Primeira Lista de CDI 3 Introdução às Funções de Várias Variáveis Reais (3)

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Primeira Lista de Cálculo Diferencial e Integral III
Introdução às Funções De Várias Variáveis Reais
Professor: Marcelo Roberto Mana (mana.marcelo@gmail.com.br)
Curso: Engenharia: Civil
Entrega: No dia da P1
ATENÇÃO!: O Trabalho Deve ser Entregue Em Papel A4 Com Capa
Questões:
1. Seja f(x, y) = 3x + 2y. Calcule:
a) f(1,−1) b)f(a, x)
c)
f(x + h, y) − f(x, y)
h
d)
f(x, y + k) − f(x, y)
k
2. Seja f(x, y) = x − y
x + 2y .
(a) Determine o domínio.
(b) Calcule f(2u + v, v − u).
3. Represente graficamente o domínio da função z = f(x, y) dada por
a) x + y − 1 + z2 = 0, z ≥ 0 b) f(x, y) = x − y√
1 − x2 − y2
c) z =√y − x2 +√2x − y d) z = ln(2x2 + y2 − 1)
4. Seja f ∶ R2 Ð→ R uma função linear. Sabendo que f(1,0) = 2 e f(0,1) = 3, calcule f(x, y).
5. Verifique se a função é homogênea. Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade.
a) f(x, y) = x3 + 2xy2
x3 − y3 b) f(x, y) =√x4 + y4
c) f(x, y) = 5x3y + x4 + 3 d) f(x, y) = 2
x2 + y2
6. Suponha que f ∶ R2 Ð→ R seja homogênea de grau 2 e f(a, b) = a para todo (a, b), com
a2 + b2 = 1. Calcule:
(a) f(4√3,4)
(b) f(0,3)
(c) f(x, y), (x, y) ≠ (0,0)
7. Desenhe as curvas de nível das funções dadas:
a) f(x, y) = 1 − x2 − y2 b) f(x, y) = x + 3y
c) z = 4x2 + y2 d) f(x, y) = 1 + x2 + y2
8. Suponha que T (x, y) = 4x2 + 9y2 represente uma distribuição de temperatura no plano xy:
T (x, y) é a temperatura, que podemos supor em 0C, no ponto (x, y). Desenhe a isoterma
correspondente à temperatura de 360C.
9. Represente geometricamente o domínio da função dada:
(a) f(x, y, z) =√1 − x2 − y2 − z2
(b) f(x, y, z) =√1 − z
10. Desenhe a superfície de nível correspondente a c = 1.
a) f(x, y, z) = x b) f(x, y, z) = z
c) f(x, y, z) = x2 + y2 d) f(x, y, z) = x2 + 4y2 + z2
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