Notas de Aula 2 - Física 1

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Cap´ıtulo 4
Trabalho e Energia Cine´tica
Para descrever o estado de movimento dos corpos definimos uma se´ries de quantidades f´ısicas como
posic¸a˜o, velocidade, acelerac¸a˜o e atrave´s destas fizemos um considera´vel progresso no estudo da mecaˆnica
dos corpos. Em seguida, consideramos as leis de Newton que nos permitiram avanc¸ar ainda mais atrave´s
da introduc¸a˜o do conceito de forc¸a que causa a acelerac¸a˜o. Esta formulac¸a˜o nos permite considerar va´rias
situac¸o˜es e tipos de movimentos.
No presente cap´ıtulo e no pro´ximo, vamos explorar o conceito de energia e trabalho que nos permite
descrever o movimento dos corpos muitas vezes de maneira muito mais simples do que as leis de Newton.
No entanto, veremos que existe uma relac¸a˜o muito pro´xima entre as leis de Newton e a variac¸a˜o da
energia do sistema.
4.1 Energia
Energia e´ um conceito bastante amplo e largamente utilizada no cotidiano. No entanto, quando nos
defrontamos com a pergunta simples de como definir a energia em poucas palavras a tarefa se torna
complicada. De modo na˜o rigoroso, podemos dizer que a energia e´ um nu´mero que atribu´ımos para
caracterizar o estado de um sistema. Assim, em um sistema constitu´ıdo de um ou mais objetos em
que uma forc¸a altera o estado de movimento de um destes objetos, o nu´mero que descreve a energia do
sistema varia. Com a experieˆncia ficou claro que se este nu´mero que chamamos de energia e´ definido
corretamente, podemos descrever qualquer sistema e efetuar previso˜es sobre o seu comportamento de
maneira precisa.
Aqui vamos considerar a situac¸a˜o mais simples poss´ıvel: vamos nos concentrar em apenas um tipo
de energia (a energia cine´tica) e somente uma forma de transfereˆncia de energia (atrave´s do chamado
69
70 CAPI´TULO 4. TRABALHO E ENERGIA CINE´TICA
trabalho). Mais tarde consideraremos outras formas de energia e o modo de transformar um tipo de
energia em outra.
4.1.1 Energia Cine´tica
A energia cine´tica , simbolizada por K, e´ a energia associada ao estado de movimento de um corpo.
Quanto mais depressa um corpo se movimenta, maior e´ a sua energia cine´tica. Quando um corpo esta´
em repouso sua energia cine´tica e´ nula.
Para um corpo de massa m e velocidade v muito menor do que a da luz,
K =
1
2
mv2 (4.1)
A unidade de energia cine´tica (e de qualquer outra forma de energia) no SI e´ o joule (J). Ela e´
definida em termos das unidades de massa e velocidade:
1 joule = 1 J = 1 kg.m2/s2.
4.2 Trabalho
Quando aumentamos a velocidade de um objeto aplicando a ele uma forc¸a, a energia cine´tica K = mv2/2
do objeto aumenta. Da mesma forma, quando diminu´ımos a velocidade do objeto atrave´s da aplicac¸a˜o de
uma forc¸a, a energia cine´tica do objeto diminui. Explicamos estas variac¸o˜es na energia cine´tica dizendo
que a forc¸a que aplicamos transferiu energia do agente que aplica a forc¸a para o objeto ou o objeto
transferiu energia para o agente. Nas transfereˆncia de energia por meio de uma forc¸a, dizemos que um
trabalho W foi realizado pela forc¸a sobre o objeto. De maneira formal, definimos o trabalho como:
• Trabalho (W) e´ a energia transferida para um objeto ou de um objeto atrave´s de
uma forc¸a que age sobre o mesmo. Quando a energia e´ transferida para o objeto,
o trabalho e´ positivo; quando energia e´ transferida do objeto, o trabalho
e´ negativo.
Note que “trabalho” e´ energia transferida; “realizar trabalho” e´ o ato de transferir energia. O trabalho
tem a mesma unidade que a energia e tambe´m e´ uma grandeza escalar.
4.2.1 Trabalho e Energia Cine´tica
Para relacionar o trabalho com a energia cine´tica, vamos considerar uma part´ıcula qualquer que esta´
submetida a uma forc¸a ~F . Esta forc¸a que atua sobre a part´ıcula pode ser tanto uma u´nica forc¸a ou a
4.2. TRABALHO 71
forc¸a resultante da soma de va´rias forc¸as que atuam sobre o objeto. Como consequ¨eˆncia, a part´ıcula
ira´ acelerar, aumentando sua velocidade. Alternativamente, podemos dizer que a forc¸a ira´ realizar um
trabalho sobre a part´ıcula aumentando a sua energia cine´tica. Por simplicidade e para evitar o uso de
ca´lculo diferencial e integral, vamos supor que a forc¸a aplicada seja constante . A 2a lei de Newton,
fornece:
~F = m~a
Agora considere que esta part´ıcula esta´ no espac¸o tridimensional e a localizamos atrave´s do vetor
posic¸a˜o ~r. Vamos considerar um vetor deslocamento infinitesimal d~r. Este vetor e´ obtido diferenciando-
se o vetor posic¸a˜o ~r.
Agora vamos efetuar o produto escalar da equac¸a˜o acima com d~r:
~F ·∆~r = m~a ·∆~r
e no caso de acelerac¸a˜o constante podemos trocar o produto escalar da acelerac¸a˜o com o deslocamento
pelo diferenc¸a do quadrado das velocidades por meio da equac¸a˜o de Torricelli:
v2f − v2i = 2~a ·∆~r ∴ ~a ·∆~r =
1
2
(v2f − v2i )
~F ·∆~r = 1
2
mv2f −
1
2
mv2i
e identificando os termos do segundo membro como a energia cine´tica nos pontos final e inicial, enta˜o
vemos que:
~F ·∆~r = Kf −Ki = ∆K. (4.2)
Definimos o trabalho Wif para mover uma part´ıcula de uma posic¸a˜o ~ri a uma posic¸a˜o ~rf como:
Wif = ~F ·∆~r. (4.3)
o que nos permite escrever a Eq. (4.2) na forma:
Wif = Kf −Ki = ∆K. (4.4)
A Eq. (4.3) nos permite determinar o trabalho Wif para uma dada forc¸a aplicada ~F durante um
deslocamento ∆~r. Note que chegamos a esta expressa˜o assumindo que a forc¸a aplicada e´ constante
72 CAPI´TULO 4. TRABALHO E ENERGIA CINE´TICA
durante o deslocamento. No entanto, a expressa˜o dada pela Eq. (4.4) e´ completamente geral e vale para
qualquer forma da forc¸a, ou seja, quando a forc¸a e´ uma func¸a˜o vetorial geral das coordenadas. No caso
geral, pore´m a expressa˜o para o trabalho dada pela Eq. (4.3) e´ generalizada e e´ dada por uma integral
na forma,
Wif =
∫ ~rf
~ri
~F · d~r (4.5)
va´lida para qualquer forma da forc¸a aplicada. Quando fazemos ~F constante nesta expressa˜o recuperamos
o trabalho dado pela Eq. (4.3).
Vamos restringir a discussa˜o do trabalho para o caso mais simples em que a forc¸a e´ constante. A Eq.
(4.3) apresenta va´rias propriedades que sera˜o discutidas de maneira mais detalhada a seguir.
A primeira consequ¨eˆncia da definic¸a˜o e´ que o trabalho para mover uma part´ıcula depende do aˆngulo
entre a forc¸a aplicada e o deslocamento. Usando a Eq. (4.3), podemos escrever o trabalho da seguinte
forma:
W = F∆r cosφ (4.6)
onde usamos a definic¸a˜o do produto escalar entre dois vetores. O aˆngulo φ e´ o aˆngulo entre os vetores
~F e d~r. Vemos da Eq. (4.6), que se a forc¸a que atua faz um aˆngulo φ < 90o com o deslocamento o
trabalho e´ positivo e ∆K > 0; caso φ > 90o o trabalho e´ negativo devido ao cosseno e, portanto, a
energia cine´tica da part´ıcula e´ reduzida.
Note que somente a projec¸a˜o da forc¸a ~F na direc¸a˜o do deslocamento realiza trabalho, i.e., somente
F cosφ. No caso em que φ = 90o a forc¸a na˜o realiza trabalho, ou seja, na˜o altera o estado de movimento
do objeto.
Vamos considerar agora que a forc¸a ~F pode ser representada pelo vetor gene´rico ~F = Fxiˆ+Fy jˆ+Fzkˆ
e o deslocamento por ∆~r = ∆xˆi+∆yjˆ+∆zkˆ, assim o trabalho pode ser escrito na forma:
W = ~F ·∆~r = Fx ∆x+ Fy ∆y + Fz ∆z (4.7)
ou seja,
W =Wx +Wy +Wz
onde,
Wx = Fx ∆x, Wy = Fy ∆y, Wz = Fz ∆z.
4.3. TRABALHO REALIZADO POR FORC¸AS ESPECI´FICAS 73
e vemos que o trabalho pode ser escrito como uma soma dos trabalhos realizados por cada componente
da forc¸a ~F . A soma e´ o trabalho total realizado sobre o o objeto. Esta propriedade tambe´m e´ estendida
para o caso em que va´rias forc¸as esta˜o atuando, i.e., o trabalho total realizado sobre um objeto e´ dado
pela soma dos trabalhos realizados por cada forc¸a individualmente.
Assim, existem duas maneiras de determinar o trabalho realizado por va´rias forc¸as queatuam sobre
uma part´ıcula: achamos a forc¸a resultante e substitu´ımos o resultado na equac¸a˜o que define o trabalho
ou calculamos o trabalho realizado por cada forc¸a e, em seguida, somamos todas as contribuic¸o˜es para
encontrar o trabalho total.
4.3 Trabalho realizado por forc¸as espec´ıficas
Vamos considerar agora a analisar o trabalho realizado por algumas forc¸as espec´ıficas, em particular, as
forc¸as ja´ discutidas quando definimos o pro´prio conceito de forc¸a.
4.3.1 Forc¸a gravitacional
Considere uma pedra que e´ atirada para cima. A` medida que a pedra sobe, ela vai perdendo velocidade
ate´ parar pois a forc¸a gravitacional atua no sentido contra´rio ao movimento de subida da pedra. Apo´s
atingir a altura ma´xima, a pedra comec¸a a descer ganhando velocidade pois agora a forc¸a gravitacional
atua no mesmo sentido da velocidade da pedra. A forc¸a realiza trabalho nos dois percursos, no entanto,
na subida a forc¸a gravitacional remove energia da pedra reduzindo a sua velocidade. Na descida, ocorre
o contra´rio: a forc¸a gravitacional transfere energia cine´tica para a pedra. Podemos determinar o valor
da transfereˆncia de energia usando calculando o trabalho Wg realizado pela forc¸a gravitacional.
Para determinar o trabalho, partimos da Eq. (4.3) substituindo a forc¸a ~F pela forc¸a gravitacional
~Fg = mgjˆ:
Wg = ~Fg ·∆~r
e considerando que o mo´dulo do vetor deslocamento seja d, ou seja, |∆~r| = d, temos ainda:
Wg = |~Fg||∆~r| cosφ
Wg = mgd cosφ (4.8)
74 CAPI´TULO 4. TRABALHO E ENERGIA CINE´TICA
onde φ e´ o aˆngulo entre o deslocamento e a forc¸a gravitacional.
Agora vamos usar a Eq. (4.8) para calcular o trabalho realizado por ~Fg nos percursos de subida e
descida que hav´ıamos mencionado no in´ıcio. Na subida, o vetor deslocamento ∆~r e a forc¸a ~Fg fazem um
aˆngulo de 180o. Assim, a Eq. (4.8) nos fornece:
Wg,subida = mgd cos 180
o = −mgd
mgd e´ a quantidade de energia cine´tica que e´ removida da part´ıcula no percurso de subida.
No caso da descida, o vetor deslocamento e a forc¸a gravitacional esta˜o paralelos, assim φ = 0, e enta˜o
Wg,descida = mgd cos 0
o = +mgd
que e´ quantidade de energia devolvida para a part´ıcula na forma de energia cine´tica.
4.3.2 Trabalho realizado para levantar ou baixar objetos
Considere a situac¸a˜o em que aplicamos uma forc¸a ~Fa para levantar um objeto. Por exemplo, quando
erguemos um livro em uma estante. Neste caso estamos realizando um trabalho Wa sobre o livro. Logo,
agora temos duas forc¸as realizando trabalho sobre o objeto, assim:
W = ~Fres ·∆~r = (~Fa + ~Fg) ·∆~r = ~Fa ·∆~r + ~Fg ·∆~r
ou seja,
W =Wa +Wg.
Este trabalho deve ser igual a` variac¸a˜o da energia cine´tica do corpo que elevamos a uma certa altura.
Assim, pelo teorema do trabalho-energia cine´tica, temos:
W = ∆K = Kf −Ki
Quando um erguemos um objeto estamos transferindo energia para o objeto ao mesmo tempo que a
forc¸a gravitacional remove esta energia. Isto tambe´m se aplica quando abaixamos um objeto. Neste caso,
energia e´ fornecida ao objeto pela forc¸a gravitacional e no´s a removemos aplicando a forc¸a ~Fa no sentido
oposto ao movimento. Se o objeto esta´ em repouso antes e apo´s o movimento enta˜o Kf = Ki = 0 enta˜o
W = 0 ∴ Wa = −Wg
4.3. TRABALHO REALIZADO POR FORC¸AS ESPECI´FICAS 75
e substituindo Wg da Eq. (4.8), segue que:
Wa = −mgd cosφ
Vemos enta˜o que quando levantamos um objeto em uma certa altura d, estamos realizando um
trabalho positivo mgd, no caso de abaixar o objeto enta˜o retiramos energia cine´tica do mesmo igual a
−mgd.
Exemplo
1. Um caixote de 15 kg inicialmente em repouso, percorre uma distaˆncia d = 5, 70 m, puxado por um
cabo em uma rampa sem atrito ate´ uma altura h de 2, 50 m, parando em seguida.
Figura 4.1: Veja exemplo 1.
(a) Qual o trabalho realizado pela forc¸a gravitacional?
O trabalho realizado pela forc¸a gravitacional pode ser calculado diretamente atrave´s da Eq. (4.8),
lembrando que φ e´ o aˆngulo entre a forc¸a da gravidade e o vetor deslocamento. Temos enta˜o:
Wg = mgd cosφ = mgd cos(θ + 90
o)
e usando a identidade cos(θ + 90o) = − sin θ, podemos escrever:
Wg = −mgd sin θ = −mgd
(
h
d
)
= −mgh
Wg = −15 kg× 9, 8 m/s2 × 2, 50 m = −368 J.
76 CAPI´TULO 4. TRABALHO E ENERGIA CINE´TICA
Note que o trabalho depende apenas da diferenc¸a de altura entre as posic¸o˜es inicial e final do caixote.
Isto ocorre devido a` forc¸a gravitacional ser na direc¸a˜o vertical e portanto o movimento na direc¸a˜o hori-
zontal na˜o e´ afetado pela forc¸a gravitacional. Isto e´ somente va´lido na auseˆncia de atrito, caso contra´rio
o trabalho necessa´rio para movimentar o caixote iria aumentar com a distaˆncia d.
(b) Qual o trabalho realizado pela forc¸a de trac¸a˜o?
Em princ´ıpio ter´ıamos que calcular a forc¸a de trac¸a˜o para enta˜o determinar o trabalho realizado por
esta forc¸a. No entanto, dado que o trabalho total e´ dado pela soma dos trabalhos pelas forc¸as individuais
que sa˜o aplicadas ao caixote, podemos usar o teorema trabalho-energia cine´tica (Eq. (??)) para fazer o
ca´lculo diretamente. Assim, temos que:
W =WN +Wg +WT = ∆K = Kf −Ki
onde WN e´ o trabalho realizado pela forc¸a normal que a superf´ıcie aplica no caixote; Wg e´ o trabalho
realizado pela forc¸a gravitacional e WT e´ trabalho realizado pela forc¸a de trac¸a˜o. Desde que a forc¸a
normal e´ perpendicular ao deslocamento enta˜o o trabalho WN e´ zero. Assim temos:
Wg +WT = Kf −Ki
e como o caixote esta´ em repouso no in´ıcio e no fim do movimento enta˜o Kf = Ki = 0 portanto,
Wg +WT = 0
o que nos permite escrever o trabalho realizado pela forc¸a de trac¸a˜o em termos do trabalho realizado pela
forc¸a gravitacional:
WT = −Wg = +368 J.
Este trabalho e´ positivo o que significa que a forc¸a de trac¸a˜o transfere 368 J para o caixote que e´
retirada do mesmo pela forc¸a gravitacional e o caixote termine com energia cine´tica nula.
4.3.3 Forc¸a Ela´stica
Vamos agora discutir a forc¸a ela´stica aplicada por uma mola a um bloco preso em sua extremidade. A
forc¸a ela´stica varia com a deformac¸a˜o da mola e, portanto, depende da posic¸a˜o, o que diferente do caso
4.3. TRABALHO REALIZADO POR FORC¸AS ESPECI´FICAS 77
gravitacional que discutimos na sec¸a˜o anterior. Na Fig. 4.2a, temos uma ilustrac¸a˜o do sistema massa-
mola onde um bloco esta´ preso a mola que, por sua vez, tem sua outra extremidade fixa em uma parede.
Quando o bloco e´ puxado para a direita, a mola e´ esticada e exerce uma forc¸a para a esquerda cuja
intensidade aumenta com a deformac¸a˜o da mola (Fig. 4.2b); quando comprimimos a mola empurrando
o bloco para a esquerda, a mola aplica enta˜o uma forc¸a para a direita (Fig. 4.2c). Como uma boa
aproximac¸a˜o, podemos escrever a forc¸a exercida pela mola, na forma:
~F = −k~d
que e´ a lei de Hooke. k e´ a chamada constante da mola e e´ medida em N/m.
Figura 4.2: (a) Uma mola em estado relaxado. A origem do eixo x foi colocada no final da mola que esta´ presa
a um bloco. (b) O bloco e´ deslocado por ~d, e a mola e´ esticada por uma quantidade x. Note a forc¸a restauradora
~Fs exercida pela mola. (c) A mola e´ comprimida uma distaˆncia negativa x.
Desde que estaremos considerando apenas movimentos em uma dimensa˜o, enta˜o d = xˆi e portanto,
78 CAPI´TULO 4. TRABALHO E ENERGIA CINE´TICA
podemos escrever a forc¸a na forma mais simples
F = −kx (4.9)
que e´ a forc¸a exercida pela mola no ponto x. Note que lei de forc¸a dada pela Eq. (4.9) e´ definida de
maneira que a mola esteja relaxada no ponto x = 0.
Para calcular o trabalho realizado precisamos da definic¸a˜o integral do trabalho desde que a forc¸a
ela´stica e´ dependente da posic¸a˜o. Neste caso, pore´m, vamos apenas apresentar a equac¸a˜o final para o
trabalho realizado pela forc¸a ela´stica:Ws =
1
2
k(x2i − x2f ) (4.10)
e vemos enta˜o que Ws > 0 quando xi > xf e a mola transfere energia para o bloco. Neste caso, significa
apenas que a o bloco ligado a` mola recebe energia da mola quando este termina em uma posic¸a˜o em que
a mola esteja mais “relaxada” (pro´xima da posic¸a˜o de equil´ıbrio em x = 0) do que na posic¸a˜o inicial.
Exemplos
1. Um bloco com v = 0, 50 m/s e m = 0, 40 kg colide com uma mola de k = 750 N/m (Fig. 4.3). No
momento que o bloco pa´ra devido a forc¸a da mola, qual a distaˆncia que a mola foi comprimida?
Figura 4.3: Veja exemplo 1.
E´ um aplicac¸a˜o direta do princ´ıpio trabalho-energia cine´tica. Temos que o trabalho realizado pela
mola sobre o bloco com velocidade inicial v = 0, 50 m/s deve remover toda a energia cine´tica do bloco,
assim escrevemos:
Ws = ∆K
4.3. TRABALHO REALIZADO POR FORC¸AS ESPECI´FICAS 79
ou seja,
1
2
k(x2i − x2f ) =
1
2
mv2f −
1
2
mv2i
e agora basta considerar que vf = 0 (o bloco fica em repouso no final do movimento) e xi = 0 (a mola
esta´ relaxada antes do bloco colidir com a mola), assim a fo´rmula acima nos fornece:
1
2
k(0− x2f ) = 0−
1
2
mv2i
kx2f = mv
2
i
e isolando xf segue que
xf =
√
m
k
vi
e substituindo-se os valores correspondentes, obtemos:
xf =
√
0, 40 kg
750 N/m
× 0, 50 m/s
xf = 1, 2 cm.
2. A Fig. 4.4 mostra uma vista superior de treˆs forc¸as horizontais atuando sobre uma caixa que
estava inicialmente em repouso e passou a se mover sobre um piso sem atrito. Os mo´dulos das forc¸as
sa˜o ~F1 = 3, 00 N, ~F2 = 4, 00 N e ~F3 = 10, 0 N e os aˆngulos indicados sa˜o θ2 = 50, 0
o e θ3 = 35, 0
o. Qual
e´ o trabalho total realizado sobre a caixa pelas treˆs forc¸as nos primeiros 4, 00 m de deslocamento?
Aqui e´ necessa´rio determinar a forc¸a resultante, desde que e´ pedido o trabalho para um deslocamento
de 4 m. Este deslocamento deve ser na mesma direc¸a˜o da forc¸a resultante. Considerando os dados do
problema, a forc¸a resultante e´ dada por:
~F = ~F1 + ~F2 + ~F3
e decompondo nas direc¸o˜es vertical e horizontal, segue que:
~F = −F1iˆ+ F2(− sin θ2iˆ− cos θ2jˆ) + F3(cos θ3iˆ+ sin θ3jˆ)
80 CAPI´TULO 4. TRABALHO E ENERGIA CINE´TICA
Figura 4.4: Veja exemplo 2.
~F = (−F1 − F2 sin θ2 + F3 cos θ3)ˆi+ (−F2 cos θ2 + F3 sin θ3)ˆj
e substituindo-se os valores correspondentes obtemos:
~F = (−3, 00 N− 4, 00 N sin 50, 0o + 10, 00 N cos 35, 0o)ˆi+ (−4, 00 N cos 50, 0o + 10, 00 N sin 35, 0o)ˆj
~F = 2, 13 Niˆ+ 3, 16 Njˆ
e calculando o mo´dulo da forc¸a, temos:
F =
√
2, 132 + 3, 162 N = 3, 81 N
Desde que o deslocamento ocorre na mesma direc¸a˜o da forc¸a, podemos escrever
W = Fd = 3, 81 N× 4, 00 m = 15, 3 J.
3. Uma equipe especializada em resgate em cavernas levanta um espeleo´logo ferido com o aux´ılio
de um cabo ligado a um motor. O levantamento e´ realizado em treˆs esta´gios, cada um requerendo uma
distaˆncia vertical de 10, 0 m: (a) o espeleo´logo esta´ inicialmente em repouso e e´ acelerado ate´ uma veloci-
dade de 5, 00 m/s; (b) ele e´ levantado com velocidade constante de 5, 0 m/s; (c) finalmente e´ desacelerado
4.3. TRABALHO REALIZADO POR FORC¸AS ESPECI´FICAS 81
ate´ o repouso. Qual e´ o trabalho realizado sobre o espeleo´logo de 80, 0 kg pela forc¸a que o levanta em cada
esta´gio?
Para determinar o trabalho em cada esta´gio de levantamento do espeleo´logo, vamos usar o teorema
trabalho-energia cine´tica e a expressa˜o do trabalho realizado pela forc¸a gravitacional.
(a)
Temos duas forc¸as atuando aqui: a forc¸a que levanta o espeleo´logo e a forc¸a gravitacional atuando
em sentido contra´rio. Assim, de acordo com o problema, sob a ac¸a˜o destas duas forc¸as, o espeleo´logo sai
do repouso ate´ atingir a velocidade de 5, 00 m/s, assim temos:
W =W1 +Wg = ∆K = Kf −Ki
e onde W1 e´ o trabalho realizado pela forc¸a externa. Considerando que o deslocamento e´ d a velocidade
inicial vi = 0 e a velocidade final vf = v = 5, 00 m/s, temos:
W1 −mdg = 1
2
mv2f ∴ W1 = mdg +
1
2
mv2
onde levamos em conta que o aˆngulo φ = 180o entre o deslocamento e a forc¸a gravitacional. Assim,
substituindo-se os valores correspondentes, obtemos:
W1 = 80, 0 kg× 10 m× 9, 8 m/s2 + 1
2
× 80, 0 kg× (5, 0 m/s)2
ou seja,
W1 = 8, 84× 103 J.
(b)
No segundo esta´gio, temos que a energia cine´tica na˜o varia e portanto, de acordo com o teorema
trabalho energia-cine´tica temos:
W2 −mdg = 0
assim,
W2 = 80, 0 kg× 10 m× 9, 8 m/s2 = 7, 84× 103 J.
(c)
82 CAPI´TULO 4. TRABALHO E ENERGIA CINE´TICA
No terceiro esta´gio, temos novamente uma variac¸a˜o da energia cine´tica. No entanto, vemos que a
variac¸a˜o agora e´ negativa, desde que a velocidade final e´ zero e a velocidade inicial corresponde a` mesma
vi = 5, 0 m/s.
W3 −mgd = 0−Ki = 0− 1
2
mv2
assim,
W3 = mgd− 1
2
mv2
W3 = 80, 0 kg× 10 m× 9, 8 m/s2 − 1
2
× 80, 0 kg× (5, 0 m/s)2
W3 = 6, 84× 103 J.
4. A u´nica forc¸a que age sobre um corpo de 2, 0 kg enquanto ele se move no semi-eixo positivo de
um eixo x tem uma componente Fx = −6x N, com x em metros. A velocidade do corpo em x = 3, 0 m e´
8, 0 m/s. (a) Qual e´ a velocidade do corpo em x = 4, 0 m? (b) Para que valor positivo de x o corpo tem
uma velocidade de 5, 0 m/s?
(a)
Aqui usamos as equac¸o˜es para o trabalho realizado pela forc¸a ela´stica. Temos pelo teorema trabalho-
energia cine´tica que:
Ws =
1
2
mv2f −
1
2
mv2f
ou seja,
1
2
k(x2i − x2f ) =
1
2
mv2f −
1
2
mv2i
e substituindo-se os valores correspondentes, segue que:
1
2
6 N/m((3, 0 m)2 − (4, 0 m)2) = 1
2
2, 0 kg× v2f −
1
2
2, 0 kg× (8, 0 m/s)2
4.3. TRABALHO REALIZADO POR FORC¸AS ESPECI´FICAS 83
o que nos fornece:
vf = 6, 6 m/s.
(b)
Aqui usamos a mesma relac¸a˜o anterior, exceto que queremos determinar o xf para o valor final da
velocidade vf = 5, 0 m/s
1
2
6 N/m((3, 0 m)2 − x2f ) =
1
2
2, 0 kg× (5, 0 m/s)2 − 1
2
2, 0 kg× (8, 0 m/s)2
de onde obtemos:
xf = 4, 7 m.
84 CAPI´TULO 4. TRABALHO E ENERGIA CINE´TICA
Cap´ıtulo 5
Energia Potencial e Conservac¸a˜o da
Energia
Ate´ agora discutimos um tipo particular de energia, a energia cine´tica, e vimos que uma forc¸a aplicada
pode realizar um trabalho alterando o valor desta energia.
Agora vamos definir um segundo tipo de energia, chamada energia potencial (vamos representa´-la pela
letra U). Tecnicamente, a energia potencial e´ qualquer energia que possa ser associada a` configurac¸a˜o
(arranjo) de um sistema de objetos que exercem forc¸as um sobre os outros. Para tornar esta definic¸a˜o
mais clara, considere a situac¸a˜o em que jogamos uma pedra para cima. O sistema de objetos neste caso
e´ formado pela pedra e a Terra. A forc¸a entre os objetos e´ a forc¸a gravitacional. A configurac¸a˜o do
sistema pedra+Terra varia com a separac¸a˜o entre a pedra e a Terra. Podemos descrever o movimento da
pedra definindo uma energia potencial gravitacional U . Esta energia varia com a separac¸a˜o entre a pedra
e a Terra. Quanto maior a separac¸a˜o entre a pedra ou qualquer objeto a uma certa altura em relac¸a˜o
a` superf´ıcie da Terra, maior a energia potencial gravitacional. Agora considere um segundo exemplo:
um sistema massa-mola. Quando a massa e´ puxada, a mola estica e assim, como no caso anterior,
podemos descrever o sistema massa-mola em termos da energia potencial ela´stica definida em termos do
estado de compressa˜o/distensa˜o da mola. Assim, quando a massa esta´ em um movimento oscilato´rio,
a energia potencial ela´stica e´ ma´xima quando a massa atinge o deslocamento ma´ximo, situac¸a˜o em que
esta´ totalmente distendida ou comprimida.
Da mesma forma que a energia cine´tica e´ variada atrave´s do trabalho realizado por uma forc¸a, a
energia potencial tambe´m e´modificada via trabalho realizado pela forc¸a que atua entre os componentes
do sistema. No primeiro exemplo, a forc¸a e´ a forc¸a gravitacional entre a pedra e a Terra (Fg = mg); no
85
86 CAPI´TULO 5. ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAC¸A˜O DA ENERGIA
segundo exemplo a forc¸a e´ dada pela lei de Hooke (F = −kx).
5.1 Trabalho e Energia Potencial
Voltando ao nosso exemplo da pedra atirada para cima, notamos no cap´ıtulo anterior, que quando a
pedra esta´ subindo a Terra esta´ exercendo uma forc¸a no sentido contra´rio do movimento e assim, o
trabalho da forc¸a era negativo. Este trabalho retirava a energia cine´tica da part´ıcula ate´ fazeˆ-la igual a
zero quando a pedra atingia a altura ma´xima. De modo equivalente, podemos dizer que no momento
que a pedra e´ atirada para cima sua energia potencial cresce a` medida que a separac¸a˜o entre a pedra e
a Terra aumenta. Quando a altura e´ ma´xima, a energia potencial gravitacional e´ ma´xima. Desta forma,
podemos dizer que o trabalho negativo realizado pela forc¸a da gravidade converteu a energia cine´tica em
energia potencial. Quando a pedra comec¸a a cair novamente, o trabalho converte a energia potencial
gravitacional em energia cine´tica da pedra. Note que a variac¸a˜o da energia potencial agora e´ negativa.
Com efeito, tanto na subida quanto na descida a variac¸a˜o da energia potencial e´ igual ao negativo do
trabalho realizado pela forc¸a gravitacional, i.e.,
∆U = −W. (5.1)
A Eq. (5.1) tambe´m se aplica a um sistema massa-mola. Quando o bloco se desloca para a direita,
a forc¸a esta´ apontando no sentido contra´rio da velocidade, e portanto, o trabalho e´ negativo. Como
resultado, observamos que a energia cine´tica e´ reduzida e a energia potencial ela´stica aumenta (lembre-se
que a energia potencial ela´stica aumenta com a distensa˜o ou compressa˜o da mola). Quando o bloco atinge
o deslocamento ma´ximo, a energia potencial do sistema esta´ totalmente armazenada na forma de energia
potencial. Desde que a forc¸a atuando sobre o bloco neste ponto tambe´m e´ ma´xima, o bloco e´ acelerado
no sentido contra´rio. Neste caso a energia potencial ela´stica comec¸a a ser reduzida e e´ transformada na
energia cine´tica do bloco. Quando o bloco passa pela origem em x = 0, toda a energia mecaˆnica e´ igual a`
energia cine´tica. Quando o bloco assume uma posic¸a˜o a` esquerda da origem, o bloco comec¸a a comprimir
a mola transferindo a sua energia cine´tica para energia potencial ela´stica da mola.
A Eq. (5.1) nos permite obter expresso˜es para as energias potenciais, no entanto, vamos discutir a
natureza das forc¸as envolvidas nestes sistemas com mais detalhes.
5.2. FORC¸AS CONSERVATIVAS E DISSIPATIVAS 87
5.2 Forc¸as Conservativas e Dissipativas
Nas discusso˜es acima, definimos um sistema como um conjunto de dois ou mais objetos que experimentam
forc¸as entre si. Conseguimos dividir o sistema entre um objeto que se comporta como part´ıcula (pedra
ou bloco) e o resto do sistema. Quando a configurac¸a˜o do sistema varia, a forc¸a realiza trabalho W1
transferindo energia cine´tica da part´ıcula para alguma forma de energia potencial do sistema. Quando a
configurac¸a˜o se inverte a forc¸a realiza trabalho W2 convertendo a energia potencial em energia cine´tica
novamente.
Em situac¸o˜es em que W1 = −W2 e´ sempre satisfeita podemos definir uma energia potencial e dizemos
que a forc¸a associada e´ uma forc¸a conservativa . As forc¸as gravitacional e ela´stica sa˜o exemplos deste
tipo de forc¸a.
Um forc¸a que na˜o e´ conservativa e´ dita forc¸a dissipativa. Ja´ vimos dois exemplos das forc¸as
dissipativas: a forc¸a de atrito e a forc¸a de arrasto. Imagine o caso de um bloco deslizando sobre a
superf´ıcie com atrito. Neste caso a forc¸a de atrito cine´tico realiza um trabalho negativo sobre o bloco
transformando sua energia cine´tica em energia te´rmica. Os experimentos mostram que esta transfereˆncia
ocorre apenas em um sentido na˜o sendo poss´ıvel converter a energia te´rmica em energia cine´tica do bloco
pela forc¸a de atrito. Assim, embora tenhamos um sistema (bloco+superf´ıcie), uma forc¸a e transfereˆncia
de energia causada pela forc¸a, a forc¸a na˜o e´ conservativa. Portanto, a energia te´rmica na˜o e´ uma energia
potencial.
5.2.1 Independeˆncia da trajeto´ria para o trabalho por forc¸as conservativas
A maneira de verificar se uma forc¸a e´ conservativa e´ atrave´s da ana´lise do trabalho feito pela forc¸a ao
longo de um percurso fechado. Quando uma forc¸a e´ conservativa, o trabalho total realizado pela forc¸a
e´ zero no percurso fechado. Uma consequ¨eˆncia deste fato e´ que o trabalho realizado por uma forc¸a
conservativa na˜o depende da trajeto´ria tomada pela part´ıcula entre dois pontos quaisquer. Considere
o trabalho realizado por uma forc¸a conservativa ao longo do caminho ilustrado na Fig. 5.1a. Podemos
escrever o trabalho total como a soma dos trabalhos nos percursos 1 e 2, i.e.,
W =Wab,1 +Wba,2 = 0
desde que o percurso e´ fechado. Assim,
Wab,1 = −Wba,2 (5.2)
88 CAPI´TULO 5. ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAC¸A˜O DA ENERGIA
Figura 5.1: (a) uma part´ıcula pode se mover do ponto a ao ponto b, sob a ac¸a˜o de uma forc¸a conservativa,
seguindo a trajeto´ria 1 ou a trajeto´ria 2. (b) a part´ıcula descreve um percurso fechado, seguindo a trajeto´ria 1 para
ir do ponto a ao ponto b e a trajeto´ria 2 para voltar ao ponto a.
O trabalho realizado ao longo da trajeto´ria de ida deve ser o negativo do trabalho realizado na
trajeto´ria de volta. O trabalho Wab,2 realizado pela forc¸a sobre a part´ıcula desde a ate´ b pela trajeto´ria
2 deve ser o negativo de Wba,2, assim
Wab,2 = −Wba,2
e substituindo na Eq. (5.2) segue que
Wab,1 =Wab,2
e o trabalho na˜o depende da trajeto´ria.
Exemplo
1. A Fig. 5.2 mostra um pedac¸o de queijo gorduroso de 2, 0 kg deslizando por um trilho sem atrito do ponto
a ao ponto b. O queijo percorre uma distaˆncia total de 2, 0 m ao longo do trilho e uma distaˆncia vertical
de 0, 80 m. Qual e´ o trabalho realizado sobre o queijo pela forc¸a gravitacional durante o deslocamento?
5.2. FORC¸AS CONSERVATIVAS E DISSIPATIVAS 89
Figura 5.2: (a) Um pedac¸o de queijo desliza ao longo de uma superf´ıcie curva sem atrito do ponto a ao ponto b.
(b) o trabalho realizado pela forc¸a gravitacional sobre o queijo e´ mais fa´cil de calcular para a trajeto´ria tracejada
do que para a trajeto´ria real, mas o resultado e´ o mesmo nos dois casos.
O trabalho Wg realizado pela forc¸a gravitacional foi determinado no cap´ıtulo anterior:
Wg = Fgd cosφ = mgd cosφ.
No entanto, e´ invia´vel usar esta fo´rmula porque na˜o sabemos o aˆngulo entre a forc¸a ~Fg e o deslocamento
~d ao longo de toda a trajeto´ria. Como a forc¸a gravitacional e´ conservativa, enta˜o o trabalho realizado
por ela e´ independente da trajeto´ria e podemos usar um trajeto mais simples para calcular o trabalho
como mostrado na Fig. 5.2b. Neste caso, temos que:
Wg =W
h
g +W
v
g
ondeW hg e´ o trabalho realizado por Fg ao longo da trajeto´ria horizontal eW
v
g ao longo do trajeto vertical.
Temos enta˜o:
Wg = mgdh cos(pi/2) +mgdv cos(0)
ou seja,
Wg = mgdv
onde dv = 0, 80 m e´ a distaˆncia vertical que foi percorrida pela pedac¸o de queijo. Substituindo-se os
valores correspondentes, segue que:
Wg = 2, 0 kg× 9, 8 m/s2 × 0, 80 m = 15, 7 J.
90 CAPI´TULO 5. ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAC¸A˜O DA ENERGIA
5.3 Determinac¸a˜o dos valores de energia potencial
Aqui vamos calcular os valores das energias potenciais a partir do trabalho realizado por determinadas
forc¸as cujas expresso˜es conhecemos. Para isso, primeiro notamos que a energia potencial esta´ relacionada
ao trabalho pela Eq. (5.1):
∆U = −W. (5.3)
5.3.1 Energia potencial gravitacional
Sabemos que a forc¸a da gravidade atuando em um corpo de massam tem mo´dulo mg e esta´ na direc¸a˜o
vertical apontando para o centro da Terra. Assim, escrevemos,
~Fg = −mgjˆ
Notamos que a forc¸a gravitacional e´ conservativa e, portanto, o trabalho realizado por esta forc¸a
independe da trajeto´ria. Assim, escolhemos uma trajeto´ria vertical descrita pelo corpo de massa m desde
um ponto yi ate´ um ponto yf . Assim, a diferencial do vetor posic¸a˜o e´ simplesmente ∆~r = ∆yˆj e a Eq.
(??) se reduz a
∆U = −(−mgˆj) · (∆xˆi+∆yˆj+∆zkˆ)
assim,
∆U = mg∆y (5.4)
ou ainda,
∆U = mg(yf − yi).
E´ importante notar que somente a variac¸a˜o da energia potencial tem significado f´ısico. Entretanto,
para simplificar um ca´lculo ou uma discussa˜o, podemos dizer que um determinado valor de energia
potencial esta´ associado a um certo sistema part´ıcula-Terra quando a part´ıcula esta´ localizada a uma
certa altura y. Para isso escrevemos,
U − Ui = mg(y − yi)
e tomamos o valor Ui como valor de refereˆncia para a energia quando a part´ıcula esta´ a uma altura yi
em relac¸a˜o a` superf´ıcie da Terra. Normalmente fazemos Ui = 0 para yi = 0, assim,
U(y) = mgy (potencial em relac¸a˜o a` superf´ıcie da Terra). (5.5)
5.4. CONSERVAC¸A˜O DA ENERGIA MECAˆNICA 91
5.3.2 Energia potencial ela´stica
Vamos considerar agora um sistema composto por uma mola constante ela´stica k com um bloco de
massa m deslizando sobre uma superf´ıcie sem atrito. Temos que a forc¸a ~F = −kxˆi e usando ∆~r = ∆xˆi.
Substituindo a expressa˜o da forc¸a e o deslocamento na Eq. (5.3):
∆Us =
k
2
(x2f − x2i ) (5.6)
Novamente, podemos escolher um ponto de refereˆncia para a energia potencial. Vamos considerar
que Ui,s = 0 para xi = 0 e Uf,s = Us para xf = x, assim podemos escrever
Uf,s − Ui,s = k
2
(x2f − x2i )
Us =
k
2
x2 (5.7)
5.4 Conservac¸a˜o da Energia Mecaˆnica
A energia mecaˆnica de um sistema e´ a soma da energia cine´tica K mais a energia potencial U dos objetos
que compo˜em o sistema:
Emec = K + U. (5.8)
Vamos discutir o que ocorre com a energia mecaˆnica quando as transfereˆncias de energia dentro do
sistema sa˜o produzidas por forc¸as conservativas, ou seja, na˜o existem forc¸as dissipativas como forc¸as de
atrito ou de arrasto. Ale´m disso, vamos considerar que o sistema esta´ isolado, ou seja, nenhuma forc¸a
externa produzida por um agente fora do sistema causa variac¸a˜o da energia dentro do sistema.
Quando uma forc¸a conservativa realiza um trabalho W sobre um objeto dentro do sistema, esta forc¸a
e´ responsa´vel por uma transfereˆncia de energia entre energia cine´tica do objeto e a energia potencial do
sistema. A variac¸a˜o da energia cine´tica e´ dada por:
∆K =W
e a energia potencial e´ variada de acordo com a Eq. (5.1)
∆U = −W.
92 CAPI´TULO 5. ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAC¸A˜O DA ENERGIA
Assim, vemos que:
∆K +∆U = 0
ou,
K2 −K1 + U2 − U1 = 0
o que pode ser colocado na forma,
K2 + U2 = K1 + U1
e usando a definic¸a˜o dada pela Eq. (5.8) temos ainda:
E(1)mec = E
(2)
mec (5.9)
onde os ı´ndices 1 e 2 referem-se a dois instantes diferentes e, portanto, a duas configurac¸o˜es diferentes do
sistema.
A Eq. (5.9) nos mostra que a energia mecaˆnica e´ a mesma nos dois instantes. Portanto, podemos dizer
que a energia mecaˆnica e´ conservada. Podemos expressar a conservac¸a˜o da energia na forma alternativa,
mas completamente equivalente a` Eq. (5.9):
∆Emec = ∆U +∆K = 0 (5.10)
que e´ o princ´ıpio da conservac¸a˜o da energia mecaˆnica .
Quando a energia mecaˆnica e´ conservada, podemos relacionar a soma da energia cine´tica com a energia
potencial em um instante com a soma destas energias em outro instante sem considerar o que ocorreu
nos instantes intermedia´rios. Isso constitui um procedimento bastante u´til na soluc¸o˜es de problemas em
que a aplicac¸a˜o das leis de Newton fica bastante complicada.
Exemplo
1. Uma crianc¸a de massa m parte do repouso de toboa´gua, a uma altura de 8, 5 m acima da base do
brinquedo. Supondo que a presenc¸a de a´gua torna o atrito desprez´ıvel, encontre a velocidade da crianc¸a
na base do toboa´gua. Supondo que a presenc¸a de a´gua torna o atrito desprez´ıvel, encontre a velocidade
da crianc¸a na base do toboa´gua.
De acordo com o princ´ıpio da conservac¸a˜o da energia, a soma das energia cine´tica e potencial deve ser
a mesma para toda a trajeto´ria descrita pela crianc¸a quando ela desce pelo toboa´gua. Assim, tomando
5.5. INTERPRETAC¸A˜O DE UMA CURVA DE ENERGIA POTENCIAL 93
Figura 5.3: veja exemplo 1.
como pontos de refereˆncia 1 e 2 o topo e a base do toboa´gua, respectivamente, e notando que temos
apenas a forc¸a gravitacional atuando, podemos escrever:
1
2
mv21 +m1gy1 =
1
2
mv22 +m1gy2
e considerando que a base do toboa´gua esta´ em y2 = 0 e que a crianc¸a parte do repouso v1 = 0, podemos
escrever:
1
2
m(0)2 +m1gh =
1
2
mv22 +m1g(0)
onde fizemos y2 = h que e´ a posic¸a˜o inicial da crianc¸a.
Isolando a velocidade, vamos obter:
v2 =
√
2gh =
√
2× 9, 8 m/s2 × 8, 5 m = 13 m/s.
5.5 Interpretac¸a˜o de uma curva de energia potencial
Da Eq. (5.1), temos que ∆U = −W e usando a forma para o trabalho, segue que:
∆U = −~F ·∆~r.
Vamos considerar esta expressa˜o no limite em ∆~r → 0. Neste caso, a variac¸a˜o do deslocamento e´
infinitesimal e, por conseguinte, a variac¸a˜o da energia potencial tambe´m sera´ infinitesimal. Neste limite,
podemos escrever a igualdade acima na forma diferencial:
dU = −Fx dx.
94 CAPI´TULO 5. ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAC¸A˜O DA ENERGIA
onde particularizamos a expressa˜o acima para o caso unidimensional, i.e., o movimento ocorre apenas na
direc¸a˜o x e, por isto, so´ interessa a componente Fx da forc¸a ~F .
Da equac¸a˜o acima, podemos ver que a forc¸a ao longo da direc¸a˜o x pode ser escrita como a derivada
da energia potencial em func¸a˜o de x, i.e., podemos escrever dU na forma (esta e´ a chamada diferencial
de uma func¸a˜o U(x), que voceˆ deve ter visto no curso de Ca´lculo 1):
dU =
dU(x)
dx
dx
e comparando com o elemento diferencial da energia potencial, segue que1:
Fx(x) = −dU(x)
dx
(5.11)
onde retiramos o ı´ndice x da forc¸a porque estamos limitando nossa discussa˜o ao caso unidimensional.
A Eq. (5.11) nos mostra que se conhecemos a func¸a˜o U(x), e´ poss´ıvel obter a forc¸a que atua sobre um
objeto e, portanto, obter as equac¸o˜es de movimento para o sistema. De fato, como veremos a seguir,
podemos obter va´rias informac¸o˜es acerca do movimento de um corpo, analisando sua curva da energia
potencial em func¸a˜o da posic¸a˜o do objeto. Isso e´ poss´ıvel devido ao uso do princ´ıpio da conservac¸a˜o da
energia que nos permite obter a energia cine´tica a partir da energia potencial para um dado valor da
energia mecaˆnica.
Na Fig. 5.4a temos um gra´fico de U(x) com a energia mecaˆnica Emec fixa em 5 J (representada pela
reta horizontal). O princ´ıpio da conservac¸a˜o da energia mecaˆnica nos diz que para todos os valores de x,
vale a equac¸a˜o:
Emec = U(x) +K(x) ∴ K(x) = Emec − U(x)
que nos permite determinar a energia cine´tica da part´ıcula para um dado valor da posic¸a˜o x.
Podemos ver no gra´fico que K(x) tem o valor ma´ximo em x = x2 onde U(x2) = 0 e um valor mı´nimo
em x = x1 onde U(x1) = Emec. Desde que a energia cine´tica na˜o pode ser negativa, enta˜o a part´ıcula na˜o
pode estar localizada em x < x1. Com efeito, quando a part´ıcula se aproxima de x1, sua velocidade vai
diminuindo ate´ ser igual a zero em x = x1. Se olhamos para a derivada de U(x), ilustrada na Fig. 5.4b,
vemos que a forc¸a F (x) = −dU/dx tem seu valor ma´ximo em x1. Assim, quando a part´ıcula esta´ neste
ponto, sofre um “puxa˜o” para a direita e a part´ıcula volta a se deslocar para regio˜es em que x > x1.
1Note que aqui estamos considerando que em geral a forc¸a Fx ira´ depender daposic¸a˜o. No entanto, hav´ıamos considerando
somente forc¸as constantes. O que ocorre e´ que a forma diferencial da Eq. (5.1) e´ va´lida para qualquer tipo de forc¸a. O que
ocorre e´ que quando fazemos a transic¸a˜o para deslocamentos finitos devemos aplicar uma operac¸a˜o de integrac¸a˜o.
5.5. INTERPRETAC¸A˜O DE UMA CURVA DE ENERGIA POTENCIAL 95
Figura 5.4: (a) Gra´fico de U(x), a func¸a˜o da energia potencial de um sistema com uma part´ıcula que se move
ao longo do eixo x. Como na˜o existe atrito, a energia mecaˆnica e´ conservada. (b) Gra´fico da forc¸a F (x) que age
sobre a part´ıcula, obtido do gra´fico da energia potencial determinando a inclinac¸a˜o do gra´fico em va´rios pontos.
(c) O mesmo gra´fico de (a), com treˆs poss´ıveis valores de Emec.
5.5.1 Pontos de equil´ıbrio
Vamos reconsiderar a func¸a˜o U(x) anterior, mas agora considerando diferentes valores da energia mecaˆnica.
Considere que a energia mecaˆnica seja representada pela reta (3) na Fig. 5.4c. Neste caso, o ponto de
retorno muda de x1 para um ponto entre x1 e x2. Caso a posic¸a˜o da part´ıcula esteja em x > x5 temos
que U(x) = Emec e K = 0. Com U =cte., na˜o ha´ forc¸as atuando de modo que a part´ıcula vai ficar em
repouso para qualquer valor de x para x > x5. Dizemos enta˜o que a part´ıcula esta´ em um ponto de
equil´ıbrio indiferente .
Se a energia mecaˆnica for representada pela reta (2), existem dois pontos de retorno, um entre x1 e
x2 e outro entre x2 e x5. Ale´m disso, x3 e´ outro ponto onde K = 0. Se a part´ıcula estiver em x3 ela
permanecera´ neste ponto uma vez que na˜o ha´ uma forc¸a neste ponto. No entanto, um pequeno empurra˜o
fara´ com que a part´ıcula se desloque no mesmo sentido da forc¸a se afastando do ponto x3. Uma part´ıcula
localizada em um ponto como x3 e´ dita estar em equil´ıbrio insta´vel .
Considere agora que a energia mecaˆnica esta´ representada pela reta (1). Se a part´ıcula for colocada no
96 CAPI´TULO 5. ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAC¸A˜O DA ENERGIA
ponto x4, ficara´ nesta posic¸a˜o indefinidamente pois K = 0 neste ponto e F = 0 tambe´m. Se empurramos
a part´ıcula para a direita ou para a esquerda, surgira´ uma forc¸a restauradora que ira´ empurrar a part´ıcula
em direc¸a˜o ao ponto de equil´ıbrio. Assim, dizemos que o ponto x4 e´ um ponto de equil´ıbrio esta´vel .