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Universidade Fumec
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS – AULA 2
Introdução
Conteúdo Programático
Equações Diferenciais
1. INTRODUÇÃO
1.1. Conceitos fundamentais
1.2. Equações diferenciais ordinárias e equações diferenciais parciais
1.3. Ordem, linearidade e homogeneidade de uma equação diferencial
1.4. Soluções de uma equação diferencial
2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE VARIÁVEL SEPARÁVEL
3. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE 1ª ORDEM
4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES, ORDINÁRIAS, DE 2ª ORDEM
5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM NÃO HOMOGÊNEAS
Equações Diferenciais
Equações Diferenciais
• Princípios Naturais e Leis Físicas: são expressas por equações e as
taxas de transformação nestas equações são as derivadas.
Equações Diferenciais: são equações que contém derivadas
- Equação da Continuidade:
0
z
w
y
v
x
u
t
- Segunda Lei de Newton:
t
vm
F
Equações Diferenciais
Equações Diferenciais
- Pêndulo Oscilando:
0
2
2
sen
L
g
dt
d
- Lei matemática simplificada que rege a população de uma determinada espécie de
animais e seus predadores naturais:
krp
dt
dp
- Queda-livre de uma corpo sujeito a resistência do ar:
vmg
dt
dv
m
Equações Diferenciais
Equações Diferenciais
Corpo em queda livre em função das variáveis tempo e velocidade
dt
dv
mamF .
Onde :
m – massa do corpo
g – aceleração da gravidade (cte)
- coeficiente de resistência do ar (cte)
vmg
dt
dv
m
gmFg .
vFr .*
* Simplificação do comportamento da resistência do ar
As equações diferenciais estão presentes na formulação diferencial dos modelos
representativos dos fenômenos estudados nas ciências físicas, biológicas e
sociais.
Notação de Leibniz:
,...,,
3
3
2
2
dx
yd
dx
yd
dx
dy
Notação linha:
```,...``,`, yyy
Notação de Leibniz:
Notação linha:
,xey
dx
dy
5 ,062
2
y
dx
dy
dx
yd
yx
dt
dy
dt
dx
2
,` xeyy 5 ,``` 06 yyy
A notação linha é usada somente para denotar as três primeiras derivadas; a
quarta derivada é escrita como y(4), em vez de y’’’’
Equações Diferenciais
Notações das Equações Diferenciais
Exemplos:
Equações diferenciais ordinárias
(EDO):
se a função desconhecida depende
de uma única variável independente.
Neste caso, aparecem apenas
derivadas simples.
Equações diferenciais parciais (EDP):
se a função desconhecida depende de
diversas variáveis independentes.
Neste caso, aparecem as derivadas
parciais.
136
1219
15)(cos9
346
08
212
2
2
2
2
23
2
2
4
3
3
3
2
2
2
2
z
y
x
y
x
dx
dy
xd
yd
xd
yd
x
dx
dy
x
xd
yd
dx
dy
xd
yd
y
dx
dy
x
dx
dy
Classifique as equações:
Equações Diferenciais
Classificação das Equações Diferenciais - Tipo
Equações Diferenciais
para representar equações diferenciais ordinárias de primeira e segunda ordem.
Forma normal
),( yxf
dx
dy
)',,( yyxf
dx
yd
2
2
e
Por exemplo, a forma normal da equação de primeira ordem
4xy’ + y = x é y’ = (x – y)/4x
Classificação das Equações Diferenciais - Tipo
Equações Diferenciais
Classificação por Grau e Ordem
A Ordem de uma ED é a ordem da mais alta derivada que aparece na equação.
Exemplos:
É uma equação diferencial de segunda ordem
e de primeiro grau.
xey
dx
dy
dx
yd
45
3
2
2
segunda ordem primeira ordem
,35 x
dx
dy
12
2
3
3
4
4
y
dt
dy
dt
yd
dt
yd
dt
yd
O Grau de uma ED é a potência a que se eleva a derivada de mais alta ordem
Equações Lineares e não-lineares:
A equação diferencial
0),...,",',( )(nyyyxF
É dita linear se F é uma função linear das variáveis y, y’, y”,..., y(n-1)
Assim a equação diferencial ordinária linear geral de ordem n é
001
1
1
)()(')()()(
)()( xgyxayxayxayxa nn
n
n
)()()()()( xgyxa
dx
dy
xa
dx
yd
xa
dx
yd
xa
n
n
nn
n
n
011
1
1
Equações Diferenciais
Classificação por linearidade
Observam-se duas propriedades características de uma equação diferencial
linear:
1) A variável dependente e todas as suas derivadas são do 1º grau, isto é, a
potência de cada termo envolvendo y é 1.
2) Cada coeficiente depende no máximo da variável independente x. As
equações diferenciais ordinárias lineares abaixo são, respectivamente, de 1ª,
2ª e 3ª ordem.
)()()()()( xgyxa
dx
dy
xa
dx
yd
xa
dx
yd
xa
n
n
nn
n
n
011
1
1
(y - x) dx + 4x dy = 0, y’’ – 2y’ + y = 0 e
x
dx
dy
dx
yd
eyx 53
3
Equações Diferenciais
Classificação por linearidade
Exemplo:
4'"2''' xyyyey x
Equações não-lineares: Uma equação diferencial ordinária não-linear é
simplesmente uma que não é linear.
Funções não-lineares da variável dependente ou de suas derivadas, como seny ou
e y’, não podem aparecer em uma equação linear. Assim sendo,
,0
2
2
seny
dx
yd,')( xeyyy 21 02
4
4
y
dx
yd
Termo não-linear
Coeficiente dependente de y
Termo não-linear
Função não-linear de y
Termo não-linear
Potência diferente de 1
Equações Diferenciais
Classificação por linearidade
Classificar as equações abaixo quanto a ordem, grau e linearidade
1'5''' xexyy
xxyyyx '5''2
Ordem =3
Grau =1
linear
Ordem =2
Grau =1
Não linear
xeysenxy )('
Ordem =1
Grau =1
Linear
xexsenyy '
Ordem =1
Grau =1
Não linear
Equações Diferenciais
Exercícios
Equações Diferenciais
Homogeneidade
y’’ + f(x) y’ + g(x)y = r(x)
Se r (x) = 0 Equação Diferencial Homogênea
x2y’’ + xy’ + (x2 – 1)y = 0
Se r (x) ≠ 0 Equação Diferencial Não-Homogênea
y’’ + 4y = e-xsenx
Uma solução de uma equação diferencial na função incógnita
e na variável independente , é uma função que atende
a igualdade da equação dada.
y
x
)(xy
Ex.: xcxsencxy 2cos2)( 21
Obs.: c1 e c2 são constantes arbitrárias
04'' yy
xcxsencxy
xsencxcxy
2cos424)(''
222cos2)('
21
21
xcxsencxcxsencyy 2cos242cos4244'' 2121
é solução para ?
Equações Diferenciais
Definição de Solução
Exercício 1
Sim...É solução!!!
Determine se
cxxy 2)(
é solução de
02' xy
Equações Diferenciais
Definição de Solução Definição de Solução
Exercício 2
1)( 2 xxy 1)'( 24 yy
é solução para ?
Equações Diferenciais
Definição de Solução
Exercício 3
Determine se
xx xeexy 2)(
é solução de
0'2'' yyy
Equações Diferenciais
Definição de Solução
Exercício 4
Equações Diferenciais
b) y’’ – 2y’ + y = 0; y = xex
Verifique se a função indicada é uma solução da equação diferencial dada no
intervalo (-, ).
a) dy/dx = xy1/2; y = x4/16
Definição de Solução
Exercício 5
Universidade Fumec
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
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