GEX158_EDP_aulas_17_a_20

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GEX158 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 
TurmaA 03A 15A 19A 22A - Aulas 17 a 20 – 11 e 12/06/2013 
 
Lista 1.1 pg. 992 Exercícios 1 a 5 
 Pg. 993 Exercícios 1 a 9 
 pg. 996 Exercícios 1 a 6 
Lista 1.2 pg. 1000 Nos exercícios de 4 a 10, se a EDO é exata, resolva; 
se não é exata, verifique se existe um fator de integração e, caso exista, determine 
esse fator, multiplique a EDO original por esse fator, verifique que a EDO 
resultantes é exata e a resolva. 
 pg. 998 Exercícios 1 a 6. 
Lista 1.3: Thomas-Finney pg. 1007 Exercícios 1 a 10 
 
 
O Método da decomposição polinomial 
Dada a EDO 
( ) ( )2D aD b y g x+ + = 
o método consiste em: 
( )1 Decompor a EDO ( ) ( )2D aD b y g x+ + = como ( )( ) ( )1 2D r D r y g x− − = , em 
que 1r e 2r são as raízes da equação característica 
2 0r ar b+ + = . 
( )2 Fazer ( )2u D r y= − e resolver a EDO linear de primeira ordem 
 ( ) ( )1D r u g x− = ⇔ ( )1
du r u g x
dx
− = 
( )3 Determinado ( )u x , resolve-se outra EDO linear de primeir ordem 
 ( ) ( )2D r y u x− = ⇔ ( )2
dy r y u x
dx
− = 
 
Exemplo: Determinar a solução geral da EDO ( )2 1 xD y e+ = 
 A decomposição: ( )( ) xD i D i y e+ − = 
 A substituição: ( )u D i y= − ⇒ ( ) xD i u e+ = 
1 
 
 ⇒ xdu iu e
dx
+ = 
 O fator integrante: idxe∫ ixe= 
 Multiplicando: ix ixdue ie u
dx
+ xixe e= 
 ixd e u
dx
 ( )1 i xe += 
 ixe u ( )1 1
*1
1
i xe C
i
+= +
+
 
 u 1
*1
1
x ixe C e
i
−= +
+
 
 Voltando à substituição: 
 ( )u D i y= − ⇔ ( )D i y− 1*
1
1
x ixe C e
i
−= +
+
 
 dy iy
dx
− 1
*1
1
x ixe C e
i
−= +
+
 
 O fator integrante: idxe −∫ ixe−= 
 Multiplicando: ix ixdye ie y
dx
− −− 1
*1
1
x ix ixe C e e
i
− − = + + 
 
 ixdy e y
dx
−
 
( )1
1
* 21
1
i x ixe C e
i
− −= +
+
 
 ixe y− ( )1 1
* 21
1
i x ixe C e dx
i
− − = + + ∫
 
 ixe y− 
( )( )
( )1 1
2
*
21
1 1 2
i x ixCe e C
i i i
− −= − +
+ −
 
 y 1 2
1
2
x ix ixe C e C e−= + + 
Lista 1.4: Resolver, pelo método de variação dos parâmetros, as EDO’s 
 ( )a ( )'' 2 ' 3 10cos 3y y y x+ − = ( )b 2'' 2 ' 3 6 11y y y x x+ − = − + 
 Pg. 1010 Exercícios ímpares de 1 a 9 
 
 
2 
 
Solução de EDO linear de ordem n>2 
 A forma geral: ( ) ( )11 1...n n nnD a D a D a y g x− −+ + + + = 
 Novamente, a solução geral é a soma: phy y y= + 
 Os métodos de determinação de uma solução particular py são semelhantes 
àqueles vistos para o caso de EDO’s lineares, a coeficientes constants, de segunda ordem. 
 
O método de variação dos parâmetros: 
 Seja a solução geral da homogênea associada dada por: 
( ) ( ) ( )1 1 2 2 ... nnhy C p x C p x C p x= + + + 
 O método consiste em encontrar funções ( ) ( ) ( )1 1, ,..., nw x w x w x que satisfaçam: 
 1 1 2 2
' ' '... n nw p w p w p+ + + 0= 
 1 1 2 2
' ' ' ' ' '... n nw p w p w p+ + + 0= 
 1 1 2 2
' '' ' '' ' ''... n nw p w p w p+ + + 0= 
 ……………… 
 ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 2
' ' '...n n nn nw p w p w p
− − −+ + + 0= 
 ( ) ( ) ( )1 1 11 1 2 2
' ' '...n n nn nw p w p w p
− − −+ + + ( )g x= 
 Resolvido o sistema para ( ) ( ) ( )1 2' ' ', ,..., nw x w x w x , obtem-se, por integração, 
( ) ( ) ( )1 2, ,..., nw x w x w x . 
 A solução: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 ... n ny w x p x w x p x w x p x= + + + 
O método da decomposição polinomial 
 ( ) ( )( ) ( ) ( )11 1 1 2... ...n n n nnD a D a D a y D r D r D r y g x− −+ + + + = − − − = 
Passo 1: ( ) ( )1 2 ... nu D r D r y= − − ⇒ ( ) ( )1 1D r u g x− = 
 ⇒ ( )1 1 1
du r u g x
dx
− = Uma EDO linear de primeira ordem. 
 O fator integrante: 1 1r dx r xe e−−∫ = 
3 
 
 Multiplicando: 1 11 1 1
r x r xdue r e u
dx
− −− ( ) 1r xg x e−= 
 ⇒ ( )1 1r xd e udx
− ( ) 1r xg x e−= 
 ⇒ 1 1
r xe u− ( ) 1 1
r xg x e dx C−= +∫ 
 ⇒ ( )1u x ( )1 1 11
r x r x r xe g x e dx C e−= +∫ 
 ⇒ ( ) ( ) ( )2 1... nD r D r y u x− − = 
Passo 2: ( ) ( )2 3 ... nu D r D r y= − − 
⇒ ( )2u x ( )2 1 21 2
r x r x r xe u x e dx C e−= +∫ 
 ⇒ ( ) ( )3 2... nD r D r y u− − = 
...... 
Passo 1n − : ( )1 nnu D r y− = − 
 ⇒ y ( ) 11 n nnn
r xr x r x
ne u x e dx C e
− −
−= +∫ 
 
O método dos coeficientes a determinar 
 Dada a EDO ( ) ( )11 1...n n nnD a D a D a y g x− −+ + + + = , em que ( )g x só contem 
termos da forma ( ), , , sink axa x e ax ou ( )cos ax , a solução particular py é uma 
combinação linear de ( )g x e suas derivadas LI. 
 
Exemplo: Determinar a solução geral da EDO ( )3 2 22 2 xD D D y e+ − − = 
Resolução: 
( )a A solução da homogênea ( )3 22 2 0D D D y+ − − = 
 A equação característica: 
3 22 2 0r r r+ − − = ⇔ ( )( )( )1 1 2 0r r r− + − = 
 A solução geral de homogênea: 
 21 2 3
x x x
hy C e C e C e
−−= + + 
4 
 
( )b O método de variação dos parâmetros 
 A solução é dada por ( ) ( ) ( ) 21 2 3x x xy w x e w x e w x e−−= + + que satisfaça:
 21 2 3
' ' 'x x xw e w e w e−−+ + 0= 
 21 2 3
' ' '2x x xw e w e w e−−− − 0= 
 21 2 3
' ' '4x x xw e w e w e−−+ + 2xe= 
 Resolvendo o sistema pela regra de Cramer: 
 
2
2
2 2
1 2
2
2
'
0
det 0 2
4
det 2
4
x x
x x
x x x
x x x
x x x
x x x
e e
e e
e e e
w
e e e
e e e
e e e
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
 
 − − 
  =
 
 − − 
  
 
( )
( )2 2 2 2
2
4 2 1 2 4
x x
x x x x
e e
e e e e− − − −
− −− − −
=
− − + − − − +
 
 2
1
6 6
x
x
x
e e
e−
−−
= =
−
 
 1w 1
1
6
xe C= + 
 
( )
2
2
2 2
3
2 22
2
2
'
0
det 0 2
4 2 3
6 6
det 2
4
x x
x x
x x x x x
x
xx x x
x x x
x x x
e e
e e
e e e e e
w e
ee e e
e e e
e e e
−
−
−
−−
−
−
−
−
−
 
 − 
  − − = = = −
− 
 − − 
  
 ⇒ 2 2
31
6
xw e C−= + 
 
( )2 22 4
3 22
2
2
'
0
det 0
1
6 3
det 2
4
x x
x x
x xx x x
x
xx x x
x x x
x x x
e e
e e
e ee e e
w e
ee e e
e e e
e e e
−−
−
−
−
−
−
−
−
−
 
 − 
  − − = = =
− 
 − − 
  
 ⇒ 43 3
1
12
xw e C= + 
 A solução: y ( ) ( ) ( ) 21 2 3x x xw x e w x e w x e−= + + 
5 
 
 4 21 2 3
31 1 1
6 6 12
x x x x x xe C e e C e e C e−−−     = + + + + +     
     
 
 2 21 2 3
1
12
x x x xe C e C e C e−−= + + + 
 
( )c O método da decomposição polinomial 
 ( )3 2 22 2 xD D D y e+ − − = ⇔ ( )( )( )1 1 2D D D y− + + 2xe= 
A primeira substituição: 
 ( )( )1 2u D D y= + + ⇒ ( )1 duD u u
dx
− = − 2xe= Linear de primeira ordem 
 O fator integrante: dx xe e− −∫ = 
 Multiplicando: x xdue e u
dx
− −− 2x xe e−= ⇒ ( )xd e udx
− xe= 
 ⇒ xe u− 1
*x xe dx e C= = +∫ ⇒ ( )u x 12 *x xe C e= + 
 ⇒ ( )( )1 2D D y+ + 12 *x xe C e= + 
A segunda substituição: 
 ( )2w D y= + ⇒ ( )1D w+ 12 *x xe C e= + ⇒ 
dw w
dx
+ 1
2 *x xe C e= + 
 O fator integrante: dxe∫ xe= 
 Multiplicando: x xdwe e w
dx
+ ( )12 *x x xe e C e= + 
⇒ ( )xd e wdx 
3 2
1
*x xe C e= + 
⇒ xe w ( )3 2 3 211 2
*
* *1
3 2
x x x xCe C e dx ee C= + = + +∫ 
⇒ ( )w x 1 2
*
2 *1
3 2
x x xCe e C e−= + + 
⇒ ( )2D y+ 1 2
*
2 *1
3 2
x x xCe e C e−= + + 
6 
 
 Finalmente: 2dy y
dx
+ 1 2
*
2 *1
3 2
x x xCe e C e−= + + 
 O fator integrante: 2dxe∫ 2xe= 
 Multiplicando: 2 22x xdye e y
dx
+ 2 1 2
*
2 *1
3 2
x x x xCe e e C e−
 
= + +  
 
 
 ⇒ ( )2xd e ydx 
1
2
*
4 3 *1
3 2
x x xCe e C e= + + 
 ⇒ 2xe y 1 2 3
*
4 3 * *1
12 6
x x xCe e C e C= + + + 
 ⇒ y 1 2 3
*
2 * * 21
12 6
x x x xCe e C e C e−= + + + 
 A solução: ( )y x 1 2 32 2
1
12
x x x xe C e C e C e−= + + + 
 
( )d O método dos coeficientes a determinar 
 Como ( ) 2xg x e= , a solução particular a ser considerada é da forma 2xpy C e= , 
que deve satisfazer ( )3 22 2 pD D D y+ − − ( )3 2 2 22 2 x xD D D C e e= + − − = 
 ( ) 2 28 8 2 2 12x xC e C e+ − − = 2xe= ⇒ 1
12
C = 
 A solução particular: py 
21
12
xe= 
 A solução geral: y 2 21 2 3
1
12
x x x x
p hy y e C e C e C e
−−= + = + + + 
 
Teorema da mudança exponencial 
 Se ( ) 11 1 0...n nn nP D a D a D a D a−−= + + + + e ( )u x é uma função n-diferenciável 
então ( )( ) ( )ax axP D u e e P D a u= + 
A prova por indução para o caso ( ) nP D D= . É preciso mostrar que: 
( )1 É verdade para 1n = . Vejamos: 
7 
 
 Se ( )P D D= ⇒ ( )( )axP D u e ( )ax ax axD u e e Du uDe= = + 
 ( )ax ax axe Du uae e Du ua= + = + 
 ( )axe D a u= + 
( )2 Se é verdade para n k= então é verdade para 1n k= + . 
 Se é verdade para n k= então ( )( ) ( ) ( )kax k ax axP D u e D u e e D a u= = + e 
precisamos provar que é verdade para 1n k= + , ou seja, que 
( ) ( ) 11 kk ax axD u e e D a u++ = + . Vejamos: 
 ( )1k axD u e+ ( ) ( )kk ax axD D u e D e D a u  = = +    
 ( ) ( )k kax axe D D a u ae D a u = + + +  
 ( ) ( )k kaxe D D a u a D a u = + + +  
 ( )( )kaxe D a D a u = + +  
 ( ) 1kaxe D a u+= + 
 Então, para todo n inteiro e positive, se ( ) nP D D= , então 
( )( ) ( ) ( ) ( )nax n ax ax axP D u e D u e e D a u e P D a u= = + = + 
A prova para o caso geral ( ) 11 1 0...n nn nP D a D a D a D a−−= + + + + 
 ( )( )axP D u e ( )( )11 1 0...n n axn na D a D a D a u e−−= + + + + 
 ( ) ( ) 11 ...
n nax ax
n ne a D a u e a D a u
−
−= + + + + 
 ( )1 0ax axe a D a u e a u+ + + 
 ( ) ( ) ( )11 1 0...
n nax
n ne a D a u a D a u a D a u a u
−
−
 = + + + + + + +  
 ( )axe P D a u= + 
Corolário 1: ( ) ( )n ax ax nD a ue e D u− = 
Prova: Trivial 
8 
 
Corolário 2: Se c é uma constante e ( )P D o operador polinomial, então 
 ( ) axP D ce ( )axce P a= 
Prova: ( ) axP D ce ( )axe P D a c= + 
 ( ) ( ) ( )11 1 0...
n nax
n ne a D a a D a a D a a c
−
−
 = + + + + + + +  
 Observe que: ( )kD a c+ ( ) ( ) ( ) ( )1 1k kD a D a c D a ac− −= + + = + 
 ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2k kD a D a ac D a a c− −= + + = + 
 …………….. 
 ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1kk k kD a a c D a a c−− − −= + = + 
 ka c= 
 Então: 
 ( ) axP D ce ( ) ( ) ( )11 1 0...
n nax
n ne a D a c a D a c a D a c a c
−
−
 = + + + + + + +  
 11 1 0...
ax n n
n ne a a c a a c a ac a c
−
− = + + + +  
 11 1 0...
ax n n
n ne a a a a a a a c
−
− = + + + +  
 ( )axe P a c= 
Integral imprópria 
 Seja ( )f x uma função contínua no intervalo : 0I x h≤ ≤ , com 0h > . Se, quando 
h →∞ , a integral definida ( )
0
h
f x dx∫ convergir para um limite finito K, diz-se que a 
integral imprópria ( )
0
f x dx
∞
∫ existe e converge para esse valor K. Escreve-se: 
( ) ( )
0 0
lim
h
h
f x dx f x dx K
→
∞
∞
= =∫ ∫ . 
Caso o limite não exista, diz-se que a integral imprópria diverge ou não existe. 
Exemplo: 
0
1
1
dx
x
∞
+∫ ( ) 00
1lim lim ln 1
1
h h
h h
dx x
x→ →∞ ∞
= = +  +∫ 
9 
 
 ( )lim ln 1
h
h
→∞
= + −   não existe! 
 
Exemplo: 2
0
1
1
dx
x
∞
+∫ ( )2 00
1lim lim arctg
1
h h
h h
dx x
x→ →∞ ∞
= =   +∫ 
 ( ) 0lim arctg 0 2
h
h
h π
→∞
= − =   
Teorema: Se a integral imprópria ( )
0
sxe f x dx K−
∞
=∫ converge quando 0s s= então 
converge para todo 0s s> . 
A integral imprópria ( )
0
sxe f x dx−
∞
∫ , se existe, é uma função de s. 
Lista 1.5: 
Exercício 1: Encontra a solução geral da EDO ( )2 3 2 4D D y+ + = , usando o método 
da decomposição polinomial. Resp: ( ) 21 22 x xy x C e C e− −= + + 
Exercício 2: Encontra a solução geral da EDO ( )2 3 2 12 xD D y e+ + = , usando o 
método de variação dos parâmetros. Resp: ( ) 21 22 x x xy x e C e C e− −= + + 
Exercício 3: Encontra a solução geral da EDO ( ) ( )4 22 1 sinD D y x x− + = − , usando o 
método dos coeficientes a determinar. 
 Resp.: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4
1 sin
4
x xy x C C x e C C x e x x−= + + + + − 
 Pg. 1010 Exercícios ímpares de 1 a 9 
 
10