MECFLU_Cap11_Forcas_Aerodinamicas

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Capítulo 11: Escoamento Viscoso Externo - Forças Aerodinâmicas 
 
PUCRS - DEM - Prof. Alé 11-1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EEssccooaammeennttoo VViissccoossoo EExxtteerrnnoo:: 
FFoorrççaass AAeerrooddiinnââmmiiccaass 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
Forças Aerodinâmicas 11-2 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 11 - Escoamento Viscoso Externo: Forças Aerodinâmicas 
 
 
11.1 FORÇAS AERODINÂMICOS DE SUSTENTAÇÃO E ARRASTO...................................................3 
11.1.1 Coeficiente de Arrasto .........................................................................................4 
11.2 ESCOAMENTO SOBRE CILINDROS - EFEITO DA VISCOSIDADE ...............................................6 
11.3 ESCOAMENTO NÃO VISCOSO NUM CILINDRO .....................................................................7 
11.4 ESCOAMENTO VISCOSO NUM CILINDRO : EFEITO DO GRADIENTE ADVERSO DE PRESSÃO........9 
11.5 SUSTENTAÇÃO AERODINÂMICA ....................................................................................14 
11.6 RELAÇÃO ENTRE COEFICIENTE DE PRESSÃO E SUSTENTAÇÃO..........................................16 
11.7 CURVA DE SUSTENTAÇÃO VERSUS ÂNGULO DE ATAQUE. .................................................17 
11.7.1 Influência da Velocidade Induzida na Força de Arrasto.......................................20 
11.7.2 Velocidade mínima de vôo................................................................................22 
11.8 EXEMPLO - ARRASTO EM BOLAS DE GOLFE E DE TÊNIS ...................................................23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 11: Escoamento Viscoso Externo - Forças Aerodinâmicas 
 
PUCRS - DEM - Prof. Alé 11-3 
Capítulo 11 - Escoamento Viscoso Externo: Forças Aerodinâmicas 
 
11.1 Forças Aerodinâmicos de Sustentação e Arrasto 
 
Num escoamento externo quando o corpo se movimento através do fluido se manifesta uma 
interação fluido-corpo resultando em forças que podem ser descritas em função da tensão de 
cisalhamento na parede (τw) provocada pelos efeitos viscosos e uma tensão normal provocada pela 
distribuição de pressão (p). 
 
Figura 11.1 Forças aerodinâmicas sobre um corpo 
 
• A componente da força resultante que atua na direção normal ao escoamento é denominada 
força de sustentação (Lift, L ou FL). 
• A componente da força resultante que atua na direção do escoamento é denominada força de 
arrasto. (Drag, D ou FD) . 
 
Consideremos um elemento diferencial localizado na superfície do corpo em estudo. As 
componente x e y da força que atua no pequeno elemento de área dA são: 
 
θτθ dAsenpdAdF wx += cos 
 
θτθ cossen dApdAdF wy +−= 
 
O arrasto e a sustentação podem ser determinados pela integração das tensões de cisalhamento e das 
tensões normais ao corpo. 
 
A força de sustentação é dada por: 
∫∫∫ +−== θτθ cosdApdAsendFF wyL 
 
A força de arrasto é dada por: 
∫∫∫ +== dAdApdFF WxD θτθ sencos 
 
Para determinar esta força é necessário determinar o formato do corpo e as distribuições da tensão 
de cisalhamento na parede e da distribuição de pressão ao longo da superfície do corpo. 
Mecânica dos Fluidos 
 
Forças Aerodinâmicas 11-4 
11.1.1 Coeficiente de Arrasto 
 
Na forma adimensional esta força é definida pelo coeficiente de arrasto como: 
 
AU
FC DD
2
2
1
∞
=
ρ
 onde 
 
O coeficiente de arrasto ou de resistência de um corpo é dado por: 
 
DfDpD CCC += 
 
onde CDf representa o coeficiente de tensão de cisalhamento. 
 
 
AU
F
C DfDf
2
2
1
∞
=
ρ
 
 
A representa a área superficial ou área molhada. Por exemplo numa placa paralela ao escoamento 
A=bL onde b é a largura da placa e L o comprimento da placa. 
 
O termo CDp representa o coeficiente de arrasto por pressão. 
 
AU
F
C DpDp
2
2
1
∞
=
ρ
 
 
Neste caso A pode representar projeção num plano normal da área do corpo. Por exemplo num 
cilindro A=DL , onde D é o diâmetro do cilindro 
 
No caso de uma placa perpendicular ao fluxo a 
tensão de cisalhamento não contribui para a 
força de resistência. O coeficiente de arrasto 
deve-se unicamente ao arrasto por pressão. Desta 
forma CD= CDp. 
 
 
Figura 11.2 Placa plana perpendicular ao fluxo 
 
Como foi visto no Cap.10, no caso de uma placa plana paralela ao escoamento, o arrasto se deve 
unicamente ao atrito superficial. Desta forma CD= CDf. 
 
 
 
 
 
 
 
CD=CDp 
Capítulo 11: Escoamento Viscoso Externo - Forças Aerodinâmicas 
 
PUCRS - DEM - Prof. Alé 11-5 
Na Tab.11.1 se são dados os valores do coeficiente de arrasto para diferentes corpos rombudos entre 
eles, esferas, semi-esferas, cilindros, placas planas, aerofólios; também é dado o coeficiente de 
arrasto de corpos típicos como asas de avião e automóveis. Cabe salientar que estes são valores de 
referência. Um estudo mais apurado deverá ser realizado para projetos de sistemas específicos. 
 
 
 Tabela 11.1 Coeficiente de Arrasto para diferentes tipos de corpos 
Corpos rombudos CD 
Esfera rugosa 0.40 
Esfera lisa 0.10 
Semi-esfera oca oposta à corrente 1.42 
Semi-esfera oca com face para a corrente 0.38 
Semi-cilindro oco oposto a corrente 1.20 
Semi-cilindro oco com face para a corrente 2.30 
Placa plana 90° 1.17 
Placa plana comprida a 90° 1.98 
Roda girando oca h/D=0.28 0.58 
Corpos afinados CD 
Placa Plana Laminar 0.001 
Placa Plana Turbulenta 0.005 
Aerofólio valor mínimo 0.006 
Aerofólio próximo do estol 0.025 
Asa em escoamento subsônico mínimo 0.05 
Automóveis CD 
Avião de transporte subsônico 0.016 
Avião supersônico M=2.5 0.025 
Barcos 0.4-1.2 
Helicópteros 0.3 -0.4 
Carro de esporte 0.4 -0.5 
Carro Econômico 0.5 
Camioneta e caminhão 0.6-0.7 
Trator e Trailers 0.7-0.9 
Pessoas CD 
Homem em pé 1.0 - 1.3 
Esquiador 1.2 - 1.3 
Skier 1.0 - 1.1 
Outros 
Fios e cabos 1.0 - 1.3 
Prédio Empire State 1.3 - 1.5 
Torre de Eiffel 1.8 - 2.0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
Forças Aerodinâmicas 11-6 
11.2 Escoamento sobre cilindros - Efeito da viscosidade 
 
Número de Reynolds Muito Baixo 
 
 
Para Reynolds baixo (Re < 0.1) o escoamento 
apresenta uma grande região onde os efeitos 
viscosos são importante. 
As linhas de corrente são praticamente 
simétricas com comportamento muito similar 
na parte anterior e posterior do cilindro. 
Este tipo de escoamento pode ser estudado 
utilizando a teoria de escoamentos potenciais. 
 
 
 
 Figura 11.3 Escoamento com baixo Re 
 
Número de Reynolds Moderado 
 
Para escoamento em regime moderado 
(Re≅50) a região onde os efeitos viscosos são 
importantes se torna menor a montante do 
cilindro. A jusante a região viscosa aumenta. 
O escoamento perde sua simetria. Forma-se 
uma bolha de separação atrás do cilindro 
existindo um escoamento em sentido 
contrário ao fluxo principal.Figura 11.4 Escoamento para Re moderado 
 
Número de Reynolds Alto 
No caso de escoamento com número de Reynolds 
alto (Re > 105) a área afetada pelas forças 
viscosas é concentrada na parte de atrás do 
cilindro. Na parte frontal do cilindro se desenvolve 
uma camada muito fina de fluido onde os efeitos 
viscosos são importante. Na parte frontal, após a 
separação, o escoamento torna-se turbulento 
originando-se uma região com emissão de 
vórtices. 
 
Figura 11.5 Escoamento para Re alto 
 
Nestas regiões o fluido apresenta gradientes consideráveis de velocidade. Como a tensão de 
cisalhamento é proporcional a estes gradientes, os efeitos viscosos são significativos. Fora da 
camada limite e da região de vórtices o fluido se comporta como se fosse um fluido não viscoso. 
Cabe salientar que a viscosidade dinâmica permanece a mesma em todo o campo do escoamento já 
que o fluido é o mesmo. 
 
Capítulo 11: Escoamento Viscoso Externo - Forças Aerodinâmicas 
 
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11.3 Escoamento não viscoso num cilindro 
 
Do estudo do escoamento da camada limite numa placa plana sabemos que a fronteira da camada 
limite tenderá ao valor da velocidade de corrente livre (Voo) admitida a jusante da placa. Neste caso 
aplicando a Eq. de Bernoulli podemos constatar que não existe variação da pressão ao longo da 
placa. No caso do escoamento sobre um cilindro isto é bem diferente. Consideremos um 
escoamento não viscoso sobre um cilindro. Neste tipo de escoamento as linhas de corrente formadas 
em torno do corpo são simétricas e a linha de corrente que atinge o ponto de estagnação contorna o 
cilindro aderida ao mesmo. Devido à curvatura do cilindro a velocidade do fluido que contorna o 
cilindro (U) é diferente da velocidade de corrente livre e dependente da posição angular. Neste caso 
aplicando a Eq. de Bernoulli pode ser constatado que existe uma variação da pressão dependente da 
variação da velocidade que contorna o cilindro. 
 
Figura. 11. 6 Esquema de escoamento não viscoso 
 
Consideremos que a montante do cilindro a corrente livre não perturbada apresenta uma velocidade 
Voo e uma pressão Poo. Podemos aplicar a Eq. de Bernoulli que contorna o cilindro considerando um 
ponto a montante do cilindro e outro sobre a superfície da mesma com pressão p e velocidade 
U=U(θ). 
 
g
U
g
p
g
V
g
p
22
22
+=+ ∞∞
ρρ
 
Para analisar a distribuição de pressão utilizamos na forma adimensional definindo o coeficiente de 
pressão (Cp): 
 
2
2
1
∞
∞−
=
V
pp
c p
ρ
 
Explicitando o termo (p - poo) da Eq. de Bernoulli e substituída na Eq. de Cp se obtém: 
 
2
1 


−=
∞V
U
c p 
 
A equação obtida mostra a dependência da distribuição de pressão em função da velocidade do 
fluido que contorna o cilindro. 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
Forças Aerodinâmicas 11-8 
Para escoamento não viscoso a solução teórica (potencial) da distribuição de pressão é dada como: 
 
θ2sen41−=pc 
 
Da mesma forma a velocidade ao longo da superfície é dada por: 
 
θθ sen2)( ∞= VU 
 
a qual pode ser representada na forma adimensional 
 
θθθ sen2)()(* ==
∞V
UU 
 
Utilizando estas expressões podemos graficar a distribuição de Cp e do perfil de velocidades em 
torno do cilindro. A pressão é simétrica em relação ao semi-plano vertical atingindo seu máximo 
nos pontos de estagnação A e F. Observa-se que a velocidade nos pontos de estagnação (θ=0 e 
θ=1800) é nula (U*(θ) =0), alcançando seu máximo em θ=900 sendo sua magnitude o dobro da 
velocidade de corrente livre (U=2Voo). 
 
 
 
 
Figura 11.7 Distribuição do coeficiente de pressão e da velocidade tangencial 
 
Considerando o escoamento não viscoso o arrasto por atrito será nulo (CDf =0). Devido à simetria 
da distribuição de pressão em torno ao cilindro o arrasto por pressão é nulo (CDp=0). Dados 
experimentais mostram que sempre existirá um arrasto no cilindro mesmo tratando-se de fluidos 
com viscosidade muito pequena. Isto nos leva ao denominado Paradoxo de d´Alambert o qual 
especifica que o arrasto num corpo é sempre nulo para escoamento não viscoso, porém o arrasto 
num corpo imerso num fluido viscoso não é nulo. 
 
Cilindros : Escoamento não viscoso CDp = CDf=0 
 
 
 
 
Capítulo 11: Escoamento Viscoso Externo - Forças Aerodinâmicas 
 
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11.4 Escoamento viscoso num cilindro : Efeito do Gradiente Adverso de Pressão 
 
Numa placa plana paralela ao escoamento a camada limite se desenvolve num campo de 
escoamento onde a pressão permanece constante. Isto significa que o gradiente de pressão é nulo. 
No caso de geometrias mais complexas, ou placa plana com inclinação, o campo de pressão deixa 
de ser uniforme. No caso de um cilindro na camada limite se desenvolve um gradiente de pressão 
devido à variação da velocidade da corrente livre que contorna a fronteira da camada limite. 
 
Consideremos uma partícula de fluido, que escoa dentro da camada limite, que viaja do ponto A 
para o ponto F. Tal partícula está submetida à mesma distribuição de pressão das partículas de 
fluido próximas, porém fora da camada limite. Contudo, devido aos efeitos viscosos, a partícula 
localizada dentro da camada limite sofre perdas de energia. Sendo assim a partícula não tem energia 
suficiente para vencer o gradiente adverso de pressão quando escoa de C para F. Considera-se que a 
partícula de fluido quando chega em C não tem quantidade de movimento suficiente para vencer o 
gradiente de pressão adverso. 
 
Se define gradiente de pressão adverso quando a pressão aumenta no sentido do escoamento 
ou ∂p/∂x > 0 
 
Se define gradiente de pressão favorável quando a pressão diminui no sentido do escoamento 
ou ∂p/∂x < 0 
 
 
 
 
Figura 11.8 Escoamento com gradiente adverso de pressão sobre um cilindro 
 
Observando o perfil de velocidades dentro da camada limite (Fig. ) vemos que no ponto D, onde 
ocorre a separação do escoamento, o gradiente de velocidade e a tensão de cisalhamento na parede 
são nulos. Após este ponto se origina um escoamento reverso dentro da camada limite. 
 
0 e 0 separação de ponto No 
0
==

∂
∂
=
w
yy
u
τ 
 
Atualmente as soluções computacionais conseguem identificar nos escoamento viscosos a 
separação da camada limite e a emissão de vórtices tal como representado na Fig. 11.9. 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
Forças Aerodinâmicas 11-10 
 
Figura 11.9 Solução numérica (CFD) do escoamento num cilindro com emissão de vórtices 
 
Devido aos efeitos da separação da camada limite a pressão média na metade traseira do cilindro é 
muito menor que na metade dianteira. Isto origina um arrasto (CD) devido principalmente à parcela 
de arrasto por pressão (CDp) já que o arrasto por efeitos viscosos (CDf) pode ser muito pequeno. O 
arrasto por pressão é denominado também arrasto por forma devido a sua dependência da forma do 
objeto. 
 
Cilindros : Escoamento viscoso CDp >> CDf 
 
Pelo efeito da separação da camada limite podemos compreender o paradoxo de d`Alambert. No 
escoamentos sobre um corpo submerso, mesmo para fluido com pequena viscosidade, se 
manifestará uma força de arrasto, a qual é, geralmente independente da magnitude da viscosidade 
do fluido. 
 
Dependência do Regime de Escoamento 
 
A localização do ponto de separação, a largura da esteira de vórtices originados na parte traseira do 
corpo e a distribuição de pressão na superfície do corpo dependem da natureza do escoamento, seja 
ele laminar ou turbulento. 
 
A energia cinética e a quantidade de movimento associadas ao escoamento na camada limite 
turbulenta são maiores do que as associadas ao escoamento na camada limite laminar. Isto se deve 
basicamenteao seguinte: 
 
(1) O perfil de velocidade na camada limite é mais uniforme no caso do escoamento turbulento que 
no caso do escoamento laminar. 
(2) A energia associada com os movimentos turbulentos aleatórios é maior que a laminar. 
 
Desta forma o descolamento da camada limite turbulenta desenvolvida em torno de um cilindro 
descola numa posição posterior daquela da camada limite laminar tal como se observa na figura. 
 
 (a) Laminar (b)Turbulento 
Figura 11.10 Separação do escoamento laminar e turbulento. 
 
Capítulo 11: Escoamento Viscoso Externo - Forças Aerodinâmicas 
 
PUCRS - DEM - Prof. Alé 11-11 
 
 
 
Figura 11.11 Perfil de velocidades na camada limite no cilindro analisado 
 
 
Figura 11.11 1Distribuição de pressão em cilindro escoamento não viscoso e viscoso 
 
 
Efeito do Regime de Escoamento no Arrasto de Esferas e Cilindros 
Como mostra a Fig. 11.12 existe uma dependência do coeficiente de arrasto nos cilindros e esferas 
lisas, muito semelhantes em função do número de Reynolds. Para escoamento com baixo número de 
Reynolds o arrasto é função de 1/Re. Para escoamentos moderados (103 a 105) o coeficiente de 
arrasto tem comportamento constante. Quando o Re atinge o valor crítico a camada limite se torna 
turbulenta e existe um queda abrupta do arrasto. 
 
Para determinar o coeficiente de arrasto (CD) numa esfera lisa podemos também utilizar as equações 
sugeridas por Chow: 
 
Re ≤ 1 1 < Re ≤ 400 400 <Re ≤ 3x105 3x105 < Re ≤ 2x106 Re > 2x106 
Re
24
=DC ( ) 646,0Re
24
=DC 
 
5,0=DC ( ) 4275,0Re
000366,0
=DC 
 
18,0=DC 
Mecânica dos Fluidos 
 
Forças Aerodinâmicas 11-12 
 
 
 
Figura 11.12 Coeficiente de arrasto em função do número de Reynols para cilindros e esferas 
 
A estrutura típica do escoamento segundo o número de Reynolds é mostrada na Fig. 11.13. Para 
baixo número de Reynolds (Re≅0,1) se observa o escoamento típico (A) sem separação. A medida 
que Reynolds aumenta (Re≅10) se origina uma região de separação na parte traseira do corpo (B). 
A formação de vórtices oscilantes (C) se origina (Re≅100), conhecidos como vórtices de Von 
Karman. Para maiores Re se produz a configuração do escoamento laminar (D) no qual o arrasto é 
quase constante. Posteriormente quando se alcança o Re crítico (≅3x105) o escoamento torna-se 
turbulento (E) no qual o ponto de separação desloca-se para a parte traseira do perfil originando-se 
queda brusca do arrasto. 
 
 
Figura 11.13 Tipos de escoamentos associados aos pontos indicados no gráfico 
 
 
 
 
Capítulo 11: Escoamento Viscoso Externo - Forças Aerodinâmicas 
 
PUCRS - DEM - Prof. Alé 11-13 
Efeito da Rugosidade Superficial no Arrasto de Esferas e Cilindros 
 
Geralmente o arrasto aumenta com o aumento da rugosidade superficial nos corpos delgados como 
os perfis aerodinâmicos. Isto se deve a que o escoamento se torna turbulento. Nesta condições a 
maior contribuição para o arrasto total se deve ao arrasto por atrito (CDf) que é muito maior no 
escoamento turbulento que no escoamento laminar. Por outro lado, como se observa na figura 
abaixo, nos corpos rombudos, como um cilindro circular ou esferas, o aumento da rugosidade 
superficial pode causar uma diminuição do arrasto total. Para uma esfera lisa quando o Re atinge o 
valor crítico (Re≅3x105), a camada limite se torna turbulenta. Nesta condição a esteira atrás da 
esfera fica mais estreita. Isto origina uma diminuição significativa do arrasto por pressão (CDp) e um 
leve aumento do arrasto por atrito (CDf). A combinação desta duas parcelas de arrasto (CDp + CDf) 
fornece um arrasto total menor que nas condições de escoamento laminar. O aumento da rugosidade 
superficial pode conseguir que a camada limite se torne turbulenta para um Re mais baixo e com 
isto conseguir um arrasto total menor. Esta é, por exemplo, a técnica utilizada nas bolas de golfe 
que apresentam uma rugosidade artificial exagerada para conseguir um escoamento turbulento com 
menor Re (≅ 4x104) e diminuir assim o arrasto. Desta forma com uma tacada a bola pode alcançar 
maiores distâncias percorridas comparadas com o caso de uma esfera lisa. 
 
 
Figura 11.14 Efeito da rugosidade no coeficiente de arrasto em esferas lisas 
 
 
 
Figura 11.15 Diferença do escoamento de uma esfera lisa e uma bola de golfe. 
Mecânica dos Fluidos 
 
Forças Aerodinâmicas 11-14 
11.5 Sustentação Aerodinâmica 
 
A sustentação é a componente da força aerodinâmica perpendicular ao movimento do fluido. Tal 
força é a responsável pelo vôo dos aviões e princípio de acionamento de muitos tipos de 
turbomáquinas. Nos aviões, por exemplo, as asas apresentam um formato aerodinâmico (Fig) cuja 
seção é denominado aerofólio ou perfil aerodinâmico. Estes são projetados para produzir 
sustentação com a menor força de resistência possível. 
 
 
Figura 11.16 Detalhe de seção transversal de uma asa definindo um aerofólio 
 
Um aerofólio apresenta uma borda de ataque e uma borda de fuga. Denomina-se corda ( c ) a linha 
que une a borda de ataque com borda de fuga. A linha curva que é sempre simétrica às superfícies 
superior e inferior denomina-se linha de camber ou linha média. Um perfil aerodinâmico é 
simétrico quando a linha da corda e a linha de camber são retas coincidentes. O formato de um 
aerofólio apresenta uma curvatura que atinge seu máximo indicada pela espessura máxima. 
 
 
 
Figura 11.17 Nomenclatura básica de um aerofólio 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 11: Escoamento Viscoso Externo - Forças Aerodinâmicas 
 
PUCRS - DEM - Prof. Alé 11-15 
 
Figura 11.18 Detalhe das forças de sustentação e arrasto num aerofólio 
 
Um perfil aerodinâmico quando submetido a uma corrente de fluido com velocidade V∞ apresenta 
uma força resultante ( R ou FR) que é formada por duas componentes. Uma componente 
denominada força de sustentação (L ou FL) que atua perpendicular à velocidade e uma força de 
arrasto (D ou FD) que atua paralela à velocidade. O ângulo de ataque ( α ) é o ângulo formado 
entre a linha da corda e a velocidade de corrente livre. A força de sustentação é apresentada na 
forma adimensional como: 
 
p
L
AV
LC
2
2
1
∞
=
ρ
 
 
Onde CL é o coeficiente de sustentação L a força de sustentação V∞ a velocidade de corrente livre e 
Ap a área projetada máxima da asa. Ap=cb onde c é a corda do aerofólio e b a envergadura da asa. 
 
Da mesma forma define-se o coeficiente de arrasto como: 
p
D
AV
DC
2
2
1
∞
=
ρ
 
 
Onde CD é o coeficiente de arrasto e D a força de arrasto. Num perfil aerodinâmico o arrasto total 
origina-se pelo arrasto devido à pressão CDf, o arrasto devido ao atrito (superficial) CDf e o arrasto 
induzido CDi por efeitos de envergadura finita. Geralmente nos aerofólios o arrasto superficial é o 
mais importante. Isto pode se inverter para relações t/c maiores que 25% onde t é a espessura 
máxima do perfil e c a corda do mesmo. 
 
Aerofólio: Geralmente CDf >> CDp 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
Forças Aerodinâmicas 11-16 
11.6 Relação entre Coeficiente de Pressão e Sustentação 
 
 A sustentação depende de vários parâmetros entre eles o formato do aerofólio, o número de 
Reynolds e o ângulo de ataque do perfil. Num corpo pode ser determinada quando se conhece a 
distribuição de pressão em torno do corpo. Na forma adimensional a distribuição de pressão é dada 
por: 
 
2
2
1
∞
∞−
=
V
pp
c p
ρ
 
 
cp é denominado coeficiente de pressão que é a diferença entre a pressão estática local e a pressão 
estática de corrente livre adimensionalizada pela pressão dinâmica da correntelivre. Na figura 
abaixo mostra-se a curva típica da distribuição de pressão em torno de um aerofólio. A parte 
inferior do aerofólio apresenta uma pressão maior que na parte superior. Geralmente isto se 
apresenta trabalhando com o eixo de cp negativo tal como mostrado. O ponto de estagnação ocorre 
próximo da borda de ataque. Neste local a velocidade V=0. Para escoamento incompressível Cp=0 
neste ponto. Quando a corda é unitária a sustentação é relacionada com o coeficiente de pressão: 
 
( )∫ −=
1
0 c
xdCCC pspiL 
 
Onde Cpi é o coeficiente de pressão da superfície inferior e Cps representa coeficiente de pressão da 
superfície superior. 
 
 
 
 
Figura 11.19 Distribuição do coeficiente de pressão num aerofólio 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 11: Escoamento Viscoso Externo - Forças Aerodinâmicas 
 
PUCRS - DEM - Prof. Alé 11-17 
11.7 Curva de Sustentação versus Ângulo de Ataque. 
 
Um aerofólio com um determinado ângulo de ataque originará uma distribuição de pressão tal como 
mostrada na figura acima. Para graficar o comportamento da sustentação versus o ângulo de ataque 
de um perfil aerodinâmico devemos previamente avaliar a distribuição de pressão para cada angulo 
desejado e posteriormente graficar o resultado. Uma curva típica deste resultado pode ser observada 
na figura abaixo. Como se aprecia existe uma região em que a sustentação aumenta linearmente 
com o ângulo de ataque até alcançar a sustentação máxima (CLmax). Nesta região o escoamento 
apresenta-se suave sem separação da camada limite. Após este máximo o gradiente adverso de 
pressão provoca a separação do escoamento na superfície superior do aerofólio originando-se um 
esteira turbulenta. Nestas condições o aerofólio entra em estol o que significa que perde 
sustentação e ocorre aumento do arrasto. O ângulo em que se origina este fenômeno denomina-se 
ângulo de estol. 
 
 
Figura 11.20 Curva típica de sustentação aerodinâmica versus ângulo de ataque 
 
Um aerofólio simétrico apresentará uma curva de CL versus α que passa pela origem. Isto é para 
α=00 a sustentação CL=0. No caso de perfis assimétricos para α=00 o aerofólio apresenta um 
sustentação, contudo existirá um ângulo tal que terá sustentação nula tal como mostrado na figura 
abaixo. 
 
 
 Figura 11.21 Curva de sustentação para aerofólios simétricos e assimétricos 
Mecânica dos Fluidos 
 
Forças Aerodinâmicas 11-18 
Um aerofólio é uma seção de asa que, para efeitos de análise de escoamento, considera-se como 
bidimensional. Trata-se portanto de uma asa de envergadura infinita. Quando se estudam perfis com 
envergadura finita devem ser considerados os efeitos tridimensionais provocados pelas pontas das 
asas, as quais reduzem a sustentação e aumentam o arrasto. Num aerofólio de envergadura finita 
são originados vórtices de fuga devido a que a pressão média na superfície inferior é maior que a 
pressão média na superfície superior. Esta diferença de pressão se manifesta perto das pontas na 
qual o fluido tende a escoar da parte superior para a parte inferior. Como a asa está em movimento 
para jusante do aerofólio formam-se estes vórtices de fuga tal como mostrados na figura abaixo. 
 
 
 
Figura 11.22 Circulação e feito de vórtices de fuga num perfil de envergadura finita 
 
Os efeitos de envergadura são correlacionados utilizando a definição da razão de aspecto 
 
pA
b
ojetadaÁrea
asadaocomprimentdoQuadrado
arAspectodeRazão
2
Pr
 )( == 
 
 
onde b é a envergadura e Ap a área projetada. Se o comprimento da corda é constante tal como numa 
asa retangular, esta relação fica simplificada como ar = b/c. As asas compridas são mais eficientes 
que as asas curtas devido às perdas das pontas são menos significativas. O efeitos de pontas também 
origina um arrasto induzido o qual deve ser determinado e adicionado ao arrasto por atrito e por 
pressão do aerofólio. 
 
 
Figura 11.23 Definição de envergadura e área planiforme de uma asa 
Capítulo 11: Escoamento Viscoso Externo - Forças Aerodinâmicas 
 
PUCRS - DEM - Prof. Alé 11-19 
A relação sustentação/arrasto (L/D) é um parâmetro importante que mede a qualidade aerodinâmica 
de um perfil. Quanto maior esta relação maior será a eficiência do perfil. Seções modernas de baixo 
arrasto atingem L/D em torno de 400. Um planador de alto desempenho com ar=40 pode ter um 
L/D=40. Um avião típico (ar≅12) pode ter L/D≅20. 
 
 
Figura 11.24 Definição do ângulo de ataque geométrico efetivo e induzido 
 
 
 
Figura 11.25 Efeito da envergadura finita na sustentação aerodinâmica 
 
 
Nos perfis com envergadura finita as velocidades dirigidas para baixo reduzem o ângulo de ataque 
efetivo em proporção ao coeficiente de sustentação. 
 
iefec ααα += 
 
onde αefec é o ângulo efetivo numa asa com envergadura finita, αi é o ângulo de ataque induzido 
por efeito da velocidade para baixo originada pelos vórtices de fuga. Isto origina uma redução da 
inclinação da curva da sustentação como observado na figura. Da teoria de fluido incompressível o 
ângulo induzido é determinado como: 
 
ar
CL
i
pi
α = 
Mecânica dos Fluidos 
 
Forças Aerodinâmicas 11-20 
A inclinação da curva de sustentação para um aerofólio com envergadura infinita é definida como 
coeficiente de inclinação: 
 
αd
dC
a Lo = 
 
Desta forma a sustentação pode ser avaliada para uma asa de envergadura infinita em função de ao 
curva utilizando a relação: 
 
eefctoL aC α= 
 
( )ioL aC αα −= 
 
 
 
Figura 11.26 Determinação da sustentação para aerofólios de envergadura finita 
 
 
11.7.1 Influência da Velocidade Induzida na Força de Arrasto 
 
Numa asa de envergadura finita os vórtices de fuga (Fig.11.22) originam velocidades para baixo 
que provocam um aumento do coeficiente de arrasto CD , o qual pode ser avaliado como: 
 
DiDD CCC += ∞ 
 
onde CD∞ é o coeficiente de arrasto da seção considerada um perfil de envergadura infinita e CDi é 
o arrasto induzido que pode ser avaliado pela expressão: 
 
ar
CCC LiLDi
pi
α
2
== 
 
 
 
 
Capítulo 11: Escoamento Viscoso Externo - Forças Aerodinâmicas 
 
PUCRS - DEM - Prof. Alé 11-21 
A Fig.11.27 mostra a as curvas típicas de sustentação e arrasto para um perfil aerodinâmico em 
função do ângulo de ataque. Observa-se na curva de sustentação o comportamento linear de CL até o 
alcançar ângulo de estol (α≅150). Após este ângulo o aerofólio entra em estol, observando-se um 
queda brusca de CL e um aumento acentuadado do coeficiente de arrasto. 
 
 
 
(a ) Sustentação (b) Arrastro 
Figura 11.27 Curvas típicas de sustentação e arrasto para um aerofólio 
 
 
Efeito da compressibilidade 
 
Para corpos perfilados para escoamentos com número de M<0,5 os efeitos de compressibilidade no 
coeficiente de arrasto não são significativos. Já para escoamentos com M alto o coeficiente de 
arrasto é fortemente dependente do número de Mach, como se observa no exemplo da figura. 
 
 
Figura 11.28 Efeito da compressibilidade no escoamento de aerofólios 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
Forças Aerodinâmicas 11-22 
11.7.2 Velocidade mínima de vôo 
 
Nas condições de estado de vôo constante (condições de cruzeiro) a sustentação (FL) deve ser igual 
ao peso da aeronave (W). 
 
AVLW 2
2
1
∞== ρ 
 
 
Figura 11.29 Equilíbrio do peso e da sustentação num avião em velocidade de cruzeiro 
 
A velocidade mínima (Vmin) de vôo é obtida quando CL=CLmax. 
 
AC
WV
L max
min
2
ρ
= 
 
Desta forma a velocidade mínima de aterrissagem pode ser reduzida pelo aumento de CLmax. ou 
pelo aumento da área daasa. Os flapes são partes móveis da borda de fuga de uma asa que podem 
ser prolongados num aterrissagem e decolagem com a finalidade de aumentar a área efetiva da asa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 11: Escoamento Viscoso Externo - Forças Aerodinâmicas 
 
PUCRS - DEM - Prof. Alé 11-23 
11.8 Exemplo - Arrasto em bolas de Golfe e de Tênis 
(Exercício resolvido de Munson et al.) 
• 1. Determinar a força de arrasto para uma bola de golfe (a) Bola Lisa (b) Bola Padrão 
• 2. Determinar a força de arrasto para a bola de tênis de mesa (Ping-Pong) 
• 3. Determinar a desaceleração de cada uma das bolas e comparar o resultado 
 
Fluido ar: (ρ=1,2kg/m3 e ν=1,51x10-5 m2/s) 
 
Uma bola de golfe bem tacada. Diâmetro Dg=43mm Peso W=0,44N Velocidade V=61,0 m/s 
 
Uma bola de tênis bem rebatida. Diâmetro Dg=38,1mm Peso W=2,45x10-2N Velocidade V=18,3m/s 
 
O coeficiente de arrasto total é assim definido: 
 
AU
FC DD
2
2
1
∞
=
ρ
 ou DD ACUF
2
2
1
∞= ρ 
 
Número de Reynolds 
Para Bola de Golfe 
ν
UL
L =Re Para bola de Tênis 
ν
UL
L =Re 
 
Área 
Bola de Golfe 0014522,0
4
2
==
DABg pi Bola de Tênis 
2
2
00114,0
4
m
DABt == pi 
 
Coeficiente de arrasto: Fig. 11.14 
Bola de Golfe Lisa CD=0,51 Bola de Golfe Padrão CD=0,25 Bola de Tênis CD=0,50 
 
Pressão Dinâmica: 
Para as duas Bolas de Golfe Para a Bola de Tênis 
PaxxUPv 6,2232612,15,02
1 22
=== ∞ρ ( ) PaxxUPv 2013,182,15,02
1 22
=== ∞ρ 
 
Golfe Lisa 
N
xxFD
65,1 
51,00014522,06,2223
=
=
 
Bola de Golfe Padrão 
N
xxFD
81,0 
25,00014522,06,2223
=
=
 
Bola de Tênis 
N
xxFD
115,0 
5,000114,0201
=
=
 
 
A desaceleração correspondente é dada por: 
W
F
çãoDesacelera D= (a menor desaceleração maior deslocamento da bola - maior trajetória) 
Bola de Golfe Lisa 
75,3
44,0
65,1
===
W
F
Desc D 
 
Bola de Golfe Padrão 
82,1
44,0
8,0
===
W
F
Desac D 
Bola de Tênis 
7,4
0245,0
115,0
===
W
F
Desac D 
 
 
• A bola de golfe padrão (com cavidades) alcança uma maior trajetória já que possui uma menor 
desaceleração.