Projeto de Estradas - Curvas Horizontais

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Francisco Piza - 2016PROJETO DE ESTRADAS
Curvas Horizontais
Prof. Francisco J. B. Toledo Piza 2016
Francisco Piza - 2016
O conforto e a segurança de uma rodovia está 
intimamente ligado à qualidade de suas curvas.
Curvas Horizontais
Assim, o cuidado com as curvas de uma rodovia é 
redobrado desde o planejamento, passando pelo 
projeto e finalmente na execução e sinalização.
Francisco Piza - 2016
As curvas horizontais podem ser divididas em 
duas grandes famílias:
Curvas Horizontais
Curvas Simples: É uma simples concordância 
entre as tangentes por meio de um arco de 
circunferência.
Curvas Compostas: A concordância entre as 
tangentes é feita por meio de curvas de vários 
raios ou espirais associadas com arcos.
Francisco Piza - 2016
Curvas Horizontais
Curvas Circulares Simples 
Tan
gen
te 1
Tangente 2
Curva Circular
Rai
oAc
Ac = Ângulo Central
Francisco Piza - 2016
Curvas Horizontais
Curvas Compostas 
Tan
gen
te 1 Tangente 2
Cc
Ra
io
Ac
Ac = Ângulo Central
Cc = Curva Circular
Ct = Curva de Transição
CtCt
A curva de transição pode ser uma curva circular de raio maior ou uma espiral.
Francisco Piza - 2016
Curvas Horizontais
Curvas Circulares Simples: Geometria 
Tan
gen
te 
1
Tangente 2
D
R
G
PC = Ponto de Curva
PI = Intersecção entre tangentes
PT = Ponto de tangente
Δ = ângulo de deflexão
D = Desenvolvimento da circular
E = Afastamento do PI
T = Tangente externa da curva
R = Raio da curva
O = Centro da curva
AC = Ângulo Central
AC = Δ
T
T
PC
PT
PI
Δ
E
O
G/2
AC
A
Bc
α
A = Início da corda
B = Fim da corda
c = Corda
α = deflexão da corda
G = ângulo central da corda
T = R * Tan(AC/2)
D = π*R*AC/180
AC = Δ
Estaca PC = PI-T
Estaca PT = PC+D
E = R*(Sec(AC/2)-1)
Francisco Piza - 2016
Curvas Horizontais
Curvas Circulares Simples: Exemplo 1 
Tan
gen
te 
1
Tangente 2
D
R
AC
PC = Ponto de Curva PI = Intersecção entre tangentes
PT = Ponto de tangente Δ = ângulo de deflexão
D = Desenvolvimento da circular E = Afastamento do PI
T = Tangente externa da curva R = Raio da curva
O = Centro da curva AC = Ângulo Central
T
T
PC
PT
PI
Δ
E
O
T = R * Tan(AC/2)
D = π*R*AC/180
AC = Δ
Estaca PC = PI-T
Estaca PT = PC+D
Calcule as estacas fundamentais 
da curva considerando
PI = E48+17,35m
AC = 85⁰ e R = 250,00m
PI = 977,35 m
T = 229,08 m
D = 370,88 m
PC = 748,27 m    
PC = E 37 + 8,27m
PT = 1119,1 m    
PT = E 55 + 19,15m
Francisco Piza - 2016
Curvas Horizontais
Curvas Circulares Simples: Exemplo 2 
Tan
gen
te 
1
Tangente 2
D
R
AC
PC = Ponto de Curva PI = Intersecção entre tangentes
PT = Ponto de tangente Δ = ângulo de deflexão
D = Desenvolvimento da circular E = Afastamento do PI
T = Tangente externa da curva R = Raio da curva
O = Centro da curva AC = Ângulo Central
T
T
PC
PT
PI
Δ
E
O
T = R * Tan(AC/2)
D = π*R*AC/180
AC = Δ
Estaca PC = PI-T
Estaca PT = PC+D
Calcule as estacas fundamentais da 
curva considerando PI = E105 + 1,25m e 
Δ = 92⁰ e R = 300,00m
PI = 2101,3 m
T = 310,66 m
D = 481,71 m
PC = 1790,6 m    
PC = E 89 + 10,59m
PT = 2272,3 m    
PT = E 113 + 12,30m
Francisco Piza - 2016Curvas Horizontais
Curvas Circulares Simples: Exemplo 3 
Tan
gen
te 
1
Tangente 2
D
R
AC
PC = Ponto de Curva PI = Intersecção entre tangentes
PT = Ponto de tangente Δ = ângulo de deflexão
D = Desenvolvimento da circular E = Afastamento do PI
T = Tangente externa da curva R = Raio da curva
O = Centro da curva AC = Ângulo Central
T
T
PC
PT
PI
Δ
E
O
T = R * Tan(AC/2)
D = π*R*AC/180
AC = Δ
Estaca PC = PI-T
Estaca PT = PC+D
Calcule as estacas fundamentais da 
curva considerando:
Início = E2040 + 8,25m
Tangente 1 = 5km
Δ = 96⁰ e R = 500,00m
Início
Fim
Início= 40808,25 m
T = 555,306 m
D = 837,758 m
Tang1 = 5000,00 m
PC = 45808,25 m    
PC = E 2290 + 8,25m
PT = 46646 m    
PT = E 2332 + 6,01m
Francisco Piza - 2016
Curvas Horizontais
Curvas Circulares Simples: Exemplo 4 
Tan
gen
te 
1
Tangente 2
D
R
AC
PC = Ponto de Curva PI = Intersecção entre tangentes
PT = Ponto de tangente Δ = ângulo de deflexão
D = Desenvolvimento da circular E = Afastamento do PI
T = Tangente externa da curva R = Raio da curva
O = Centro da curva AC = Ângulo Central
T
T
PC
PT
PI
Δ
E
O
T = R * Tan(AC/2)
D = π*R*AC/180
AC = Δ
Estaca PC = PI-T
Estaca PT = PC+D
Calcule as estacas fundamentais da 
curva e final do trecho considerando:
Início = E2841 + 18,24m
PI = E2982 + 16,25m
Δ = 98⁰ e R = 600,00m
Tangente 2 = 2km
Início
Fim
E = R*(Sec(AC/2)-1)
Início= 56838,2 m
PI = 59656,3 m
T = 690,221 m
D = 1026,25 m
Tang2 = 2000,00 m
PC = 58966,03 m
PC = E 2948 + 6,03m
PT = 59992,3 m    
PT = E 2999 + 12,28m
Fim = 61992,28 m    
Fim = E 3099 + 12,28m
Francisco Piza - 2016
início
Tan
gen
te 1
Tangente 2
fim
Tan
gen
te 3
Diretrizes
Exemplo 5: Observando as diretrizes abaixo, calcule as estacas 
fundamentais e os azimutes do trecho informando se é possível 
realizar uma ultrapassagem na tangente 2: (indicar no desenho)
Dados:
Início: E1100 Vp = 120km/h R1 = 350,00m
PI1: E1150 + 15,80m Δ1 = 52⁰ 30’ 00” R2= 250,00m
PI2: E1184 + 8,52m Δ2 = 48⁰ 15’ 00”
Fim:E1220 Az1 = 54⁰ 20’ 00”
Δ2
Δ1
PI1
PI2
Tabela para Cálculo de Du
Faixa Vel. 
(km/h) 50-65 66-80 81-95 96-110
d1 
a (m/s²) 0,244 0,247 0,256 0,261
t1 (s) 3,6 4,0 4,3 4,5
d2 t2 (s) 9,3 10 10,7 11,3
d3 (m) 30 55 75 90
d4 (m) 95 130 165 210
Francisco Piza - 2016
início
Tan
gen
te 1
Tangente 2
fim
Tan
gen
te 3
Diretrizes
Resolução do Exemplo 5: Observando as diretrizes abaixo,
calcule as estacas fundamentais e os azimutes do trecho informando se é possível 
realizar uma ultrapassagem na tangente 2: (indicar no desenho) Dados:
Início: E1100 Vp = 120km/h R1 = 350,00m
PI1: E1150 + 15,80m Δ1 = 52⁰ 30’ 00” R2= 250,00m
PI2: E1184 + 8,52m Δ2 = 48⁰ 15’ 00”
Fim: E1220 Az1 = 54⁰ 20’ 00”
Δ2
Δ1
PI1
PI2
Curva 1        
AC1 = 52 ⁰ 30 '  
R1 = 350,00 m    
PI1 = E 1150 + 15,80 m
AC1 = 52,50 ⁰
PI1 = 23015,8 m
T1 = 172,601 m
D1 = 320,704 m
PC1 = 22843,20 m    
PC1 = E 1142 + 3,20 m
PT1 = 23163,90 m    
PT1 = E 1158 + 3,90 m
AC2 = 48,25 ⁰
PI2 = 23688,52 m
T2 = 111,96 m
D2 = 210,53 m
Curva 2        
AC2 = 48 ⁰ 15 '  
R2 = 250,00 m    
PI2 = E 1184 + 8,52 m
Cálculo ultrapassagem
Vp = 120km/h dado
Vp = 33,33m/s calc.
V1 = 33,33m/s calc.
V2 = 104km/h calc.
V2 = 28,9m/s calc.
t1 = 4,5s tab.
t2= 11,3s tab.
a = 0,261m/s² tab.
d1 = 132,64m  
d2 = 376,67m  
d3 = 90,00m  
d4 = 251,11m  
Du = 850,42m   Não pode ultrapassar
Comprimento do trecho        
Início= E 1100 + 0,00 m = 22000 m
Fim= E 1220 + 0,00 m = 24400 m
Comprimento do trecho   = 2400 m
            = 2,4 km
Tabela para Cálculo de Du
Faixa Vel. (km/h) 50-65 66-80 81-95 96-110
d1 
a (m/s²) 0,244 0,247 0,256 0,261
t1 (s) 3,6 4,0 4,3 4,5
d2 t2 (s) 9,3 10 10,7 11,3
d3 (m) 30 55 75 90
Azimutes                    
Az1 = 54 ⁰ 20 ' =   54,33 ⁰      
Az2 = 106,83 ⁰   =   Az2 = 106 ° 50,0 '
Az3 = 58,58 ⁰   =   Az3 = 58 ° 35,0 '
PC2 PT2
PC1 PT1
Resultados em letras 
maiores no próximo slide
PC2 = 23552,06 m    
PC2 = E 1177 + 12,06 m
PT2 = 23762,59 m    
PT2 = E 1188 + 2,59 m
Comprimento final Tangente 2 = 388,16 m
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início
Tan
gen
te 1
Tangente 2
fim
Tan
gen
te 3
Diretrizes
Resolução do Exemplo 5:
Δ2
Δ1
PI1
PI2
Curva 1        
AC1 = 52 ⁰ 30 '  
R1 = 350,00 m    
PI1 = E 1150 + 15,80m
AC1 = 52,50 ⁰
PI1 = 23015,8 m
T1 = 172,601 mD1 = 320,704 mPC1 = 22843,20 m    
PC1 = E 1142 + 3,20m
PT1 = 23163,90 m    
PT1 = E 1158 + 3,90m
AC2 = 48,25 ⁰
PI2 = 23688,52 m
T2 = 111,96 m
D2 = 210,53 m
Curva 2        
AC2 = 48 ⁰ 15 '  
R2 = 250,00 m    
PI2 = E 1184 + 8,52m
Comprimento final Tangente 2 = 388,16m
PC2 PT2
PC1 PT1
PC2 = 23552,06 m    
PC2 = E 1177 + 12,06m
PT2 = 23762,59 m    
PT2 = E 1188 + 2,59m
Francisco Piza - 2016
início
Tan
gen
te 1
Tangente 2
fim
Tan
gen
te 3
Diretrizes
Resolução do Exemplo 5:
Δ2
Δ1
PI1
PI2
Cálculo ultrapassagem
Vp = 120km/h dado
Vp = 33,33m/s calc.
V1 = 33,33m/s calc.
V2 = 104km/h calc.
V2 = 28,9m/s calc.
t1 = 4,5s tab.
t2= 11,3s tab.
a = 0,261m/s² tab.
d1 = 132,64m  
d2 = 376,67m  
d3 = 90,00m  
d4 = 251,11m  
Du = 850,42m  
Não pode 
ultrapassar
Comprimento do trecho        
Início= E 1100 + 0,00m = 22000 m
Fim= E 1220 + 0,00m = 24400 m
Comprimento do trecho   = 2400 m
            = 2,4 km
Azimutes                    
Az1 = 54 ⁰ 20 ' =   54,33 ⁰      
Az2 = 106,83 ⁰   =   Az2 = 106° 50,0 '
Az3 = 58,58 ⁰   =   Az3 = 58° 35,0 '
PC2 PT2
PC1 PT1
Comprimento final Tangente 2 = 388,16m
Francisco Piza - 2016
início
Tang
ente 
1 Tangente 2
fim
Ta
ng
en
te 
3
Diretrizes
Exemplo 6: Observando as diretrizes abaixo, calcule as estacas 
fundamentais e os azimutes do trecho informando se é possível 
realizar uma ultrapassagem na tangente 2 e o comprimento total 
do trecho: (indicar no desenho)
Dados:
Início: E1500 Vp = 120km/h R1 = 400,00m
PI1: E1750 + 14,20m Δ1 = 45⁰ 30’ 00” R2 = 400,00m
PI2: E1820 + 12,50m Δ2 = 85⁰ 15’ 00”
Fim:E2000 Az1 = 60⁰ 20’ 00”
Δ2
Δ1
PI1
PI2
Tabela para Cálculo de Du
Faixa Vel. (km/h) 50-65 66-80 81-95 96-110
d1 
a (m/s²) 0,244 0,247 0,256 0,261
t1 (s) 3,6 4,0 4,3 4,5
d2 t2 (s) 9,3 10 10,7 11,3
d3 (m) 30 55 75 90
d4 (m) 95 130 165 210
Francisco Piza - 2016
início
Tang
ente
 1 Tangente 2
fim
Ta
ng
en
te 
3
Diretrizes
Resolução do Exemplo 6: Observando as diretrizes abaixo, calcule as estacas fundamentais e os 
azimutes do trecho informando se é possível realizar uma ultrapassagem na tangente 2 e o 
comprimento total do trecho: (indicar no desenho) Dados:
Início: E1500 Vp = 120km/h R1 = 400,00m
PI1: E1750 + 14,20m Δ1 = 45⁰ 30’ 00” R2 = 400,00m
PI2: E1820 + 12,50m Δ2 = 85⁰ 15’ 00”
Fim: E2000 Az1 = 60⁰ 20’ 00”
Δ2
Δ1
PI1
PI2
Tabela para Cálculo de Du
Faixa Vel. (km/h) 50-65 66-80 81-95 96-110
d1 
a (m/s²) 0,244 0,247 0,256 0,261
t1 (s) 3,6 4,0 4,3 4,5
d2 t2 (s) 9,3 10 10,7 11,3
d3 (m) 30 55 75 90
Curva 1        
AC1 = 45 ⁰ 30 '  
R1 = 400,00 m    
PI1 = E 1750 + 14,20 m
AC1 = 45,50 ⁰    
PI1 = 35014,2 m    
T1 = 167,734 m    
D1 = 317,65 m    
PC1 = 34846,47 m    
PC1 = E 1742 + 6,47 m
PT1 = 35164,12 m    
PT1 = E 1758 + 4,12 m
Cálculo ultrapassagem
Vp = 120km/h dado
Vp = 33,33m/s calc.
V1 = 33,33m/s calc.
V2 = 104km/h calc.
V2 = 28,9m/s calc.
t1 = 4,5s tab.
t2= 11,3s tab.
a = 0,261m/s² tab.
d1 = 132,64m  
d2 = 376,67m  
d3 = 90,00m  
d4 = 251,11m  
Du = 850,42m  
Azimutes                  
Az1 = 60 ⁰ 20 ' = 60,33 ⁰      
Az2 = 105,83 ⁰   = Az2 = 105 ° 50,0 '
Az3 = 20,58 ⁰   = Az3 = 20 ° 35,0 '
Comprimento do trecho          
Início= E 1500 + 0,00 m = 30000 m
Fim= E 2000 + 0,00 m = 40000 m
Comprimento do trecho   = 10000 m
            = 10,00 km
PC2
PT2
PC1 PT1
Curva 2          
AC2 = 85 ⁰ 15 '  
R2 = 400,00 m    
PI2 = E 1820 + 12,50 m
AC2 = 85,25 ⁰    
PI2 = 36412,5 m    
T2 = 368,14 m    
D2 = 595,16 m    
PC2 = 36026,54 m    
PC2 = E 1801 + 6,54 m
PT2 = 36621,70 m    
PT2 = E 1831 + 1,70 m
Comprimento final Tangente 2 = 862,42 m Pode ultrapassar
Tang final 2
Francisco Piza - 2016
início
Tang
ente 
1 Tangente 2
fim
Ta
ng
en
te 
3
Diretrizes
Exemplo 7: Observando as diretrizes abaixo, calcule as estacas 
fundamentais do trecho informando se é possível realizar uma 
ultrapassagem na tangente 2 e o comprimento final da tangente 
3 e do trecho total: (indicar no desenho)
Dados: Faixa de domínio: 50m Faixa ñ edificante 15m Vp = 120km/h
Tang1: 1012,20m Az1 = 58⁰ 15’ 00” R1 ≥ 400,00m
Tang2: 1410,50m Az2 =120⁰ 30’ 00” R2 ≥ 400,00m
Início: E1680 Az3 = 32⁰ 15’ 00” Fim: E2000 
Δ2
Δ1
PI1
PI2
construção
80m
60m
E = R*(Sec(AC/2)-1)
sec x = 1/cosx
Francisco Piza - 2016
iníci
o
Tang
ente
 1 Tangente 2
fim
Ta
ng
en
te 
3
Diretrizes
Exemplo 7: Solução
Dados: Faixa de domínio: 50m Faixa ñ edificante 15m Vp = 120km/h
Tang1: 1012,20m Az1 = 58⁰ 15’ 00” R1 ≥ 400,00m
Tang 2: 1410,50m Az2 =120⁰ 30’ 00” R2 ≥ 400,00m
Início: E1680 Az3 = 32⁰ 15’ 00” Fim: E2000 
Δ2
Δ1
PI1
PI2
80m
60m
R = E/(1/cos((AC/2))-1)
Faix
a ñ e
dific
.
Faixa de dom.
T1
Curva 1
AC1 = 62,25 ⁰
E = 120,00 m
R1calc. 713,57  
R1 = 720,00 m
T1 = 434,76 m
D1 = 782,257 mPC1 = 34177,44 m    
PC1 = E 1708 + 17,44m
PT1 = 34959,70 m    
PT1 = E 1747 + 19,70m
Du = 850,42m Ñ pode ultrapassar
N
Az2 120⁰ 30’
N
Az1 58⁰ 15’ N
Az3 32⁰ 15’
Curva 2
PI2 = 35935,44 m
AC2 = 88,25 ⁰
E = 85,00 m
R2calc. 216,23 m
R2 = 400,00 m
T2 = 387,97 m
D2 = 616,10 m
PC2 = 35547,47 m    
PC2 = E 1777 + 7,47m
PT2 = 36163,57 m    
PT2 = E 1808 + 3,57m
 final Tangente 2 = 587,77m
Tang 3 final = 3836,43 m  
Francisco Piza - 2016
início
Tang
ente 
1 Tangente 2
fim
Ta
ng
en
te 
3
Diretrizes
Exemplo 8: Observando as diretrizes abaixo, calcule as estacas 
fundamentais do trecho informando se é possível realizar uma 
ultrapassagem na tangente 2 e o comprimento final da tangente 
3 e do trecho total: (indicar no desenho)
Dados: Faixa de domínio: 80m Faixa ñ edificante 15m Vp = 110km/h
Tang1: 1812,20m Az1 = 60⁰ 45’ 00” R ≥ 600,00m
Tang2: 2810,50m Az2 =118⁰ 15’ 00” Início: E1508 
Fim:E2080 Az3 = 28⁰ 12’ 00”
Δ2
Δ1
PI1
PI2
construção
45m
120m
Francisco Piza - 2016
iníci
o
Tang
ente
 1 Tangente 2
fim
Ta
ng
en
te 
3
Diretrizes
Δ2
Δ1
PI1
PI2
45m
120m
Faixa
 ñ ed
ific.
Faixa de dom.
T1
Exemplo 8: Solução
Dados: Faixa de domínio: 80m Faixa ñ edificante 15m Vp = 110km/h
Tang1: 1812,20m Az1 = 60⁰ 45’ 00” R ≥ 600,00m
Tang2: 2810,50m Az2 =118⁰ 15’ 00” Início: E1508 
Fim:E2080 Az3 = 28⁰ 12’ 00”
Est inic = E 30160,00 m
PI1 = 31972,20 m   
AC1 = 57,50 ⁰  
E = 100,00 m  
R1calc. 711,21 m   
R1 = 720,00 m  
T1 = 395,006 m  
D1 = 722,566 m  PC1 = 31577,19 m    
PC1 = E 1578 + 17,19m
PT1 = 32299,76 m    
PT1 = E 1614 + 19,76m
PI2 = 34715,26 m
AC2 = 90,05 ⁰
E = 160,00 m
R2calc. 385,70  m
R2 = 600,00 m
T2 = 600,52 m
D2 = 943,00 m
PC2 = 34114,73 m    
PC2 = E 1705 + 14,73m
PT2 = 35057,73 m    
PT2 = E 1752 + 17,73m
Tg2 final = 1814,97m
Du = 785,61m
Pode ultrapassar
N
Az2 118⁰ 15’
N
Az1 60⁰ 45’ N
Az3 28⁰ 12’
PT1
PC1
PT2
PC2
Francisco Piza - 2016
Exemplo 9: Observando as informações abaixo, trace as 
diretrizes, calcule as estacas fundamentais do trecho, o 
comprimento do trecho total e estaca final: (indicar no desenho)
Dados:
Tang1: 1812,20m Az1 = 130⁰ 45’ 00” R ≥ 800,00m
Tang2: 2810,50m Az2 = 45⁰ 15’ 00” Início: E1508 
Tang3: 1680,50m Az3 = 90⁰ 00’ 00” Sentido: O->L
N
Az1 130⁰ 45’ N
Az1 90⁰ 00’
N
Az1 45⁰ 15’início
fim
Francisco Piza - 2016
Exemplo 9: Observando as informações abaixo, trace as 
diretrizes, calcule as estacas fundamentais do trecho, o 
comprimento do trecho total e estaca final: (indicar no desenho)
Dados:
Tang1: 1812,20m Az1 = 130⁰ 45’ 00” R ≥ 800,00m
Tang2: 2810,50m Az2 = 45⁰ 15’ 00” Início: E1508 
Tang3: 1680,50m Az3 = 90⁰ 00’ 00” Sentido: O->L
N
Az1 130⁰ 45’
N
Az145⁰ 15’
N
Az1 90⁰ 00’
início
fim
Francisco Piza - 2016
Exemplo 9: Solução Dados:
Tang1: 1812,20m Az1 = 130⁰ 45’ 00” R ≥ 800,00m
Tang2: 2810,50m Az2 = 45⁰ 15’ 00” Início: E1508 
Tang3: 1680,50m Az3 = 90⁰ 00’ 00” Sentido: O->L
N Az1 130⁰ 45’
N
Az1 45⁰ 15’
N Az1 90⁰ 00’
início
fim
Curva 1        
Raio mín 800,00 m  
Tang1 = 1812,20 m    
Est inic = E 1508 + 0,00m
Est inic = 30160,00 m
   
AC1 = 85,50 ⁰    
R1 = 800,00 m    
T1 = 739,512 m    
D1 = 1193,81 m    
PC1 = 31232,69 m    
PC1 = E 1561 + 12,69m
PT1 = 32426,49 m    
PT1 = E 1621 + 6,49m
Curva 2     
Raio mín. 800,00 m
Tang 2 = 2810,50 m
AC2 = 44,75 ⁰
R2 = 800,00 m
T2 = 329,33 m
D2 = 624,83 mPC2 = 34168,15 m  
PC2 = E 1708 + 8,15 m
PT2 = 34792,98 m    
PT2 = E 1739 + 12,98 m
Tang 3 final = 1351,17 m  
E final = 36144,15 m    
E final = E 1807 + 4,15m
Tang 1 final = 1072,69 m
Tang 2 final = 1741,66m
Comprimento 
do trecho
5984,15 m
5,984 km
Tg
1 1072,69m
Tg 2 
 17
41
,66
m
Tg3 1351,17m
D1 1193,81m
D1 62
4,83mPC2
PT2
PC1 PT1
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