Lista3 DerivadasGradienteDerivadaDirecional

Prévia do material em texto

Pr1 - Dadas as funções determine a declividade da reta tangente no ponto 𝑃 nas direções 𝑥 e 𝑦. 
a) b) c) 
 
 
Pr2 – Determine as derivadas parciais 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
, 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
, 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
, 
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
 e 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
 das seguintes funções: 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 − 2𝑥𝑦2 + 𝑦3𝑥2 −
𝑦
3
+ 2 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = log(𝑥𝑦) 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √25 − 𝑥2 − 𝑦2 
d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 2𝑦)/(1 − 𝑦3) 
e) 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥2 + 𝑥)2𝑥−3𝑦 
 
Pr3 – Dado 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), 𝑥 = 𝑥(𝑡) e 𝑦 = 𝑦(𝑡), determine 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
. 
a) 𝑧 = 𝑥2 + 3𝑦2, 𝑥 = 𝑡3 𝑒 𝑦 = 1/𝑡 . 
b) 𝑧 = 𝑥2𝑦 − 𝑥𝑦2, 𝑥 = √𝑡 𝑒 𝑦 = 2𝑡 . 
c) 𝑧 = ln (
𝑥𝑦
4
) , 𝑥 = 𝑡2 + 𝑡 + 1 𝑒 𝑦 = 𝑒𝑡
2
 . 
d) 𝑧 = 32𝑥+3𝑦−5, 𝑥 = 𝑡2 − 1 𝑒 𝑦 = 2 . 
 
Pr4 – Determine 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 para as funções implícitas abaixo: 
a) 𝑦 + 𝑒𝑦 = 𝑥 
b) 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑦6 = 𝑥 − 5 
c) log( 𝑥𝑦) − 𝑒𝑦 + 𝑥 = 2 
d) 
2
𝑥−𝑦
+ (𝑥 + 𝑦)5𝑥
3
− ln 𝑦 =
𝑥3
3
 
 
Cálculo de Várias Variáveis 
Lista de Exercícios: Derivada Parcial, Gradiente e Derivada Direcional 
Prof. Alexsandro M. Carvalho 
Prof. Vilarbo da Silva 
Prof. Anderson Tres 
 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 5 − 𝑥2 − 𝑦 
𝑥 𝑦 
𝑧 
𝑃 
𝑃 
𝑓(𝑥, 𝑦) = −2𝑥3 + 𝑦2 
𝑥 
𝑦 
𝑧 
𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑦 + 𝑥2𝑒𝑦 
𝑃 
𝑥 
𝑦 
𝑧 
Pr5 – Verifique se a função satisfaz a equação diferencial parcial (EDP) 
 
a) 𝑧 = 𝑥2 − 𝑦2 + 2𝑥𝑦 
𝜕2𝑧
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑧
𝜕𝑦2
= 0 (Equação de Laplace) 
b) 𝑧 = 𝑒−𝑐𝑡 sin(𝑥) 
𝜕𝑧
𝜕𝑡
= 𝑐2
𝜕2𝑧
𝜕𝑥2
 (Equação do Calor) 
c) 𝑢 = sin(𝑐𝜔𝑡) sin( 𝑥) 
𝜕2𝑢
𝜕𝑡2
= 𝑐2
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
 (Equação da Onda) 
d) 𝑢 = ln(𝑥2 + 𝑦2), 𝑣 = 2 𝑎𝑟𝑐 tan (
𝑦
𝑥
) 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑦
 𝑒 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −
𝜕𝑣
𝜕𝑥
 (Equações de Cauchy-Riemann) 
 
Pr6 – Determine o gradiente das funções 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 − 𝑥 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √2𝑥 + 3𝑦 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)−
1
2 + ln(𝑥𝑦𝑧) 
d) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑒𝑦 + 𝑧2 
 
Pr7 – Encontre as direções nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente em 𝑃0. Em seguida, encontre 
a taxa de variação das funções nestas direções. A figura em destaque representa a curva/superfície de nível que passa 
por 𝑃0. Posteriormente, represente na figura a direção em que função aumenta mais rapidamente em 𝑃0. 
 
 
 
 
 
 
Pr8 – Encontre as derivadas da função em 𝑃 na direção de �⃗� . 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥−𝑦
𝑥𝑦+2
, 𝑃(1, −1), �⃗� = 12𝑖 + 5𝑗 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑦/𝑥 + √3 𝑎𝑟𝑐 sin (
𝑥𝑦
2
) , 𝑃(1,1), �⃗� = 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐵(2,5) 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 2𝑦2 − 3𝑧2, 𝑃(0, −2,4), �⃗� = 3𝑖 − 2𝑗 − �⃗� 
d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = cos(𝑥𝑦) + 𝑒𝑦𝑧 + ln(𝑧𝑥), 𝑃(1,0,1/2), �⃗� = 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐵(−1,0,0) 
 
𝑃0(1,−1) 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 
𝑃0(1,0) 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝑥2 + 𝑒𝑥 
𝑃0(1,1,1) 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 2𝑦2 − 3𝑧2 
𝑃0(2,0,−5) 
d) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 𝑥𝑦2 + 𝑦𝑧 
 
Respostas 
 
Pr1 
a) 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
|
(0,5)
= 0 e 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
|
(0,5)
= −1 b) 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
|
(1,1)
= −6 e 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
|
(1,1)
= 2 c) 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
|
(−1,1/2)
= −3.29 e 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
|
(−1,1/2)
= 0.64 
 
Pr2 
 
a) 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 4𝑥3 − 2𝑦2 + 2𝑥𝑦3, 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= −
1
3
− 4𝑥𝑦 + 3𝑥2𝑦2, 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
= 12𝑥2 + 2𝑦3, 
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
= −4𝑥 + 6𝑥2𝑦 e 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
= −4𝑦 + 6𝑥𝑦2 
 
b) 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
1
𝑥Ln[10]
,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=
1
𝑦Ln[10]
, 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
= −
1
𝑥2Ln[10]
, 
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
= −
1
𝑦2Ln[10]
 e 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
= 0 
 
 
c) 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= −
𝑥
√25−𝑥2−𝑦2
, 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= −
𝑦
√25−𝑥2−𝑦2
,
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
= −
𝑥2
(25−𝑥2−𝑦2)3 2⁄
−
1
√25−𝑥2−𝑦2
, 
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
= −
𝑦2
(25−𝑥2−𝑦2)3 2⁄
−
1
√25−𝑥2−𝑦2
 e 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
= −
𝑥𝑦
(25−𝑥2−𝑦2)3 2⁄
 
 
d) 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
1
1−𝑦3
, 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=
3𝑦2(𝑥+2𝑦)
(1−𝑦3)2
+
2
1−𝑦3
, 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
= 0, 
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
=
12𝑦2
(1−𝑦3)2
+ (𝑥 + 2𝑦)(
18𝑦4
(1−𝑦3)3
+
6𝑦
(1−𝑦3)2
) e 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
=
3𝑦2
(1−𝑦3)2
 
 
 
e) 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 2𝑥−3𝑦(1 + 2𝑥) + 2𝑥−3𝑦(𝑥 + 𝑥2)Ln[2],
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= −3 × 2𝑥−3𝑦(𝑥 + 𝑥2)Ln[2], 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
= 21+𝑥−3𝑦 + 21+𝑥−3𝑦(1 + 2𝑥)Ln[2] + 2𝑥−3𝑦(𝑥 + 𝑥2)Ln[2]2 
 
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
= 9 × 2𝑥−3𝑦(𝑥 + 𝑥2)Ln[2]2 e 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
= −3 × 2𝑥−3𝑦(1 + 2𝑥)Ln[2] − 3 × 2𝑥−3𝑦(𝑥 + 𝑥2)Ln[2]2 
 
 
Pr3 
a) 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= −
6
𝑡3
+ 6𝑡5 b) 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 4𝑡 − 10𝑡3 2⁄ c) 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 2𝑡 +
1+2𝑡
1+𝑡+𝑡2
 d) 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 3−1+2𝑡
2
𝑡Ln[81] 
 
Pr4 
a) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
1+ⅇ𝑦
 b) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1−2𝑥
2𝑦+6𝑦5
 c) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑦+𝑥𝑦Ln[10]
𝑥−ⅇ𝑦𝑥𝑦Ln[10]
 d) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−5𝑥
3
+𝑥2+
2
(𝑥−𝑦)2
−35𝑥
3
𝑥2(𝑥+𝑦)Ln[5]
5𝑥
3
+
2
(𝑥−𝑦)2
−
1
𝑦
 
 
Pr5 
a) Satisfaz b) Não satisfaz c) Não satisfaz d) Satisfaz 
 
Pr6 
 
a) ∇⃗⃗ 𝑓 = −𝑖 + 𝑗 
b) ∇⃗⃗ 𝑓 =
𝑖 
√2𝑥+3𝑦
+
3𝑗 
2√2𝑥+3𝑦
 
c) ∇⃗⃗ 𝑓 = (
1
𝑥
−
𝑥
(𝑥2+𝑦2+𝑧2)3 2⁄
) 𝑖 + (
1
𝑦
−
𝑦
(𝑥2+𝑦2+𝑧2)3 2⁄
) 𝑗 + (
1
𝑧
−
𝑧
(𝑥2+𝑦2+𝑧2)3 2⁄
) �⃗� 
d) ∇⃗⃗ 𝑓 = 𝑒𝑦𝑖 + 𝑒𝑦𝑥𝑗 + 2𝑧�⃗� 
 
Pr7 
a) {
𝐴𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎 ∇⃗⃗ 𝑓|
(1,−1)
= 𝑖 − 𝑗 (𝑜𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑎çã𝑜) , ‖∇⃗⃗ 𝑓|
(1,−1)
‖ = √2 (𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜)
𝐷𝑖𝑚𝑢𝑛𝑖𝑢 −∇⃗⃗ 𝑓|
(1,−1)
= −𝑖 + 𝑗 (𝑜𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑎çã𝑜), −‖∇⃗⃗ 𝑓|
(1,−1)
‖ = −√2 (𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜)
 
 
b) {
𝐴𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎 ∇⃗⃗ 𝑓|
(1,0)
= 𝑒𝑖 + 𝑗 (𝑜𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑎çã𝑜), ‖∇⃗⃗ 𝑓|
(1,0)
‖ = √𝑒2 + 1 (𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜)
𝐷𝑖𝑚𝑢𝑛𝑖𝑢 −∇⃗⃗ 𝑓|
(1,0)
= −𝑒𝑖 − 𝑗 (𝑜𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑎çã𝑜), −‖∇⃗⃗ 𝑓|
(1,0)
‖ = −√𝑒2 + 1 (𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜)
 
 
c) {
𝐴𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎 ∇⃗⃗ 𝑓|
(1,1,1)
= 2𝑖 + 4𝑗 − 6�⃗� (𝑜𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑎çã𝑜), ‖∇⃗⃗ 𝑓|
(1,1,1)
‖ = 2√14 (𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜)
𝐷𝑖𝑚𝑢𝑛𝑖𝑢 −∇⃗⃗ 𝑓|
(1,1,1)
= −2𝑖 − 4𝑗 + 6�⃗� (𝑜𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑎çã𝑜), −‖∇⃗⃗ 𝑓|
(1,1,1)
‖ = −2√14 (𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜)
 
 
d) {
𝐴𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎 ∇⃗⃗ 𝑓|
(2,0,−5)
= 𝑖 − 5𝑗 + 0�⃗� (𝑜𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑎çã𝑜), ‖∇⃗⃗ 𝑓|
(2,0,−5)
‖ = √26 (𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜)
𝐷𝑖𝑚𝑢𝑛𝑖𝑢 −∇⃗⃗ 𝑓|
(2,0,−5)
= −𝑖 + 5𝑗 + 0�⃗� (𝑜𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑎çã𝑜), −‖∇⃗⃗ 𝑓|
(2,0,−5)
‖ = −√26 (𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜)
 
 
 
 
 
Pr8 
 
a) 𝐷�⃗⃗� 𝑓|(1,−1) =
21
13
 
b) 𝐷�⃗⃗� 𝑓|(1,1) =
13√17
34
 
c) 𝐷�⃗⃗� 𝑓|(0,−2,4) = 20√
2
7
 
d) 𝐷�⃗⃗� 𝑓|(1,0,1/2) = −
6√17
17