Aula 3 - Introdução ao conceito de derivada

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CÁLCULO 
APLICADO 
À SAÚDE
Claudia Abreu Paes
Introdução ao conceito 
de derivada
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir derivadas a partir do conceito de limites.
 � Reconhecer a derivada como taxa de variação de uma grandeza.
 � Utilizar a derivada em problemas aplicados.
Introdução
O estudo da derivada envolve muitas áreas do conhecimento. Compreen-
dendo o conceito de funções e, consequentemente, a importância de 
se estudar a relação entre duas ou mais grandezas, a derivada auxilia o 
entendimento do comportamento das funções.
A derivada é uma propriedade local de uma função, em que se estuda 
o comportamento de uma função em determinado ponto. A derivada 
pode ser aplicada para o estudo da variação do comportamento de uma 
função em determinado local.
Neste capítulo, você verá o conceito de derivada e sua definição a 
partir do conceito de limite, além de aprender de que maneira podemos 
interpretar a derivada como a taxa de variação entre duas grandezas.
Derivadas a partir do conceito de limites
Uma função é a relação de dependência entre duas grandezas, x e y, onde y 
depende do valor de x, e x é uma variável independente. Pode-se dizer que 
a derivada é uma avaliação dessa relação de dependência, em que avalia a 
variação de y, quando x estiver variando o seu valor.
Ao aplicar o conceito de derivação, podemos avaliar se uma função cresce, 
além de determinar sua taxa de crescimento, por exemplo. Também podemos 
utilizar a derivada para determinar pontos máximos e mínimos de uma função.
Dada uma função y = f(x), onde a grandeza y depende do valor de x, a taxa 
de variação é determinada quando verificamos o quanto y varia à medida 
que x varia. Analise que, se x variar de x1 para x2, y também irá variar de um 
valor y1 para um valor y2. 
Definição formal da derivada 
Uma função y = f(x), definida em um intervalo aberto (a,b), é derivável no 
ponto c, pertencente ao intervalo (a,b), se existir o seguinte limite:
Observação: f’(c) — lê-se f linha de c — representa a derivada da função 
no ponto c. Para representar a derivada y = f(x), são utilizadas, comumente, 
as seguintes notações:
De forma análoga, se adotarmos c = x + h, e substituirmos na função 
limite, temos:
No lugar de h, pode ser utilizado, ainda, ∆x, como representado a seguir.
Definição derivada: a derivada de uma função y = f(x), em um ponto x0, pode 
ser definida, se o limite existir, como:
Se o limite não existir, a função não tem derivada naquele ponto.
Introdução ao conceito de derivada2
Vamos calcular a derivada de uma função f(x) = 3x – 2.
Aplicando a fórmula da definição da derivada, temos:
Substituindo na equação, temos:
Derivada como taxa de variação 
de uma grandeza
Dada uma função y = f(x), onde a grandeza y depende do valor de x, a taxa de 
variação é determinada quando verificamos o quanto y varia à medida que x 
varia. Analise que, se x variar de x1 para x2, y também irá variar de um valor 
y1 para um valor y2. Essa taxa de variação é dada por:
Observe o seguinte problema: uma pessoa caminha 60 metros (Δs), descre-
vendo um movimento retilíneo, em 20 minutos (Δt). Determine a velocidade 
média dessa pessoa.
3Introdução ao conceito de derivada
Então, podemos dizer que a taxa de variação do espaço em relação ao 
tempo dessa caminhada é de 3 metros a cada minuto. 
Taxa de variação instantânea 
Imagine a situação anterior, uma pessoa caminhando, em que calculamos 
a velocidade da caminhada, que consiste na taxa de variação do espaço por 
tempo. A função do espaço percorrido por tempo é dada por x(t). Se quisermos 
calcular a taxa de variação em um dado ponto, a variação do tempo será dada 
por t + ∆t, e a partícula moverá da posição x(t) para x(t + ∆t). O deslocamento 
total será dado por:
∆x = x(t + ∆t) – x(t)
Assim, calculando a velocidade, temos:
A velocidade instantânea, em um dado tempo t, dá-se no limite da velo-
cidade média quando ∆t → 0, ou seja:
Podemos entender a taxa de variação instantânea como uma derivada 
da seguinte forma:
A velocidade média instantânea é a derivada da função espaço por tempo. 
Utilizamos a definição de derivada para calcular a taxa de variação de 
diversas grandezas que se relacionam. Podemos calcular utilizando o con-
ceito da taxa de variação: a taxa de crescimento instantâneo; a gradiente da 
velocidade no sangue, ou seja, a variação da velocidade; a taxa da variação 
de temperatura, entre outros.
Introdução ao conceito de derivada4
Derivada em problemas aplicados 
A derivada é um conceito muito importante na matemática. Em muitos casos, 
estamos acostumados a determinar variáveis em determinado ponto, e não 
ao longo de um intervalo. Por exemplo, em um crescimento populacional de 
bactérias, estabelecido por uma função f, muitas vezes, calculamos o tamanho 
da população em um dado tempo, e não a variação do número da população 
até chegar a esse determinado tempo. Por isso, utilizamos o conceito de de-
rivada, como um cálculo instantâneo, para determinar o comportamento ao 
longo do tempo.
Exemplo 1
O Quadro 1 e a Figura 1 descrevem o crescimento de uma população de 
bactérias.
Tempo Número de bactérias
0 2
1 4
2 8
3 16
4 32
5 64
… …
14 16384
… …
30 1073741824
… …
60 1152921504606846976
Quadro 1. Crescimento de uma população de bactérias
Fonte: Adaptado de Lewis (1997).
5Introdução ao conceito de derivada
Figura 1. Crescimento de uma população de bactérias. 
Fonte: Adaptada de ECOLOGIA... (2013).
10
00
80
0
60
0
40
0
20
0
0
2 4 6 8 10
Crescimento de bactérias
N
úm
er
o 
de
 b
ac
té
ria
s
Tempo
Para calcular a taxa de variação dessa população, temos a seguinte equação:
Onde N(t) = t² é a função que descreve o crescimento. Aplicando na equa-
ção, temos:
Introdução ao conceito de derivada6
Aplicando Δt = 0, temos:
taxa de variação = 2t
Observe que o cálculo da variação instantânea mostra que, quanto mais o 
tempo Δt se aproximar de zero, a função que descreve o número da população 
será igual a 2t, ou seja, a taxa instantânea de crescimento da função f(x) = x² 
é igual a 2t Veja a representação a seguir (Quadro 2 e Figura 2).
Fonte: Adaptado de ECOLOGIA... (2013).
t
N(t + ∆t) – N(t)
∆t
1 2
2 4
3 6
4 8
5 10
Quadro 2. Taxa de variação do crescimento populacional de bactérias
7Introdução ao conceito de derivada
Figura 2. Taxa de variação do crescimento populacional de bactérias.
Fonte: Adaptada de ECOLOGIA... (2013)
10
0
80
60
40
20
0
0 2 4 6 8 10
Tempo
f(x
)
f(x) = x2
Assim, podemos observar que a taxa que corresponde a x² é 2t. Observe 
que, quando t = 3, f1(x) = 6, e assim sucessivamente.
Exemplo 2
Uma placa com uma cultura de bactérias é observada, e o controle da popu-
lação é feito a cada hora. Conclui-se que, a partir das observações, a equação 
 dá, com boa aproximação, o número de bactérias depois 
de t horas. Qual é a equação que nos dá a taxa instantânea de crescimento da 
população de bactérias na placa?
Introdução ao conceito de derivada8
Pela definição de derivada, temos:
Como essa equação nos dá um limite em 0/0, precisamos modificá-la. 
Multiplicando o numerador e o denominador pelo numerador, temos:
Agora, basta calcular em um tempo t para obter o número de bactérias. 
ECOLOGIA DE POPULAÇÕES. Revisão de cálculo. 2013. Disponível em: <http://ecologia.
ib.usp.br/ecopop/doku.php?id=exercicios:calc>. Acesso em: 30 nov. 2018.
Leituras recomendadas
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. v. 1.
ROGAWSKI, J.; ADAMS, C. Cálculo. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2018. v. 1.
Referência
9Introdução ao conceito de derivada
Conteúdo: