Simulado de Cálculo Numérico

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Ca´lculo Nume´rico - Simulado
Prof. Anderson Tres
Data: / / .
Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q 5 Q 6 Total
Nome:
Questa˜o 1 (1,2 pontos).
Durante as erupc¸o˜es vulcaˆnicas, grandes pedac¸os de pedra podem ser lanc¸ados para fora do vulca˜o;
esses proje´teis sa˜o conhecidos como bombas vulcaˆnicas. A figura mostra uma sec¸a˜o transversal de
um hipote´tico vulca˜o.
A trajeto´ria da bomba vulcaˆnica e´ dada por
y = h+ tan(θ0)d− gd
2
2(v0 cos(θ0))2
Considere h = 3300 m, g = 9.81 m/s2 e θ0 =
pi
4
a) Use o me´todo gra´fico para estimar a velocidade v0 necessa´ria para a bomba vulcaˆnica tocar
o solo (y = 0) a uma distaˆncia horizontal d = 9400 m.
b) Use o me´todo da bissec¸a˜o (ε = 10−4) para determinar a velocidade v0 necessa´ria para a
bomba vulcaˆnica tocar o solo (y = 0) a uma distaˆncia horizontal d = 9400 m.
Questa˜o 2 (1,0 pontos).
Uma viga de alumı´nio com comprimento L = 3 m e´ presa em uma extremidade e carregada em
outra extremidade por uma forc¸a axial P = 20 × 103 N . A a´rea da sec¸a˜o reta da viga com seu
comprimento e´ dada em func¸a˜o de x como
A(x) =
WH
4
(
2− x
L
)2
onde W = 80× 10−3 m e H = 30× 10−3 m. O deslo-
camento δ no ponto final da viga e´ dado, aproximada-
mente, por
δ ≈ P
E
L
∆x∑
k=0
∆x
A(k∆x)
em que E = 60× 109 Pa e´ o mo´dulo ela´stico da viga e
∆x = 10−3 m refere-se ao passo de integrac¸a˜o.
(a) Escreva um programa na notac¸a˜o do MatLab para determinar δ.
(b) Use o programa do item anterior para estimar o deslocamento no ponto final da viga, para
tanto, opere no formato long.
Questa˜o 3 (1,2 pontos).
Um modelo simplificado para a suspensa˜o de um automo´vel
consiste em uma massa m, uma mola com constante ela´stica
k e um amortecedor com constante de amortecimento c, con-
forme mostrado na figura. Uma estrada esburacada pode ser
modelada assumindo-se que a roda se mova para cima e para
baixo de acordo com a equac¸a˜o y = Y sen(ωt). A partir da
soluc¸a˜o dessa equac¸a˜o, o movimento do carro (massa) para
cima e para baixo e´ dado por x = X sen(ωt − φ). A raza˜o
entre a amplitude X e a amplitude Y e´ dada por:
X
Y
=
√
mcω3
k(k −mω2) + (ωc)2
Assumindo m = 2000 kg, k = 500 kN/m e c = 38× 103 N − s/m e ω = 0.3 s−1
(a) Use o MatLab para determinar a raza˜o
X
Y
. Para tanto, opere no formato nume´rico long.
(b) Determine a raza˜o
X
Y
respeitando as ordens das operac¸o˜es indicadas considerando um sistema
F (10, 3, 11, 11) com arredondamento.
(c) Calcule o erro relativo da aproximac¸a˜o realizada no item (b) em relac¸a˜o ao item (a).
Questa˜o 4 (1,2 pontos).
Uma placa retangular com as treˆs arestas apoiadas esta´ sujeita a uma carga na aresta que na˜o
possui apoio, conforme figura A. Com o passar do tempo, a deformac¸a˜o devido a carga em cada
ponto do interior da placa atingira´ o equil´ıbrio.
A deformac¸a˜o para um ponto interno da malha Di e´ dado como a me´dia aritme´tica da de-
formac¸a˜o nos pontos adjacentes. Em particular, supomos que a placa possui a configurac¸a˜o inicial
indicada na figura B. Pelo princ´ıpio exposto anteriormente, temos que
D1 =
D2 +D3
4
D2 =
D1 +D4 + 10
4
D3 =
D1 +D4
4
D4 =
D2 +D3 + 10
4
(a) Escreva o problema como um sistema linear na forma matricial.
(b) Com base no Me´todo de Gauss escreva a matriz ampliada equivalente.
(c) Determine se poss´ıvel a soluc¸a˜o.
Questa˜o 5 (1,2 pontos).
O fator concentrac¸a˜o de tensa˜o k e´ dado pela raza˜o entre a tensa˜o ma´xima e a tensa˜o me´dia. Para
uma placa com espessura D possuindo um furo central de diaˆmetro d carregada com uma forc¸a
axial F , o fator concentrac¸a˜o de tensa˜o medido em cinco testes com placas possuindo diferentes
relac¸o˜es d/D e´ mostrado na tabela.
d/D 0.05 0.25 0.45 0.65 0.85
k 2.91 2.40 2.17 2.11 2.03
a) Use uma func¸a˜o exponencial k = bem(d/D) para modelar
a relac¸a˜o entre k e d/D, e em seguida apresente a equac¸a˜o
na forma linearizada.
b) Use o me´todo dos mı´nimos quadrados para determinar os valores de b e m que fazem o melhor
ajuste dos dados. (Apresente as entradas do programa)
c) Use o modelo para predizer o fator de concentrac¸a˜o de tensa˜o para d/D = 0, 15.
Questa˜o 6 (1,2 pontos).
No processo de fabricac¸a˜o de fibras eletrofore´ticas, o diaˆmetro da fibra d esta´ relacionado a` corrente
I. Os seguintes dados sa˜o medidos durante a produc¸a˜o:
I(nA) 300 320 350 400 440 455 470 650 680
d(µm) 22 26 27 30 33 33.5 34 37 42
a) Escreva um polinoˆmio interpolador de Lagrange de ordem 2 e enta˜o o use para estimar a corrente
I para uma fibra de diaˆmetro d = 31.2 µm.
b) Estime a corrente I para uma fibra de diaˆmetro d = 29.1 µm usando um polinoˆmio interpolador
de Lagrange de ordem n− 1 (na˜o ha´ necessidade de escrever o polinoˆmio).
“O ce´u deve ser necessariamente esfe´rico, pois a esfera, sendo gerada pela rotac¸a˜o do c´ırculo, e´, de
todos os corpos, o mais perfeito.” (Aristo´teles)