AULA 03 FUNÃiES DE V-RIAS VARI-VEIS

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FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
INTRODUÇÃO
No estudo de funções de uma variável y depende somente de x, y = f(x). 
Exemplo:
Função receita e função custo.
Um fabricante vende um certo produto por R$ a por unidade. O custo total consiste de uma taxa fixa de R$ p somada ao custo de produção de R$ m por unidade. Suponha que são produzidas e vendidas x unidades.
Função receita: R(x) = ax
Função custo: C(x) = p + mx
Gráfico das funções:
Entretanto podem ocorrer situações diferentes, por exemplo, funções de mais de uma variável: Função de produção de Cobb-Douglas.
Considera-se, freqüentemente, que a produção Q de uma fábrica seja função do capital investido K e da força de trabalho L. A expressão que representa essa função é:
Onde A e ( representam constantes positivas e 0 < ( < 1 são especialmente úteis em análise econômica. 
Gráfico da função de Cobb-Douglas
FUNÇÃO REAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS
Definição: Uma função real de várias variáveis reais é uma função f que associa a cada ponto P(x1, x2, ..., xn) ( IRn um único real w através da relação w = f(P).
Simbolicamente f: IRn ( IR ou 
w = f(x1, x2, ..., xn) 
Se n = 2 temos f: IR2 ( IR ou z = f(x,y), 
x e y variáveis independentes.
Exemplos: z = x2 + y2 + 1,
f(x,y) = 2xy + 3x – 5y + 10, 
, 
Se n = 3 
f: IR3 ( IR ou w = f(x,y,z)
x, y e z variáveis independentes.
Exemplo: 
 
DOMÍNIO
Chama-se domínio da função f de n variáveis, o conjunto dos pontos P ( IRn / 
w = f(P)
Exemplo: Determine o domínio da função 
e represente-o graficamente.
GRÁFICOS
Para construirmos o gráfico da função 
z = f(x,y), podemos usar as seguintes técnicas:
1) Se for possível reconhecer a superfície (ou parte dela) cuja equação é dada por 
z = f(x,y), podemos desenhar o gráfico a partir da superfície conhecida.
Exemplos: 
1) Faça o gráfico de 
.
Considerando z ( 0, podemos escrever 
 que representa uma superfície esférica de raio 2. Para z ( 0, temos uma semi-esfera.
2) z = 2 – x – y 
Reescrevendo a equação: x + y + z = 2 é a equação de um plano que intercepta os eixos coordenados nos pontos: A(3,0,0), B(0,3,0) e C(0,0,3). Seu gráfico:
2) Interseções com os planos coordenados
Devemos determinar as interseções de 
z = f(x,y) com os planos coordenados e a partir disso construir a superfície.
Obs: Denomina-se traço de uma superfície a intersecção da superfície com um dos três planos coordenados ou um plano paralelo a um deles. Um traço xOy consiste em todos os pontos comuns à superfície e ao plano xOy.
Exemplos:
Construir o gráfico das seguintes funções:
1) z = x2 + y2 + 2
Interseção com o plano xOy:
 
 ( x2 + y2 = - 2
Não existe tal interseção.
Interseção com o plano xOz:
 
 ( z = x2 + 2 ( parábola
Interseção com o plano yOz:
 
 ( z = y2 + 2 ( parábola
2) 
Interseção com o plano xOy:
 ( x2 + y2 = 0 que é o ponto (0,0)
Interseção com o plano xOz:
 ( 
Interseção com o plano yOz:
 ( 
3) Curvas de Nível
Chama-se curva de k da função z = f(x,y) a curva que é a interseção do gráfico de f(x,y) com o plano z = k (constante), isto é, 
f(x,y) = k é a equação da curva de nível k da função f(x,y).
Geometricamente as curvas de nível k estão no IR3, mas vamos projetá-la no plano xOy, obtendo o mapa topográfico da superfície. As curvas de nível auxiliam na construção do gráfico da função z.
Exemplo: Seja z = 9 – x2 – y2, determine:
a) curvas de nível.
b) mapa topográfico.
c) gráfico da função.
a) 9 – x2 – y2 = k ( x2 + y2 = 9 - k
9 – k = R2 ( 
 ( 
 ( 
k = 9 ( x2 + y2 = 0 ( (0,0)
k = 8 ( x2 + y2 = 1 ( R = 1
k = 5 ( x2 + y2 = 4 ( R = 2
k = 0 ( x2 + y2 = 9 ( R = 3
b) 
c) Gráfico
PROPRIEDADE DA CURVA DE NÍVEL
A curva de nível k da função z = f(x,y) representa o lugar geométrico dos pontos P(x,y) do plano xOy que têm a mesma cota z.
Se a função z = f(x,y) representa a temperatura do ponto P(x,y) a equação de nível k representa o lugar geométrico dos pontos que têm a mesma temperatura; e é chamada de isoterma.
Outro uso freqüente das curvas de nível é nos mapas de contorno para representar regiões da superfície terrestre, onde as curvas de nível representam a altura em relação ao nível do mar. Este tipo de mapa é chamado de mapa topográfico. 
Se a função z = f(x,y) representa a pressão do ponto P(x,y) a equação de nível k representa o lugar geométrico dos pontos que têm a mesma pressão; e é chamada de isóbara.
Se a função z = f(x,y) representa o potencial elétrico do ponto P(x,y) a equação de nível k representa o lugar geométrico dos pontos que têm o mesmo potencial; e é chamado de equipotencial.
SUPERFÍCIE DE NÍVEL k
De modo análogo ao das curvas de nível k, podemos definir as superfícies de nível k da função w = f(x,y,z) como sendo a superfície resultante da interseção w = k com a função w projetada no espaço IR3‑.
Exemplo: Seja a função w = x2 + y2 + z2, determine as superfícies de nível.
x2 + y2 + z2,= k ( R2 = k ( 
Exemplo: Seja 
, determine:
a) curvas de nível.
b) mapa topográfico.
c) gráfico da função.
a) 
b)
c) 
Exemplo: Seja 
, determine:
a) curvas de nível.
b) mapa topográfico.
c) gráfico da função.
a) 
b) 
 
c) 
EXERCÍCIOS
1) Encontrar uma função de várias variáveis que nos dê:
a) O comprimento de uma escada apoiada como na figura a seguir:
b) O volume de água necessário para encher uma piscina redonda de x metros de raio e y metros de altura.
c) A quantidade de rodapé, em metros, necessária para se colocar numa sala retangular de largura a e comprimento b.
d) A quantidade, em metros quadrados, de papel de parede necessária para revestir as paredes laterais de um quarto retangular de x metros de largura, y metros de comprimento, se a altura do quarto é z metros.
e) O volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões x, y e z.
f) A distância entre dois pontos P(x,y,z) e Q(u,v,w).
g) A temperatura nos pontos de uma esfera, se ela, em qualquer ponto, é numericamente igual a distância do ponto ao centro da esfera.
2) Uma loja vende um certo produto P de duas marcas distintas, A e B. A demanda do produto com marca A depende de seu preço e do preço da marca competitiva B. A demanda do produto com marca A é:
DA = 1300 – 50x + 20y unidades/mês
e do produto B é
DB = 1700 + 12x – 20y unidades/mês,
Onde x é o preço do produto A e y é o preço do produto B.
Escrever uma função que expresse a receita total mensal da loja, obtida com a venda do produto P.
3) Determinar o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções:
a) z = 3 – x – y b) f(x,y) = 1 + x2 + y2 
c) 
 d) 
e) 
 
f) f(x,y) = 2x + 5y – 4 g) z = x2 + y2 -2 
h) f(x,y) = 2x2 + 5y i) w = 4 + x2 + y2 
j) f(x,y) = 4 – x2 – y2 
4) Determinar o domínio das seguintes funções e representar graficamente este domínio:
a) z = x.y b) 
 
c) 
 d) 
e) 
 
f) 
 
g) 
h) 
 
i) 
5) Representar graficamente as funções:
a) 
 b) z = 3 – x – y 
c) 
 d) z = x2 – y 
e) z = 4 – x26) Achar 
 se 
7) Seja f(x,y) = x2 + 2y. Calcule:
a) f(1, - 1) b) f(a,x)
c) 
d) 
8) Represente graficamente o domínio da função z = f(x,y) em cada caso:
a) x + y – 1 + z2 = 0, z ( 0 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
9) Seja S a superfície definida por 
.
a) Identifique a interseção de S com o plano z = k, quando k < 2, k = 2 e k > 2.
b) Identifique a interseção de S com os planos xOz e yOz.
c) Faça um esboço de S.
10) Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico de cada uma das funções dadas abaixo.
a) f(x,y) = x2 + y2 b) f(x,y) = 1 – x2 – y2
c) z = x2 , -1 ( x ( 1 e y ( 0
d) g(x,y) = x + 2y + 3 
11) Determine a equação da curva de nível da função f(x,y) que passa pelo ponto dado.
a) f(x,y) = 16 – x2 – y2 , 
b) 
c) 
12) Se T(x,y) for a temperatura em um ponto (x,y) sobre uma placa delgada de metal no plano xOy, então as curvas de nível de T são chamadas de curvas isotérmicas ou isotermas. Todos os pontos de tal curva têm a mesma temperatura. Suponha que uma placa ocupa o primeiro quadrante e 
T(x,y) = xy.
a) Esboce as curvas isotérmicas sobre as quais T = 1 e T = 3.
b) Uma formiga especial, inicialmente em (1,4), anda sobre a placa de modo que a temperatura ao longo de sua trajetória permanece constante. Qual é a trajetória descrita pela formiga e qual é a temperatura ao longo de sua trajetória?
13) Se V(x,y) for o potencial sobre um ponto (x,y) do plano xOy então as curvas de nível de V são chamadas de curvas equipotenciais. Ao longo de tal curva, o potencial permanece constante. Dado que 
, esboce as curvas equipotenciais nas quais V = 2,0 V; V = 1,0 V e V = 0,5 V.
14) De acordo com a lei dos gases ideais, a pressão P, o volume V e a temperatura T de um gás ideal confinado estão relacionados pela fórmula PV = kT, para uma constante k. Expresse P como função de V e T. Descreva as curvas de nível associadas a essa função. Qual o significado físico dessas curvas de nível?
15) Represente graficamente o domínio da função dada.
a) 
b) 
c) 
RESPOSTAS
1) a) 
b) V = (.x2.y
c) Q = 2a + 2b
d) Q = 2yz + 2xz
e) V = xyz
f) 
g) 
2) R(x,y) = 1300x + 1700y + 32xy – 50x2 – 20y2
3) a) ID = IR2 e Im = IR
b) ID = IR2 e Im = {z ( IR / [1,()}
c) ID = {(x,y) ( IR2 / x2 + y2 ( 9} e Im = [0,3]
d) ID = IR3 e Im = (0,()
e) ID = IR3 Im = [0, ,()
f) ID = IR2 e Im = IR
g) ID = IR2 e Im = {z ( IR / [- 2,()}
i) ID = IR2 e Im = {z ( IR / [4,()}
4) a) ID = IR2
b) ID = IR3 – {(0,0,0)}
c) ID = {(x,y) ( IR2 / 
}
d) ID = IR2
e) ID = {(x,y) ( IR2 / x2 + y2 ( 1}
f) ID = {(x,y) ( IR2 / x2 + y2 < 16} 
g) ID = {(x,y) ( IR2 / y ≠ 0}
h) ID = {(x,y) ( IR2 / y ≠ 0}
i) ID = {(x,y,z) ( IR3 / x2 + y2 + z2 < 9}
Somente os pontos interiores.
5) a)
b) 
c) 
d) 
e) 
6) 
7) a) f(1, -1) = - 1 b) f(a,x) = a2 + 2x
c) 2x + h d) 2
8) a) ID = {(x,y) ( IR2 / x + y ( 1}
b) ID = {(x,y) ( IR2 / x + y ( 4}
c) ID = {(x,y) ( IR2 / y ( x2 + 1}
d) ID = {(x,y) ( IR2 / x2 + y2 < 4 e y > - x }
e) ID = {(x,y) ( IR2 / 
}
f) ID = {(x,y) ( IR2 / 
}
9) 
a) Se k < 2 a interseção é vazia.
Se k = 2 ( temos o ponto (0,0,2)
Se k > 2 ( circunferências de centro (0,0,k) e raio k – 2.
b) para y = 0 ( 
para x – 0 ( 
c) 
10) a) 
 
b) Curva de nível ( circunferências de centro 
c) 
d) 
11) a) x2 + y2 = 10
b) x2 - 1 = 0
c) arctg y – arctg x = 
12) a) T = 1 ( xy = 1 
T = 3 ( xy = 3
b) T(1,4) = 4 0C
Hipérbole de equação x.y = 4
13) Para V = 2 ( (0,0)
Para V = 1 ( x2 + y2 = 48
Para V = 0,5 ( x2 + y2 = 240
14) 
, Isobáricas ou Isóbaras
 ( T = c.V ( retas que passam pela origem.
15) a) 
 
b) 
c) ID = IR3 – {(0,0,0)}
3
3
3
z
x
y
2
2
2
z
x
y
3
3
3
4
4
1
1
IR
IR2
IR
IR3
 
x
 
y
 
z
 
y
x
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
AULA 03
PROFESSOR:
OLIMPIO 
y
x
k = 5
k = 8
3
2
1
k = 9
y
z
z
y
z
x
z
y
x
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