Trabalho 2 Cálculo Numérico

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EXATAS – ÁREA DO CONHECIMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E ENGENHARIAS 
TRABALHO 2 – PESO: 1,0 PONTOS – DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO 
PROFA. VÂNIA M P SLAVIERO – vmpslavi@ucs.br 
ALUNO(S): IGOR RIBEIRO, MARIANO CAMPAGNARO ______________________ DATA: 31/05/2018 
Orientações: só será feita a correção do trabalho que tem todas as questões feitas. A entrega deve ser feita até a aula 
seguinte ao da prova, na pasta Webfólio, no horário lá fixado. Trabalhos atrasados não serão aceitos e trabalhos que 
configurem como cópias, parciais inclusive, terão nota zero. Duas questões, sorteadas em aula no dia da entrega, serão 
corrigidas, com valor 0,5 cada uma. Em negrito, após cada enunciado, encontra-se o que é solicitado. Pode ser feito 
em duplas, devendo constar o(s) nome(s) na entrega. Use o formato solicitado em cada questão para as respostas e 
edite o documento, retirando linhas em branco e cálculos desnecessários. Coloque unidades, quando for o caso. O 
número de páginas não pode exceder a 6, incluindo o enunciado. Salve em .pdf. 
 
Questão 1 Use format short A intensidade de uma fonte radioativa é dada por I = Ioe
-kt. 
Através de observações, tem-se: 
t 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 
I 3,16 2,38 1,75 1,34 1,00 0,74 0,56 
 
a) Encontre os valores de I0 e k e escreva a função de ajuste I(t); 
 
b) Ajuste aos dados uma função polinomial de terceiro grau e responda: qual dos modelos é o melhor ajuste? 
Justifique. 
 
c) Faça o gráfico dos nodos, do ajuste exponencial e do ajuste polinomial numa única janela para confirmar 
tua resposta no item b). Comente. 
 
• Linhas digitadas no MATLAB: 
clear 
clc 
close all 
format short 
x=[0.2:0.1:0.8]'; 
y=[3.16 2.38 1.75 1.34 1 0.74 0.56]'; 
figure 
plot(x,y,'*'),grid, 
hold on 
[a,b,SQE]=AjusteExp(x,y) 
xx=min(x):0.01:max(x); 
f=@(xx) a*exp(b*xx); 
yy = f(xx); 
plot(xx,yy,'b') 
[c,SQE]=AjustePol(x,y,3) 
t=min(x):0.01:max(x); 
f1=VPol(c,t); 
plot(t,f1,'k'); 
hold off 
 
 
a) Função obtida: f(t)=5.63*e-2.88*t 
 
 I0 = 5.6310 k =2.8883 
 
Resíduo quadrático: 8.9700e-04 
 
 
b) Função obtida: f(t)= -5.8333*t3+14.6905*t²-14.1321*t+5.4464 
 
Resíduo quadrático: 9.3095e-04 
 
Melhor ajuste: Ajuste exponencial. 
Justificativa: Pois apresenta um resíduo quadrático menor que o Ajuste Polinomial. 
 
c) Gráfico e comentário: 
 
 
Em azul se encontra o ajuste exponencial, 
em preto o ajuste polinomial cúbico e em 
magenta os nodos. 
Para que fosse possível visualizar a diferença 
entre as duas curvas, foi necessário fazer-se 
um zoom no gráfico e embora pareça que as 
duas funções estejam sobrepostas, a função 
em azul passa mais próxima dos nodos. 
 
 
 
Questão 2 Use format short Realiza-se um teste de tensão para determinar o comportamento tensão-deformação da 
borracha. Os dados coletados são fornecidos a seguir. 
Deformação  0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 4,4 4,8 5,2 5,6 6,0 
Tensão  
(MPa) 
0 3,0 4,5 5,8 5,9 5,8 6,2 7,4 9,6 15,6 20,7 26,7 31,1 35,6 39,3 41,5 
 
Deseja-se ajustar uma função polinomial a todos os dados, resolvendo-se um sistema linear de 3 incógnitas e 3 
equações. 
a) Escreva matricialmente o sistema a ser resolvido para encontrar o polinômio de ajuste; 
 (na forma AX = b) 
 
b) Escreva o polinômio de ajuste; 
 
c) Obtenha a tensão  para  = 4,1. 
 
• Linhas digitadas no MATLAB: 
clear 
clc 
format short 
x=[0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4 4.4 4.8 5.2 5.6 6]'; 
y=[0 3 4.5 5.8 5.9 5.8 6.2 7.4 9.6 15.6 20.7 26.7 31.1 35.6 39.3 
41.5]'; 
[A,b,c,Y,Sqe]=AjustePol(x,y,2); 
%C) 
C=4.1; 
f=@(C)1.3160*C.^2-0.8565*C+2.4202; 
Tensao=f(C) 
 
a) Sistema AX = b: 
A X b 
4.5648e+03 0.9216e+03 0.1984e+03 
0.9216e+03 0.1984e+03 0.0480e+03 
 0.1984e+03 0.0480e+03 0.0160e+03 
X1 
X2 
X3 
5.6980e+03 
1.1590e+03 
0.2587e+03 
 
b) Polinômio de ajuste: f(x)= 1.3160*x²-0.8565*x+2.4202 
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
 
c) (4,1) = 21.0305 MPa 
 
 
Questão 3 Use format rat Sendo 200 candelas a intensidade de uma lâmpada, foi calculada a iluminação em casos de 
incidência normal sobre uma superfície situada a distâncias conhecidas, quando para cada distância foi calculada a 
iluminação, conforme a tabela a seguir: 
 
Distância (m) 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 
Iluminação 
(lux) 
200,00 128,00 88,39 65,30 50,00 39,50 32,00 
 
a) Escreva a expressão algébrica de 
( )4s x
, da interpolação por splines cúbicos. 
 
b) Utilizando o polinômio interpolador que contém todos os nodos, calcule a iluminação quando a superfície estiver 
situada a 2,2 m da lâmpada. 
 
c) Usando a função obtida em a), determine, usando um método que determina zeros de uma função, a distância para 
que tenhamos intensidade de iluminação igual a 60 lux. 
 
• Linhas digitadas no MATLAB: (para todos os itens) 
clear,clc,close all 
format rat 
x=[1:0.25:2.5]'; 
y=[200 128 88.39 65.3 50 39.5 32]'; 
[C]=Coefspline3(x,y); 
coeficientes=C(4,:); 
[c,v]=IVander(x,y,2.2); 
f=@(x)(-4197/119)*(x-1.75)^3+(10693/173)*(x-1.75)^2-(9306/125)*(x-
1.75)+(53/10); 
a=1.5; 
b=2; 
tol=0.5e-8; 
kmax=1000; 
[x,k,Erel]=ZeroBissecao(f,a,b,tol,kmax) 
 
a) 
( )4s x
= -4197/119*(x-1.75)³+10693/173*(x-1.75)²- 9306/125*(x-1.75)+ 653/10 para 1.75<=x<=2.00 
 
b) Resposta: 30166/731 lux 
 
c) Resposta: 1404/769 m 
 
 
Questão 4 Use format shorte Na resolução de sistemas lineares pelos métodos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-
Seidel um dos critérios de paradas faz a estimativa de erro relativo a partir de 
 
usando a norma-2 (norma euclidiana) 
 
Esta é uma norma-p, onde: 
norm-p de v é definida por sum(abs(v).^p)^(1/p). 
a) Reescreva o sistema abaixo para assegurar a convergência por Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel: 
 
Sistema original -----→ Sistema Pivotado 
 
{
 
 
 
 
2𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 − 7𝑥5 = 7 
−8𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 − 3𝑥5 = 5
2𝑥1 − 4𝑥2 + 7𝑥3 = 13
−𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 − 10𝑥4 + 2𝑥5 = 4
10𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 + 3𝑥4 = 2
 
 
{
 
 
 
 
10𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 + 3𝑥4 = 2
−8𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 − 3𝑥5 = 5
2𝑥1 − 4𝑥2 + 7𝑥3 = 13
−𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 − 10𝑥4 + 2𝑥5 = 4
2𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 − 7𝑥5 = 7 
 
 
 
 
b) Determine o vetor solução do sistema, usando como vetor inicial o vetor com todas as componentes iguais a -
1 (menos 1) e como critério de parada tol = 0.5×10-8. 
b.1) Pelo método de Gauss-Seidel com a norma-3; 
b.2) Pelo método de Gauss-Jacobi com a norma-3; 
b.3) Responda: Para resolver os itens a) e b) foi feita alguma modificação nos programas SLGaussJacobi e 
SLGaussSeidel? Se positivo, cite-as; 
b.4) Reescreva a função ErroRelVet com as modificações feitas, utilizando a norma-3. 
 
• Linhas digitadas no MATLAB: 
clear,clc,close all 
format shorte 
A=[10 4 -1 3 0;0 -8 -2 1 -3;2 -4 7 0 0;-1 2 -3 -10 2;2 -1 -1 1 -7]; 
b=[2 5 13 4 7]'; 
tol=0.5e-8; 
kmax=1000; 
[x,k,erel] = SLSeidel(A,b,tol,kmax) 
[ y,k1,Erel1 ] = SLJacobi( A,b,tol,kmax ) 
 
 
a) Sistema reescrito: 
 
b.1) X = [9.5580e-01 -7.0665e-01 1.1803e+00 -1.1837e+00 -9.6367e-01]t 
 
Erro: 1.9161e-09 Número de iterações realizadas: 14 
 
b.2) X = [9.5580e-01 -7.0665e-01 1.1803e+00 -1.1837e+00 -9.6367e-01]t 
 
Erro: 1.8201e-09 Número de iterações realizadas: 23 
 
 b.3) Resposta: Sim, foi alterado o vetor inicializador de x=ones(n,1); para x=-1*ones(n,1); 
 
b.4) function Erel=ErroRelVet(u,x) com as modificações 
function [ Erel ] = ErroRelVet( u,v ) 
if norm(v) == 0 
Erel = norm(u); 
else 
Erel = norm(u-v,3)/norm(v,3);end 
 
 
Questão 5 Use format shorte Considere o seguinte sistema de equações lineares: 
[
−1,2
2
−1
5,6
 
5
3,4
1
−2
 
6
1
−13
1
 
21
0
1
1
] [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
] = [
7
1
−2
2
] 
 
a) Determine X a solução do sistema pelo método da eliminação de Gauss, sem aplicar estratégia de pivotamento, e Y 
a solução pelo método de Gauss, com pitovamento parcial. 
 
X = [3.0225e-01 6.9798e-02 1.5818e-01 2.8879e-01]t 
 
Y = [3.0225e-01 6.9798e-02 1.5818e-01 2.8879e-01]t 
 
b) Reorganize o sistema e aplique um método iterativo para encontrar o vetor solução Z, com 𝑡𝑜𝑙 = 0,5 × 10−8. 
 
Z = [3.0225e-01 6.9798e-02 1.5818e-01 2.8879e-01]t 
 
Número de iterações realizadas: 19 
Resíduo relativo na última iteração: 3.6779e-10 
 
c) Calcule as diferenças relativas entre X e Y, e entre X e Z. 
 
Diferença relativa entre X e Y: 4.8408e-16 
 
Diferença relativa entre X e Z: 1.1064e-09