Funções_cap_6

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Matemática I 
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CAPÍTULO 6 
Função Logarítmica 
 
 
 
6.1 – Logaritmo – Sendo a e b números reais positivos, com a ≠ 1, chama-se logaritmo de b na 
base a, o expoente x tal que ax = b. 
 Simbolicamente : 
 loga b = x ⇔ ax = b 
 
Observe que : 
 � o logaritmando b deve ser > 0 (ou seja, só existe logaritmo de número positivo) 
 � a base a deve ser > 0 e ≠ 1 (ou seja, a base a é positiva e diferente de 1) 
 
6.2 - Conseqüências da definição 
 
1) loga a = 1 ( o logaritmo da própria base vale 1) 
2) loga 1 = 0 ( o logaritmo de 1 em qualquer base vale 0) 
3) baloga = b (a potência de base a e expoente loga b vale b) 
4) loga b = loga c ⇔⇔⇔⇔ (b = c) (dois logaritmos de mesma base são iguais se, e só se, os 
logaritmandos são iguais) 
 
6.3 - Propriedades dos Logaritmos 
 
Para quaisquer números reais positivos a, b e c com a ≠ 1, valem as seguintes propriedades: 
 
P1) loga by = y loga b, com y∈R (o logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente pelo 
logaritmo da base da potência) 
P2) loga (b . c) = loga b + loga c (o logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores) 
P3) loga 





c
b
 = loga b - loga c (o logaritmo do quociente é igual à diferença entre o logaritmo do 
dividendo e o do divisor) 
P4) loga b = 







alog
blog
k
k , com k > 0 e k ≠ 1 ( mudança de base) 
 
Um número irracional notável em matemática é representado pela letra e. Sendo irracional, o 
seu valor tem infinitas casas decimais : e = 2,71828182...... Este número é muito utilizado como base 
de um sistema de logaritmos chamado logaritmo natural (ou logaritmo neperiano) : y = loge x ou y = 
ln x. 
 
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6.4 - FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
Chama-se função logarítmica a função f : *+R → R , cuja regra é f(x) = loga x, com 1 ≠ a > 0 
Exemplos : 
a) f(x) = log2 x é uma função logarítmica (com a = 2), cujo gráfico é : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) f(x) = 
2
1
log x é uma função logarítmica (com a = 1/2), cujo gráfico é : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.5 - Propriedades da Função Logarítmica 
 
G1) Como a função log é injetiva : loga x = loga y ⇒ x = y (x > 0, y > 0 e 1 ≠ a > 0) 
 
G2) Sendo a base a > 1, a função é crescente : loga x2 > loga x1 ⇔ x2 > x1 
 
G3) Sendo a base 0 < a < 1, a função é decrescente : loga x2 < loga x1 ⇔ x2 > x1 
 
 
 
x y = log2 x 
1/8 -3 
1/4 -2 
1/2 -1 
1 0 
2 1 
4 2 
8 3 
x y = 
2
1
log x 
1/8 3 
1/4 2 
1/2 1 
1 0 
2 -1 
4 -2 
8 -3 
Dom(f) = *+R 
Im(f) = R 
f é decrescente em todo seu domínio 
 
Dom(f) = *+R 
Im(f) = R 
f é crescente em todo seu domínio 
 
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6.6 - Equação Logarítmica 
 
É toda equação que apresenta a incógnita no logaritmando ou na base de um logaritmo. 
Exemplos : 
a) log5 x = 3 
b) log (x2 – x) + log x = log 9 
c) logx 3 x = 2 
 
Resolução de uma Equação Logarítmica 
A resolução baseia-se na propriedade G1 das funções logarítmicas : loga x = loga y ⇒ x = y 
Atentar para as condições de existência (logaritmando > 0 e 1 ≠ base > 0) 
 
6.7 - Inequação Logarítmica 
É toda inequação que apresenta a incógnita no logaritmando ou na base. 
Exemplos : 
a) log5 x > 3 
b) log (x2 + 2 x) + log (x − 3) ≤ log 9 
c) logx 3 x ≥ 5 
 
Resolução de uma Inequação Logarítmica 
A resolução baseia-se nas propriedades G2 e G3 das funções logarítmicas. 
Atentar para as condições de existência 
 
6.8 - Atividades 
 
Exercício 1 
Determinar: 
a) log5 25 b) log2 
8
1
 c) 9log
3
 d) 125
5
1
log e) 3
 
9
27
log 
Exercício 2 
Calcule o valor de : 
a) 8 log25 b) 31 + log34 c) 3log32 d) 81 + log23 
 
Exercício 3 
Determine : 
a) log5 (3 ⋅ 4) b) log4 (2 ⋅ 3 ⋅ 5) c) log2 [x ⋅ (x+1)], se x > 0. 
 
d) log5 





3
2
 e) log5 





5
3 . 2
 f) log2 




 +
1-x
1x
 , se x+1 > 0 e x−1 > 0, ou 
seja, se x > 1 
 
g) log3 25 h) log5 32 i) log2 







4
3
1
 
 
Exercício 4 
Se log E = 1 + log a + 2 log b – log c, determine E 
 
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Exercício 5 
Sendo log 8 = a e log 3 = b, determine log 2 e log3 18 em função de a e b. 
 
Exercício 6 
Determine log3 








 
 
3
4 2
c10
ba
 
 
Exercício 7 
Escreva na base 10 os seguintes logaritmos: 
a) log2 7 b) log100 3 
 
Exercício 8 
Utilizando mudança de base, mostre que : logb a = 
b log
1
a
 
Exercício 9 
Se x e y são reais positivos e diferentes de 1 e logy x = 3, determine : 
a) logx y b) yog 2x
 l 
 
Exercício 10 
Determine : 
a) y = log3 5 ⋅ log25 27 b) y = log3 2 ⋅ log4 3 ⋅ log5 4 ⋅ log6 5 ⋅ log7 6 ⋅ log8 7 ⋅ log9 8 ⋅ 
log10 9 ? 
 
Exercício 11 
Determine log100 72, sabendo que log 2 = a e log 3 = b 
 
Exercício 12 
Se a e b são raízes da equação x2 − p x + q = 0 (p > 0 e 0 < q ≠ 1), prove que : 
 logq aa + logq bb + logq ab + logq ba = p 
 
Exercício 13 
Determinar o domínio da função f(x) = log x
−
1 (−x2 +3 x + 4) 
 
Exercício 14 
O domínio da função f(x) = logx
−
3 (x2 – 7 x + 12) é o conjunto : 
a) {x∈R | x < 3 ou x > 4} b) {x∈R | x > 4} c) {x∈R | 2 < x < 6} 
d) {x∈R | x < 6} e) {x∈R | 7 < x < 12} 
 
 
Exercício 15 
a) Resolver a equação logarítmica log2 (4 x + 24) = 5 
b) Resolver a equação log3 (x + 1) + log3 (x − 7) = 2 
c) Resolver a equação logarítmica log2 (x+4) − log4 x = 2 
d) Resolva a equação logx 81 = 4 
 
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Exercício 16 
a) Resolver a inequação log2 (3 x −1) > 3 
b) Resolver a inequação 45)(xlog1)(xlog
2
1
2
1
−≤++− 
c) Resolver a inequação log0,2 (4 x − 1) < log0,2 (1 − x) 
d) Resolver a inequação 2 log2 (x+ 1) − log2 (x2 − 1) < 1 
e) Resolver a inequação 2 log2 (x+ 1) > 3 
f) Considerando o universo U = R, resolva a inequação : 3 ≤ log2 (3x + 10) < log2 (x+30) 
 
 
Exercício 17 
Um piscicultor construiu uma represa para criar traíras. Inicialmente, colocou 1.000 traíras na represa 
e, por um descuido, soltou 8 lambaris. Suponha-se que o aumento das populações de lambaris e 
traíras ocorre, respectivamente, segundo as leis ( ) 0 .10tL t L= e ( ) 0 .2tT t T= , onde 0L é a 
população inicial de lambaris, 0T , a população inicial de traíras e t, o número de anos que se conta a 
partir do ano inicial. 
Considerando-se log 2 = 0,3, o número de lambaris será igual ao de traíras depois de quantos anos? 
a) 30 b) 18 c) 12 d) 6 e) 3 
 
 
Exercício 18 
Numa população de bactérias, há ( ) 9 310 .4 tP t = bactérias no instante t medido em horas (ou fração 
da hora). Sabendo-se que inicialmente existem 910 bactérias, quantos minutos são necessários para 
que se tenha o dobro da população inicial? 
a) 20 b) 12 c) 30 d) 15 e) 10 
 
 
Exercício 19 
O gráfico mostra, em função do tempo, a evolução do número de bactérias em certa cultura. Dentre 
as alternativas abaixo, decorridos 30 minutos do início das observações, o valor mais próximo desse 
número é: 
a) 18.000 
b) 20.000 
c) 32.000 
d) 14.000 
e) 40.000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 20 
O gráfico mostra o comportamento da função logarítmica na base a. Então o valor de a é: 
a) 10 
b) 2 
c) 1 
d) 1/2 
e) -2 
 
 
 
Exercício 21 
O número, em centenas de indivíduos, de um determinado grupo de animais, x diasapós a liberação 
de um predador no seu ambiente, é expresso pela seguinte função: 
 
 
 
 
 
Após cinco dias da liberação do predador, o número de indivíduos desse grupo presentes no 
ambiente será igual a: 
a) 3 b) 4 c) 300 d) 400 
 
Exercício 22 
Sabe-se que (1/3, 1) pertence ao gráfico de ( ) lognf x x= . O valor de b é: 
a) 27 
b) 81 
c) 1/27 
d) 1/81 
 
Exercício 23 
A intensidade I de um terremoto, medida pela escala Richter, é definida pela equação a seguir, na 
qual E representa a energia liberada em kWh. 
O gráfico que melhor representa a energia E, em função da intensidade I, sendo 0E igual a 
310− 
kWh, está indicado em: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 24 
Numa plantação de certa espécie de árvore, as medidas aproximadas da altura e do diâmetro do 
tronco, desde o instante em que as árvores são plantadas até completarem 10 anos, são dadas 
respectivamente pelas funções: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Determine as medidas aproximadas da altura, em metros, e do diâmetro do tronco, em 
centímetros, das árvores no momento em que são plantadas. 
b) A altura de uma árvore é 3,4 m. Determine o diâmetro aproximado do tronco dessa árvore, em 
centímetros. 
 
Exercício 25 
O número, em centenas de indivíduos, de um determinado grupo de animais, x dias após a liberação 
de um predador no seu ambiente, é expresso pela seguinte função: ( )435 5( ) logf x x= . Após cinco 
dias da liberação do predador, o número de indivíduos desse grupo presentes no ambiente será igual 
a: 
a) 3 b) 4 c) 300 d) 400 
 
 
Gabarito 
 
1) d) -3 e) 
4
9
 
2) a) 125 b) 12 
15) c) V = {4} 
17) 3 anos