GEX158_EDP_aulas_53_e_54_i

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GEX158 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 
TurmaA 03A 15A 19A 22A - Aulas 53 e 54 – 20/08/2013 
 
Livro: Equações Diferenciais Parciais: Uma introdução – Prof. Reginaldo J. Santos 
Lista 2.1 Exemplo 2.7 pg. 175 
 Exemplo 2.8 pg. 176 
 Exemplo 2.9 pg. 183 
Exemplo 2.10 pg. 185 
Exemplo 2.11 pg. 189 
pg. 202 Exercícios 1.1 a 1.10 (excluído o 1.3) 
Lista 2.2 Resolver as integrais 
( )
20
0
3 sin
2 40
n xi x dxπ =  
 ∫ e ( )
40
20
360 sin
2 40
n xii x dxπ   = −   
   ∫ 
e determinar o valor de ( ) ( )1
20n
c i ii= +   do exemplo 3.2 (pg. 286). 
 
 Exercícios 1.1 a 1.3 pg. 290 
Lista 2.3 Exercícios 2.1 e 2.2 pg. 300 
Lista 2.4 Exercícios 3.1 a 3.3 pg. 313 
Lista 2.5 Exemplo 4.3 pg. 355 
 Exercícios 1.3 a 1.7 pg. 359 
 
Cap 5 Equação de Laplace Bidimensional pg. 419 
 
5.1 Equação de Laplace no retângulo (O problema de Dirichlet no retângulo): 
 Queremos ( ),u x y que satisfaça 
 ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 0 00
,0 , 0
0, , 0
u u
x y y bx a
u x f x u x b g x x a
u y h y u a y k y y b
∂ ∂
+ =∂ ∂ < << <

 = = < <


= = < <


 
 
1 
 
É possível mostrar que a solução é dada por 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,gf h ku x y u x y u x y u x y u x y= + + + , em que 
 ( ),fu x y é a solução para ( ) ( ) ( )0, 0 e 0g x h x k x= = = ; 
 ( ),gu x y é a solução para ( ) ( ) ( )0, 0 e 0f x h x k x= = = ; 
 ( ),hu x y é a solução para ( ) ( ) ( )0, 0 e 0f x g x k x= = = ; 
 ( ),ku x y é a solução para ( ) ( ) ( )0, 0 e 0f x g x h x= = = . 
 
5.1.1 A solução para apenas ( )k y não nula. 
 Queremos ( ),u x y que satisfaça: 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 0 00
,0 0 , 0 0
0, 0 , 0
u u
x y y bx a
u x u x b x a
u y u a y k y y b
∂ ∂
+ =∂ ∂ < << <

 = = < <


= = < <


 
 A solução: ( ),ku x y 
1
c sin sinhn
n
n y n x
b b
π π∞
=
   =    
   
∑ , em que 
 c sinhn
n a
b
π 
 
 
 ( )
0
2 sin n yk y dy
b b
π∞  =  
 ∫ ( )1,2,3,...n = 
5.1.2 A solução para apenas ( )h y não nula. Pg. 427 
 Queremos ( ),u x y que satisfaça: 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 0 00
,0 0 , 0 0
0, , 0 0
u u
x y y bx a
u x u x b x a
u y h y u a y y b
∂ ∂
+ =∂ ∂ < << <

 = = < <


= = < <


 
2 
 
 A solução: ( ),hu x y ( )
1
sin sinhn
n
n y nd a x
b b
π π∞
=
   = −   
   
∑ , em que 
 sinhn
n ad
b
π 
 
 
 ( )
0
2 sin n yh y dy
b b
π∞  =  
 ∫ ( )1,2,3,...n = 
A solução para apenas ( )g x não nula. 
 Queremos ( ),u x y que satisfaça: 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 0 00
,0 0 , 0
0, 0 , 0 0
u u
x y y bx a
u x u x b g x x a
u y u a y y b
∂ ∂
+ =∂ ∂ < << <

 = = < <


= = < <


 
Vamos supor uma solução do tipo ( ) ( ) ( ),u x y X x Y y= . Derivando e 
substituindo na EDP original: 
 ( ) ( ) ( ) ( )'' '' 0X x Y y X x Y y+ = ⇒ ( )( )
( )
( )
'' ''Y x X y
Y x X y
λ= − = 
 ⇒ 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
'' 0 0 0 0 1
'' 0 0 0 2
X x X x X X a
Y y Y y Y
λ
λ
+ = = =

− = =
 
 A EDO (1), linear de 2ª ordem, já foi resolvida (problema de calor em uma barra 
com condições de fronteira homogêneas) e sabemos que só tem solução se 
2 2
2
n
a
πλ = ,
( )1,2,3,...n = . As soluções são da forma ( ) 1 sin
n xX x c
a
π =  
 
. 
 Substituindo 
2 2
2
n
b
πλ = em (2) e considerando que ( )0 0Y = : 
 ( ) ( )
2 2
2'' 0
nY x Y x
b
π
− = ⇒ ( ) 2 2 sinh
n ny ya a nX x c e e c y
a
π π π−   = − =   
  
 
3 
 
 Logo, o problema dado pela equação de Laplace 
2 2
2 2 0
u u
x y
∂ ∂
+ =
∂ ∂
, com condições 
de fronteira ( ) ( )0, , 0u y u a y= = , para 0 y b< < , e ( ),0 0u x = , para 0 x a< < , tem 
soluções fundamentais dadas por: 
( ) ( ) ( ), sin sinhn
n x n yu x y X x Y y
a a
π π   = =    
   
 
 Nesse caso, a solução do problema de Dirichlet é uma série da forma: 
( )
1
*, c sin sinhn
n
n x n yu x y
a a
π π∞
=
   =    
   
∑ 
 Para satisfazer ( ) ( ),u x b g x= : 
( )
1 1
* *c sin sinh c sinh sinn n
n n
n x n b n b n xg x
a a a a
π π π π∞ ∞
= =
        = =                
∑ ∑ 
 Trata-se da série de Fourier em senos, para a função ( )g x e, se a função ( )g x é 
contínua por partes com derivada contínua por partes em [ ]0, a , os coeficientes da série 
são dados por: 
( )
0
* 2c sinh sinn
n b n xg x dx
a a a
π π∞   =   
   ∫ ( )1,2,3,...n = # 
 Observe a semelhança entre as soluções ( ),ku x y e ( ),gu x y , em razão da simetria 
do problema: 
 
( )
( )
1
1
*
, c sin sinh
, c sin sinh
nk
n
g n
n
n y n xu x y
b b
n x n yu x y
a a
π π
π π
∞
=
∞
=
    =        

    =        
∑
∑
 
 
( )
( )
0
0
*
2c sinh sin
2c sinh sin
n
n
n a n yk y dy
b b b
n b n xg x dx
a a a
π π
π π
∞
∞
    =    
   

    =       
∫
∫
 1, 2,3,...n = 
 
 
4 
 
 Pode-se, então, escrever a solução ( ),fu x y a partir da solução ( ),hu x y : 
 
( ) ( )
( ) ( )
1
1
*
, sin sinh
, sin sinh
nh
n
nf
n
n y nu x y d a x
b b
n x nu x y d b y
a a
π π
π π
∞
=
∞
=
    = −       

    = −       
∑
∑
 
 
( )
( )
0
0
*
2sinh sin
2sinh sin
n
n
n a n yd h y dy
b b b
n b n xd f x dx
a a a
π π
π π
∞
∞
    =    
   

    =       
∫
∫
 1, 2,3,...n = 
 
Lista 2.6 pg. 436 Exercícios 1.1 e 1.2. 
5