fim se tinha 
cumprido o sonho pitagórico: explicar o mundo com a Matemática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
() O despeito de Newton (1642 – 1727) devido a algumas críticas desfavoráveis levou-o a manter em segredo durante 30 anos, sem publicá-
las, as suas descobertas relativas ao Cálculo Diferencial e Integral. Na correspondência com Leibniz (1646 – 1716) deu-lhe alguns indícios e 
este foi capaz de por si só desenvolver o Cálculo com uma notação melhor. Quando o publicou, foi acusado de plágio. Leibniz recorreu à 
British Royal Society, presidida pelo próprio Newton; o que foi a sua perdição. Desacreditado pela opinião dominante, neste caso nada 
imparcial, a historia terminou amargamente para ele. Newton gabava-se de ―ter desfeito o coração de Leibniz‖. 
 
 
 INTRODUÇÃO 
 
 Se uma função é representada graficamente por uma reta (função afim) facilmente sabemos com que velocidade 
varia essa função. Corresponde, é claro, ao declive da reta representativa da função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E se o gráfico da função não for uma reta? Com que velocidade (rapidez) varia essa função? 
 O que os Matemáticos se lembraram, foi de ―substituir localmente‖ a curva por uma reta e calcular o declive 
dessa(s) reta(s) e… o resto é História e o estudo das Derivadas… 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Frisemos que a derivada de f no ponto pode ser indicada das seguintes formas: 
 
11 
 
1. ( ) 
 ( ) ( )
 
 
 
2. ( ) 
 
 
 
 
3. ( ) 
 ( ) ( )
 
 
 
A DERIVADA USANDO A RETA TANGENTE 
 
 Quando queremos obter a equação de uma reta passando por ( ) e coeficiente angular m, utilizamos a 
fórmula de Geometria Analítica: 
 ( ) 
Graficamente, temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Em particular, se queremos a equação da reta tangente t ao gráfico de uma função f no ponto ( ), em que f é 
derivável, basta fazer ( ) e 
 ( ). A equação da reta t fica: ( ) 
 ( ) ( ) 
 
Exemplos: 
 
1. Qual é a equação da reta tangente à curva no seu ponto deabscissa 4 ? 
 
 
2. Determine a inclinação da reta tangente ao gráfico da função ( ) no ponto: 
(a)(2; 4) e (b)( 
 ) como mostra o gráfico a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a)resp. 4 (b) resp. 
 
Exemplo: Calcule a derivada da função ( ) no ponto: 
12 
 
 (a)( 2; 6) ; (b)(x0, f (x0)), como mostra a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) resp. 11 (b) 
 1 
 
1. Calcularmos a derivada de f(x)=2x no ponto . 
Resp.:2 
 
2. Calcularmos a derivada de f(x)= no ponto . 
Resp.: 3 
 
3. Calcular a derivada de ( ) no ponto 
 
 
. 
Resp.: ½ 
 
INTERPRETAÇÃO CINEMÁTICA-APLICAÇÃO NA FÍSICA 
 
 A derivada da função ( ) no ponto é igual à velocidade escalar do móvel no instante . 
 
 A derivada da função ( ) no ponto é igual à aceleração escalar do móvel no instante . 
 
•Exemplos: 
 
1. Um ponto material percorre uma curva obedecendo à equação horária . Calcule a sua velocidade no 
instante . 
 
2. Calcule a aceleração de uma partícula no instante ,sabendo que sua velocidade obedece à equação 
 . 
 
 
DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES: 
 
a)Derivada da função constante: ( ) ( ) 
 
b)Derivada da função potência: ( ) ( ) 
 
c)Derivada da função seno: ( ) ( ) 
 
d)Derivada da função cosseno: ( ) ( ) 
 
e)Derivada da função exponencial: ( ) ( ) 
 
No caso particular da função exponencial de base e, ( ) ,temos o resultado notável: 
 
 ( ) , logo: 
 
 
13 
 
 
 ( ) ( ) 
 
f)Derivada da função logarítmica natural (base e):f(x)=ln x ( ) 
 
 
 ou ( ) 
 
 
 
 
 
REGRAS DE DERIVAÇÃO 
 
I. Derivada da soma ou da diferença. 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
II. Derivada do produto: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
III. Derivada do quociente: 
 
 ( ) 
 ( )
 ( )
 ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( )
, ( )- 
 
 
IV. Regra da Cadeia: 
 
 ( ) ( ) 
 
V. Derivada de uma função composta: 
 
 ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) 
 
VI. Derivada da função arc sen: 
 
 
 
√ 
 
 
VII. Derivada da função arc cos: 
 
 
 
√ 
 
 
VIII. Derivada da função tangente: 
 
 
 
 
 
 
 O CÁLCULO DAS INTEGRAIS INTEGRAIS 
 
INTEGRAL INDEFINIDA 
 A operação que envolve uma integral indefinida consiste em achar sua primitiva, ou seja, é a mesma operação 
que consiste em achar uma antiderivação. O que muda então? A notação! 
 Para denotar a integral de uma função passaremos a utilizar a seguinte notação: Se ( ) . Sua primitiva é: 
 ( ) 
 
 
 . 
 
 
14 
 
PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS INDEFINIDAS 
 
 a)∫, ( ) ( )- ∫ ( ) ∫ ( ) 
 
 b)∫ ( ) ∫ ( ) 
 
Exemplos: 
Calcular: 
a)∫( ) resp.: 
 
 
 
 
 
 
 
b)∫ .
 
 
 √ / resp.: 
 
 
 
 
 
 √ 
 
c)∫( ) resp.: 
 
 
 
 
d)∫ . 
 
 
 
 
 
/ resp.: 
 
 
 | | 
 
O CÁLCULO DE ÁREAS ENVOLVENDO AS INTEGRAIS 
 Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real , -. A integral definida de f(x), de a até b, é um 
número real, e é indicada pelo símbolo: 
 
 ∫ ( ) 
 
 
 
Onde: 
• a é o limite inferior de integração; 
• b é o limite superior de integração; 
• f(x) é o integrando. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
►CÁLCULO DA INTEGRAL DEFINIDA: 
 
 Na prática, a integral de f sobre , - não é avaliada empregando-se a definição, pois, a não ser em casos 
particulares, a determinação do limite da soma de Riemann de f é bastante difícil. 
 Felizmente, o Cálculo da integral de f sobre , - pode ser facilmente realizado quando conhecemos uma primitiva 
P de f, pois, neste caso, o valor da integral é dado simplesmente por: ( ) ( ) Precisamente, é possível 
demostrar o seguinte Teorema: 
 Se f é uma função contínua em , - e se P é uma primitiva de f, então: 
 
 
 
 
•OBS: A diferença: ( ) ( ) poderá ser indicada pela notação ( ) 
 
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 𝐹(𝑏) 𝐹(𝑎) 
15 
 
 
No gráfico, podemos observar que: 
 
 
 
 
 
 
 
 ∫ ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 a b 
 
O cálculo de área de figuras planas pode ser feito por integração. Vejamos as situações que comumente ocorrem. 
 
•CASO I: 
-Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas e o eixo dos x, onde f é contínua 
e ( ) , -(ver figura): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, a área é dada por: ∫ ( ) 
 
 
 . 
Exemplo 1: Encontre a área limitada pela curva e os eixos dos x. 
SOLUÇÃO: 
 A curva intercepta o eixo x nos pontos de abscissa – 2 e 2. Veja a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, a área da integral é: ∫ ( ) . 
 
 
/
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
•CASO II: 
-Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas e o eixo dos x, onde f é contínua 
e ( ) , -(ver figura): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É fácil constatar que neste caso basta tomar o módulo da integral. Logo, a área da integral 
é: ∫ ( ) 
 
 
 |∫ ( ) 
 
 
|. 
 
Exemplo 2:Encontre a área limitada pela curva e o eixo dos x. 
RESP. 32/3 u.a. 
 
 
•CASO III: 
-Cálculo de área da figura plana limitada pelos gráficos de f e g, pelas retas x = a e x = b, onde f e g são funções 
contínuas em , - e ( ) ( ) , -, Neste caso pode ocorrer uma situação particular onde f e g 
assumem valores não negativos para todo , - . Observe a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então, a área é calculada pela diferença entre a área sob o gráfico de f e a área sob o gráfico de g, ou ainda: 
 
 ∫ ( ) 
 
 
 ∫ ( ) 
 
 
 ∫ ( ( ) ( ))
 
 
 
 
Para o caso geral, obtemos o mesmo resultado. Basta imaginar o eixo dos x deslocado de tal maneira que às funções 
se tornem não negativas, , -.Observando a figura, concluímos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∫ ( ( ) ( )) 
 
 
 ∫ ( ( ) ( ))
 
 
 
 
17 
 
 
 
EXEMPLOS: 
1. Encontre a área limitada por 
Resp.: A = 9/2 u.a. 
 
2. Encontre a área limitada pelas curvas . 
Resp.: A = 0,5 u.a. A = ½ u.a. 
 
3. Encontre a área da região limitada pelas curvas 
Resp.: A = - 9/2 u.a. 
 
4. Encontre a área da região S limitada pelas curvas 
Resp.: A = 22u.a. 
 
5. Encontre a área da região S, limitada pela curva e pelo eixo dos x de 0 até como mostra a figura. 
 
 
 
 Resp.: A = 4u.a. 
 
 
 
 
 
TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
 
 1. INTEGRAIS POR SUBSTITUIÇÃO.Seja a expressão ∫ , ( )- ( ) . Através da substituição ( ) por ( ) ou 
 
 
 ( ), ou ainda, 
 ( ) , vem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Admitindo que se conheça ∫ ( ) . 
 O método da substituição de variável exige a identificação de e ou e na integral dada. 
 
EXEMPLOS: Calcular as integrais indefinidas por substituição: 
 
a)∫
 
 
 resp. | | 
 
b)∫√ resp. 
 
 
√( ) 
 
c)∫ resp. 
 
d)∫ ( ) 
 
 
 resp. ( ) 
 
∫𝑔,𝑓(𝑥)- 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 ∫𝑔(𝑢)𝑑𝑢 ℎ(𝑢) 𝐶 ℎ,𝑓(𝑥)- 𝐶 
18 
 
e)∫ resp. 
 
 
 
 
f)∫ resp. 
 
 
 
 
g)∫ resp. 
 
 
 
h)∫( ) resp. 
( )
 
 
 
 
 
2. INTEGRAIS POR PARTES. 
 
 Sabemos que para a derivada de um produto ( ) ( ) vale a igualdade: 
 
 ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
 Então: 
 
 ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) FÓRMULA 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
•Calcular as integrais usando o método da integração por partes. 
 
a) ∫ resp. 
 
 
 
 
 
 
 
b) ∫ resp. 
 
c) ∫ resp. 
 
d) ∫ resp.
 
 
( ) 
 
e) ∫ resp. 
 
 
 
 
 
ANEXOS: 
 
 TABELA COMPLEMENTAR DOS LIMITES TRIGONOMÉTRICOS 
 
1. 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
19 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
8. 
 ( )
 
 
 
 
 TABELA DAS INTEGRAIS ELEMENTARES: 
 
 
1. ∫ ∫ 
 
2. ∫ 
 
3. ∫ 
 
 
 
 
4. ∫
 
 
 
 
5. ∫ 
 
 
 
 
6. ∫ 
 
7. ∫ 
 
8. ∫ 
 
9. ∫ 
 
10. ∫ 
 
11. ∫ 
 
12. ∫ 
 
13. ∫
 
 
 
 
14. ∫
 
√ 
 
 
15. ∫ 
 
√ 
 
 
16. ∫
 
√ 
 | √ | 
 
17. ∫
 
 
 
 
 
 |
 
 
| 
 
18. ∫ 
 
 
 
 
19. ∫ 
 
 
 
20 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA: 
•IEZZI, Gelson, 1939- 
 Fundamentos de Matemática Elementar, 8: limites, derivadas, noções de integral-6.ed.-São Paulo: Atual, 2005. 
 
•GUIDORIZZI, Hamilton Luiz, 
 Um curso de Cálculo, vol. 1 / Hamilton Luiz Guidorizzi. – 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. 
 
•Flemming, Diva Marília 
 Cálculo A: funções, limites, derivação, integração / Diva Marília Flemming, Miriam Buss Gonçalves. – São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2006. 
 
OBS. Este material faz parte da aula. Estudar também pelos livros indicados 
 
 
▶LISTA DE EXERCÍCIOS N1 
 1. No seguinte problema, ( ) para dado, determinar um 
positivo tal que | ( ) | e sempre que 
 | | . 
 
2. Mostre usando a definição de limite que: ( ) 
 
3. Nos problemas 1 a 7, para o dado, determine um positivo tal que | ( ) | e sempre que | | . 
 
 a). ( ) ( ) 
 
 b). ( ) ( ) 
 
 c). ( ) ( ) 
 
 d). ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 e). ( ) ( ) 
 
 f) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 g). ( ) 
 
 
4. Demonstre, usando a definição, que: 
 
a) ( ) b) ( ) c) ( ) 
 
5. Nos problemas a seguir, verifique se cada limite está correto, pelo o uso direto da definição. Isto é, para ache 
de tal maneira que | ( ) | válido sempre que | | . 
 
a). ( ) 
 
b). ( ) 
 
6. Usando os artifícios estudados e discutidos em sala de aula, calcule cada limite eliminando sua indeterminação. 
•BRIOT RUFINNI 
a) 
353
142
lim
23
23
1 

 xxx
xxx
x
 
 
21 
 
b) 
2
33
lim
23
23
1 

 xx
xxx
x
 
 
c) 
584
463
lim
23
23
1 

 xxx
xxx
x
 
 
d) 
132
243
lim
23
23
1 

 xx
xxx
x
 
 
•FATORAÇÃO 
a) 
 
 
 e) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 f) 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 g)
ax
ax
ax 


22
lim
 
d) 
 
 
 h)
33
22
lim
xa
xa
ax 

 
 
•CONJUGADO 
a) 
√ 
 
 d) 
√ 
 
 g) 
√ √ 
√ 
 
 
b) 
 √ 
 
 e) 
√ √ 
 
 h) 
√ 
 
 
√ 
 
 
c) 
√ 
 
 f) 
√ √ 
 
 i) 
√ 
 
 
√ 
 
 
 
7. Seja a função f definida por: 
 
 ( ) {
 
 
 
 
 , calcule ( ). 
8. Para cada uma das seguintes funções, calcule o valor de 
 ( ) ( )
 
 para cada situação pedida. 
a) ( ) 
 
b) ( ) 
 
 
 
 
c) ( ) 
 
 
 
 
d) ( ) 
 
e) ( ) 
 
 
 
 
9. Calcule os seguintes limites: 
a) 
 
 
 b) 
 
 
 c) 
√ 
√ 
 d) 
( ) 
 
 e) 
 
 
 
 
f) 
√ 
√ 
 g) 
√ 
√ 
 
 h) 
 
 
 i) 
 
 
 
 
10. Determine L para que a função dada seja contínua no ponto dado. 
22 
 
 
a) ( ) {
 
 
 
 
 
 
 
b) ( ) {
√ √ 
 
 
 
 
 
c) ( ) {
√ √ 
√ √ 
 
 
 
 
▶QUESTÕES EXTRAS: 
 
11. Seja a função f definida por: 
 
 ( ) {
 
 
 
 
 , calcule ( ). 
 
12. Seja a função: 
 
 ( ) {
 
 
 
 
. Mostre que o ( ) . 
 
13. Calcule os seguintes limites: 
 
a) 
 
 
 e) 
 
 
 i) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 f) 
 
 
 j) 
 
( ) ( )
 
 
c) 
 
 
 
 g) 
 
 
 k) 
( )d) 
 
 
 h) 
 
 
 l) 
 
 
 
 
14. Usando o dispositivo prático, calcular os seguintes limites: 
 
a) 
 
 
 c) 
 
 
 e) 
 
 
 g) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 d) 
 
 
 f) 
 
 
 h) 
 
 
 
 
 
 
 
 
15. Usando o conjugado, calcular os seguintes limites: 
 
a) 
√ 
 
 d) 
√ 
 
 g) 
 √ 
 √ 
 j) 
√ 
 
√ 
 
 
 
b) 
 √ 
 
 e) 
√ √ 
 
 h) 
√ 
 
 
 
 k) 
√ 
√ 
 
 
c) 
√ 
 
 f) 
√ √ 
 
 i) 
√ 
 
 √ 
 
( ) 
 l) 
√ ( ) 
 
 
 
23 
 
16. Calcular os limites a seguir, usando as propriedades justificando cada passagem: 
a) ( 
 ) b) ( 
 ) c) ,( )
 ( ) - 
 
d) 
 
, - e) 
 
 
 
( ) f) .
 
 
/ 
 
g) 
√ 
 
 h) √
 
 
 i) √
 
 
 
 
 
▶LISTA DE EXERCÍCIOS N2 
1. Dada a função f definida por: ( ) {
 
 
 
 . Calcule: 
 
a) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) 
 
 
2. Seja h definida por: ℎ( ) {
 
 
 
 
(a) Esboce o gráfico de h; 
 
(b) Calcule; se existir: ℎ( ) ℎ( ) ℎ( ). 
 
3. É dada a função f definida por ( ) 
 
| |
. Calcule se existir: 
 
a) ( ) ) ( ) ) ( ) 
 
4. Dada ( ) 
| |
 
 definida em * +.Calcular : 
 
a) ( ) b) ( ) c) ( ) 
 
5. Dada ( ) 
| |
 
 definida em { 
 
 
}.Calcular: 
 
a) 
 
 
 
 ( ) b) 
 
 
 
 ( ) c) 
 
 
 
 ( ) 
6. Dada ( ) 
 
| |
 definida em * +. Calcular: 
 
a) ( ) b) ( ) c) ( ) 
 
7. Dada ( ) 
 
| |
 definida em * +.Calcular: 
 
a) ( ) b) ( ) c) ( ) 
 
8. Dada a função ,definida por: ( ) {
 
 
 
 .Determine a para que exista ( ). 
 
9. Dada a função definida por ( ) 
| |
 
 definida em * + Calcular se existir os limites laterais a 
seguir: ( ) ; ( ) e ( ) . 
 
 
 
24 
 
▶LISTA DE EXERCÍCIOS N3 
 
1. Calcule os limites trigonométricos a seguir: 
a) 
 
 
 b) 
 
 
 c) 
 
 
 d) 
 
 
 
 
 e) 
 
 
 
 
f) 
 
 
 g) 
 
 
 h) 
 
 
 i) 
 ( ) 
 
 
 
2. Mostre que: 
 
 
 . 
 
3. Calcule o 
 ( ) 
 
. 
 
4. Mostre que: 
 ( ) ( )
 
 ℎ 
 
5. Calcule: 
 
 
. 
 
6. Calcule o valor do 
 
 
. 
 
7. Calcule os seguintes limites trigonométricos: 
a) 
 ( )
 
 b) 
 
 
 c) 
 
 
 
 
8. Prove que: 
 
 
 
 
 
( ). 
 
▶LISTA DE EXERCÍCIOS N4 
1. Se ( ) {
 
 
 , calcule: 
 
 (a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
2. Se ( ) {
 
 
 
 , calcule: 
 
(a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 
 
3. Seja ( ) {
| |
 
 
 
 . 
Achar, se existirem ( ) ( ) ( ) 
 
4. Seja ( ) | |. Calcule os limites indicados se existirem: 
 
( ) ( ) (b) ( ) (c) ( ) 
 
5. Seja ( ) | |.Calcule os limites indicados se existirem: 
 
(a) 
 
 
 
 ( ) (b) 
 
 
 
 ( ) (c) 
 
 
 
 ( ) 
 
6. Dada a função definida por ( ) {
 
 
 
 
 . Determine para que exista ( ) 
 
25 
 
7. Seja a função: 
 ( ) {
 
 
 
 
. Mostre que o ( ) . 
 
8. Nos seguintes exercícios, é dada uma função f. Calcule os limites laterais indicados se existirem. 
 
1º). ( ) {
 
 
 
 
 
a) ( ) b) ( ) c) ( ) 
 
2º). ( ) {
 
 
 
 
a) ( ) b) ( ) c) ( ) 
 
 
3º). ( ) {
 
 
 
 
a) ( ) b) ( ) c) ( ) 
 
 
4º). ( ) { 
 
 
 
 
a) ( ) b) ( ) c) ( ) 
 
9. Calcule os limites infinitos: 
 
a) 
 
 
 b) 
 
 
 c) 
 
 
 d) 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 f) 
 
 
 
 
 
 
 g) 
 
( ) 
 h) 
 
( ) 
 
 
10. Mostre pela definição que: 
 
a) 
 
 
 b)