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FUNDAÇÃO TÉCNICO-EDUCACIONAL SOUZA MARQUES FACULDADES SOUZA MARQUES COORDENAÇÃO ACADÊMICA Curso: Engenharia Mecânica ; Engenharia Civil; Física; Química Disciplina: Cálculo 4 Turma: __________ Professor(a): Celso L. M. Pieroni Aluno: ____________________ Matrícula: __________ Avaliação: (X) GQ1 ( ) GQ2 ( ) GQE ( ) GQF Data: 10-09-2014 Nota: _________ Rubrica do Prof.: ______________ Questão 1. (valor: 2,5 pontos) Cacule a integral dupla, onde 𝑫 é a região limitada pela curva 𝒚 = √𝟏 − 𝒙𝟐 e pelo eixo 𝒙. ∬ 𝒆𝒙 𝟐+𝒚𝟐𝒅𝒙 𝑫 𝒅𝒚 Resolução: Adotando o sistema de coordenadas polares, teremos um semi-circulo de raio 1, centrado em zero. Uma vez que { 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 a integral dupla será ∫ ∫ 𝑒𝑟 2 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 1 0 𝜋 0 Usando método de substituição e fazendo 𝑢 = 𝑟2, 𝑑𝑢 = 2𝑟𝑑𝑟. Portanto, ∫ 𝑒𝑟 2 𝑟𝑑𝑟 1 0 = 1 2 ∫ 𝑒𝑢𝑑𝑢 = 1 2 𝑒𝑢. Assim, ∫ ∫ 𝑒𝑟 2 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 1 0 𝜋 0 = (𝑒𝑟 2 | 0 1 ) ∫ 𝑑𝜃 = (𝑒 − 1)𝜃|0 𝜋 𝜋 0 = 𝝅(𝒆 − 𝟏) FUNDAÇÃO TÉCNICO-EDUCACIONAL SOUZA MARQUES FACULDADES SOUZA MARQUES COORDENAÇÃO ACADÊMICA Questão 2. (valor: 2,5 pontos) Cacule o volume do sólido limitado superiormente por 𝒛 = 𝟑𝒙 + 𝟒𝒚𝟐 e limitado inferiormente pela região no semiplano superior limitada pelos círculos 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏 e 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒. Resolução: Vejamos primeiramente os gráficos abaixo: Tendo o gráfico acima podemos concluir que o domínio pode ser definido por 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) | 𝑦 ≥ 0, 1 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4} Para efeito de simplificação na solução do problema, será realizada uma mudança de coordenadas de (𝑥, 𝑦) para (𝑟, 𝜃), isto é, faremos uma mudança para coordenadas polares. Assim sendo, o domínio será escrito por 𝑅 = {(𝑟, 𝜃) | 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 𝑒 1 ≤ 𝑟 ≤ 2} Definido os limites de integração temos então a integral dupla ∫ ∫ (3𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 + 4𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃)𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 2 1 𝜋 0 Logo, ∫ ∫ (3𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 + 4𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃)𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 2 1 𝜋 0 = ∫ ∫ 3𝑟2𝑐𝑜𝑠𝜃 + 4𝑟3𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃 2 1 𝜋 0 = 3 ∫ ∫ 𝑟2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃 2 1 + 4 ∫ ∫ 𝑟3𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃 2 1 𝜋 0 𝜋 0 Comentado [Nota 1]: Observar que, o domínio é definido em coordenadas cartesianas. Comentado [Nota 2]: Sabe-se que, em coordenadas polares, 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 Comentado [Nota 3]: Observar que, o domínio é definido em coordenadas cartesianas. Comentado [Nota 4]: A integral dupla tendo como coordenadas (𝑟, 𝜃). FUNDAÇÃO TÉCNICO-EDUCACIONAL SOUZA MARQUES FACULDADES SOUZA MARQUES COORDENAÇÃO ACADÊMICA Temos que a integral ∫ 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 𝜋 0 = 𝑠𝑒𝑛𝜃|0 𝜋 = 𝑠𝑒𝑛 𝜋 − 𝑠𝑒𝑛 0 = 0 Portanto continuaremos a resolver: 4 ∫ ∫ 𝑟3𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃 2 1 𝜋 0 = 4 ∫ ( 1 − cos 2𝜃 2 ) [∫ 𝑟3𝑑𝑟 2 1 ] 𝑑𝜃 𝜋 0 = 4 𝑟4 4 | 1 2 ∫ ( 1 − cos 2𝜃 2 ) 𝑑𝜃 𝜋 0 = 15 ∫ ( 1 − cos 2𝜃 2 ) 𝑑𝜃 𝜋 0 = 15 2 [∫ 𝑑𝜃 𝜋 0 − ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑑𝜃 𝜋 0 ] = 15 2 [𝜋 − 1 2 (𝑠𝑒𝑛 2𝜋 − 𝑠𝑒𝑛 0)] = 15 2 [𝜋 − 1 2 (0 − 0)] = 𝟏𝟓𝝅 𝟐 Questão 3. (valor: 2,5 pontos) No estudo de integração tripla, ao calcularmos a integral ∭ √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐𝑫𝑽 𝑾 , onde 𝑾 é a região limitada inferiormente pelo cone 𝒛 = √𝟑(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐) e superiormente pela esfera 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟒, temos como domínio a figura abaixo. Na resolução deste problema, obsevarmos que os cálculos realizados podem ser complexos quando feitos em coordenadas cartesianas. Contudo, a solução para esta complexidade é dada quando procuramos usar uma mundança para coordenadas esféricas. Esta transformação gera como itegral resultante: ∫ ∫ ∫ 𝝆𝟑𝒔𝒆𝒏𝝓 𝟐𝝅 𝟎 𝒅𝜽𝒅𝝆𝒅𝝓 𝟐 𝟎 𝝅 𝟔⁄ 𝟎 Assim sendo, determine a solução para integral tripla em coordenadas esféricas dada acima: Solução: Temos que: Comentado [Nota 5]: Temos a seguinte relação trigonométrica: 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 = (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽) 𝟐⁄ Comentado [Nota 6]: Resolvendo a integral em relação ao raio r. Comentado [Nota 7]: Temos que 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒌𝝅 = 𝟎, para 𝒌 ∈ ℤ. FUNDAÇÃO TÉCNICO-EDUCACIONAL SOUZA MARQUES FACULDADES SOUZA MARQUES COORDENAÇÃO ACADÊMICA ∫ ∫ ∫ 𝜌3𝑠𝑒𝑛𝜙 2𝜋 0 𝑑𝜃𝑑𝜌𝑑𝜙 2 0 𝜋 6⁄ 0 = ∫ ∫ 𝜃|0 2𝜋(𝜌3𝑠𝑒𝑛𝜙)𝑑𝜌𝑑𝜙 2 0 𝜋 6⁄ 0 = 2𝜋 ∫ 𝑠𝑒𝑛𝜙 [∫ 𝜌3 2 0 𝑑𝜌] 𝜋 6 0 𝑑𝜙 = 2𝜋 𝜌4 4 | 0 2 ∫ 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝜋 6 0 𝑑𝜙 = 8𝜋(−𝑐𝑜𝑠𝜙)|0 𝜋/6 = 8𝜋 (1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜋 6 ) = 8𝜋 (1 − √3 2 ) = 𝟒𝝅(𝟐 − √𝟑) Questão 4. (valor: 2,5 pontos) No estudo de integração dupla em regiões não retângulares (regiões mais gerais), existem dois tipos de subconjuntos do plano, que são usados para estender o conceito de integral dupla sobre retângulos. Chamamos de forma geral estas regiões da forma: Regiões de tipo I: 𝑫 = {(𝒙, 𝒚) ∈ ℝ𝟐|𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃, 𝝓𝟏(𝒙) ≤ 𝒚 ≤ 𝝓𝟐(𝒙)} Regiões de tipo II: 𝑫 = {(𝒙, 𝒚) ∈ ℝ𝟐|𝒄 ≤ 𝒚 ≤ 𝒅, 𝝍𝟏(𝒚) ≤ 𝒙 ≤ 𝝍𝟐(𝒚)} As regiões de tipos I ou II são chamadas elementares e são consideradas fechadas e limitadas. Com base neste desenvolvimento, calcule a integral dupla: ∫ ∫ 𝒆𝒙 𝟐 𝒙=𝟏 𝒙=𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚 𝒚=𝟏 𝒚=𝟎 Resolução: Não é possível resolver a integral dupla na ordem apresentada no enunciado pois, a integral simples ∫ 𝑒𝑥 2 𝑑𝑥 não é considerada uma função elementar. Portanto devemos inverte a ordem de integração da integral. Note que a região 𝐷 (domínio) da integração é dada pelas desigualdades { 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 1 Assim sendo, a região 𝐷 está limitada à esquerda pela reta 𝑥 = 𝑦 (ou 𝑦 = 𝑥) e à direita pela reta 𝑥 = 1, entre a retas horizontais 𝑦 = 0 e 𝑦 = 1. Imaginando uma reta vertical através da região 𝐷, orientada paralela ao eixo y, notamos que inicialmente ela intercepta a reta 𝑦 = 0 e depois 𝑦 = 𝑥 . Observamos também que a região D esta entre as retas 𝑥 = 0 e 𝑥 = 1. Portanto, fazendo esta nova leitura dos limites da região 𝐷 temos: 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 | 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥} Temos então a nova integral dupla: Comentado [Nota 8]: Próxima integral a ser resolvida será em função do raio 𝝆. Comentado [Nota 9]: Terceira integração feita foi em função do ângulo 𝝓 associado ao eixo z. Comentado [Nota 10]: Esta função não pode ser considerada como uma soma finita de funções elementares. Comentado [Nota 11]: Limites de integração da integral com 𝒅𝒙𝒅𝒚. Comentado [Nota 12]: Esta reta sobre o eixo x. Comentado [Nota 13]: Esta reta esta sobre o eixo y. FUNDAÇÃO TÉCNICO-EDUCACIONAL SOUZA MARQUES FACULDADES SOUZA MARQUES COORDENAÇÃO ACADÊMICA ∫ ∫ 𝑒𝑥 2 𝑦=𝑥 𝑦=0 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥=1 𝑥=0 Resolvendo, temos ∫ ∫ 𝑒𝑥 2 𝑦=𝑥 𝑦=0 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥=1 𝑥=0 = ∫ 𝑒𝑥 2 (𝑦)|0 𝑥𝑑𝑥 𝑥=1 𝑥=0 = ∫ 𝑒𝑥 2 𝑥𝑑𝑥 𝑥=1 𝑥=0 Fazendo 𝑢 = 𝑥2, temos 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥. Para 𝑥 = 0, temos u=0 e para 𝑥 = 1, temos u=1. Então, ∫ ∫ 4𝑒𝑥 2 𝑥=2 𝑥=2𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 1 2 ∫ 𝑒𝑢𝑑𝑢 = 𝑒𝑢|0 1 = 𝟏 𝟐 (𝒆 − 𝟏) 1 0 𝑦=1 𝑦=0 Questão5. (Opcional) Calcule a integral dupla da função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 𝑦 sobre o conjunto D definido da forma: 𝑫 = {(𝒙, 𝒚) ∈ ℝ𝟐| − 𝟑 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑; 𝟎 ≤ 𝒚 ≤ √𝟗 − 𝒙𝟐} Resolução: Vejamos inicialmente como fica o gráfico da região 𝐷 da questão. 𝒚 ≤ √𝟗 − 𝒙𝟐 Passando para o sistema de coordenadas polares, temos a região 𝐷 da forma: 𝐷 = {(𝑟, 𝜃) ∈ ℝ2|0 ≤ 𝑟 ≤ 3; 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋} Logo a integral reescrita fica: ∫ [∫ (2𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃)𝑟𝑑𝑟 𝑟=3 𝑟=0 ] 𝑑𝜃 𝜃=𝜋 𝜃=0 = ∫ (2𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃) [∫ 𝑟2𝑑𝑟 𝑟=3 𝑟=0 ] 𝑑𝜃 𝜃=𝜋 𝜃=0 Comentado [Nota 14]: Sabe-se que, em coordenadas polares, 𝒙 = 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒚 = 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐 𝒅𝒙𝒅𝒚 = 𝒓𝒅𝒓𝒅𝜽 FUNDAÇÃO TÉCNICO-EDUCACIONAL SOUZA MARQUES FACULDADES SOUZA MARQUES COORDENAÇÃO ACADÊMICA = ∫ (2𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃) [ 𝑟3 3 | 0 3 ] 𝑑𝜃 = 33 3 ∫ (2𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃)𝑑𝜃 𝜃=𝜋 𝜃=0 𝜃=𝜋 𝜃=0 = 9 [2 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 + ∫ 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 𝜃=𝜋 𝜃=0 𝜃=𝜋 𝜃=0 ] = 9(2𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)|0 𝜋 = 9(𝑠𝑒𝑛𝜋 − 2𝑠𝑒𝑛0 − 𝑐𝑜𝑠𝜋 + 𝑐𝑜𝑠0) = 9(1 + 1) = 𝟏𝟖 Comentado [Nota 16]: A integral da soma de duas funções é soma da integral destas funções. Comentado [Nota 17]: Temos que 𝑠𝑒𝑛 𝜋 = 0; 𝑠𝑒𝑛 0 = 0; cos 𝜋 = −1; cos 0 = 1
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