Cinema^0^N769_tica Vetorial

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Cinemática Vetorial
Cinemática Vetorial - Conteúdo
• Vetor Posição
• Vetor Deslocamento
• Vetor Velocidade
• Vetor Velocidade Média e Velocidade Instantânea
• Vetor Aceleração Média e Instantânea
Cinemática Vetorial
Cinemática Vetorial - Introdução
No que será discutido aqui, os vetores serão representados, via de regra, 
na forma algébrica, com o uso de componentes e versores.
A abordagem tridimensional será adotada, embora para facilitar a
visualização poderá ser utilizada a bidimensional.
Como no exemplo:
Lembrando que o símbolo que
representa um vetor pode ser uma
letra em negrito ou uma letra com
uma seta em cima.
 
a = a
x
iˆ + a
y
jˆ + a
z
kˆ
Cinemática Vetorial
Vetor Posição
Um corpo movendo-se ao longo de uma trajetória tem a sua posição, em 
determinado instante de tempo, determinada pelo vetor posição: 
●
P
 
r = r
x
iˆ + r
y
jˆ + r
z
kˆ
Cinemática Vetorial
Vetor Deslocamento
O deslocamento do corpo da posição P1 para a posição P2 é dado pelo 
vetor deslocamento: 
P2
P1
Direção: da reta que une P1 e P2.
Sentido: de P1 para P2.
Algebricamente:
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Vetor Velocidade Média
Razão entre o deslocamento e o intervalo de tempo durante o qual ele 
ocorre.
Lembrando: 
Deslocamento ≠ espaço percorrido!
Direção e Sentido: os mesmos 
do vetor deslocamento
 
v
med
=
Dr
Dt
Cinemática Vetorial
(duas dimensões)
Vetor Velocidade Instantânea
Vetor Velocidade Média para deslocamentos cada vez menores, 
ou seja, calculado para intervalos de tempo cada vez menores.
 D r
 D r
 D r
 D r
 r2
●
 r1
●
 r2
●
 r2
●
 r2
●
x
y
0
Vetor Velocidade Média quando 
Δt se aproxima de Zero!
Vetor Velocidade: derivada do 
deslocamento em relação ao tempo
Direção: tangente a trajetória no ponto . 
Sentido: o mesmo do deslocamento.
 
v = lim
Dt®0
Dr
Dt
Cinemática Vetorial
Vetor Velocidade Instantânea
Vetor Velocidade: derivada do deslocamento em relação ao tempo
Em termos das componentes:
 
v =
dr
dt
 
v =
dr
dt
=
d
dt
xiˆ + y jˆ + zkˆéë ùû =
dx
dt
iˆ +
dy
dt
jˆ +
dz
dt
kˆ
 
v
x
=
dx
dt
; v
y
=
dy
dt
; v
z
=
dz
dt
Cinemática Vetorial
Vetor Aceleração Média
Variação da velocidade por unidade de tempo 
Direção: mesma do vetor velocidade.
Sentido: se Δv > 0 mesmo do vetor 
velocidade e se Δv < 0 oposto.
Variação da velocidade: diferença das velocidades instantâneas em dois 
momentos quaisquer.
 
a
med
=
Dv
Dt
Cinemática Vetorial
Vetor Aceleração Instantânea
Derivada do vetor velocidade em relação ao tempo
Em termos das componentes:
 
a =
dv
dt
 
a =
dv
dt
=
d
dt
v
x
iˆ + v
y
jˆ + v
z
kˆéë
ù
û
a =
dv
x
dt
iˆ +
dv
y
dt
jˆ +
dv
z
dt
kˆ
 
a = a
x
iˆ + a
y
jˆ + a
z
kˆ
 
a
x
=
dv
x
dt
; a
y
=
dv
y
dt
; a
z
=
dv
z
dt
Aceleração Constante: variações de 
velocidade iguais em intervalos iguais. 
 amédia = a
Cinemática Vetorial
Exercícios
1. Um móvel se desloca sobre a trajetória mostrada na figura. No
instante t1 = 5 s ela passa pelo ponto P1 e no instante t2 = 15 s por P2.
Determine o vetor deslocamento, a intensidade do vetor deslocamento,
o vetor velocidade, e a intensidade do vetor velocidade média.
 r2
●
 r1
●
x (m)
y (m)
0
 Dr
204
10
50
P1
P2
Cinemática Vetorial
Exercícios
2. Uma partícula se move sobre uma trajetória. Em dois instantes de 
tempo diferentes t1 e t2 (t1 < t2) sua posição é dada por:
respectivamente. 
Sabendo-se que t1 = 12 s e t2 = 32 s, obter :
a) o vetor deslocamento e a sua intensidade;
b) o vetor velocidade média e a sua intensidade.
 
r
1
= 3iˆ + 2 jˆ -5kˆ
r
2
= 6 iˆ - 4 jˆ +5 kˆ
Cinemática Vetorial
Exercícios
3. Dados os vetores abaixo, , determine:
a) as expressões analíticas (algébricas) dos vetores,
b) os módulos dos vetores,
c) a expressão analítica de um vetor com o mesmo módulo de , 
mesma direção porém sentido contrário.
 v1, v2 ev3,
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